Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Сила Р, действующая в точке О, направленная вниз, зы- Р -'.. г ь брусе папрюкенпя сжатия — —, где Р— площадь Г 314 [гл. хп СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ поперечного сечения. Таким образом, общий случай внецентренного сжатия [растяжения) сводится к совместному действию косого изгиба и простого сжатия [растяжения). Пусть координаты точки А будут т и и. Найдем напряжение в какой-либо точке В с координатами у и л. Разложим момент Р ° АО, действующий в плоскости АОх, на два момента, действующих в главных плоскостях ЛОх н уОх. Тогда получим момент Рп в плоскости ЛОх и момент Рт в плоскости уОх. Оба эти момента в первой четверти, где лежит точка В, вызывают напряжения сжатия: Рпе Рту 'я 'гг Суммарное напряжение для точки В найдем, сложна все три напряжения: [237) Для многих поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси являются осами симл>етрии (прямоугольник, двутавр и др.), легко определяется такая точка, где напряжение максимальное.
В рассматриваемом случае максимально напряженная точка будет О. Напряжение в точке О .равно: [238) Для других вершин прямоугольника напряжения будут соответственно равны: для точки С Р Рп Рт а = — — — — -+ —; для точки Е Р Рп Рт + + Р 'и"я йтг ' для точки Р Р Рп Рт а = — — ->- — —— Если сечение бруса имеет произвольную форму, то для определения наиболее напряженной точки сечения надо знать положение нейтральной, или, как ее в ятом случае называют, нулевой линии. 9 851 овший слтчай внацентгенного схватив 315 Нейтральная линия представляет геометрическое место точек с нулевыми напряжениями; уравнение ее получим, приравняв нулю напрях<ение е в формуле (237).
Тогда будем иметь: — + — + — =О, Р Рлс Рту Р У„У, Р плп, вынося за скобку величину — и деля на нее левую и Р правую части ( Р чь 0), получим: 1+ — +- — =О. Рлс Рту ./ч .I, (239) Момент инерции можно представить в виде произведения (240) Величина 1 называется радиусом инерции сечения. Напомним, что момент инерции представляется в общем виде выражением где у — расстояние элементарных площадок сечения до оси, относительно которой вычисляется момент инерции. Из формулы (240) имеем: ъГ4. (я т 1 (241) Полагая в этом уравнении поочередно а=О и у= 0~ найдем отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях у и г.
На основании формулы (241) можно всегда вычислить радиус инерции сечения относительно любой осп, если известны момент инерции сечения относительно этой оси и его площадь Подставляя в полученное уравнение (239) нейтральной Р Р ! 1 линии вместо — и — соответственно †,, и †,, получим: ~я 'гг г, г~ [ГЛ. Х1 316 СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ Отрезки на осях у и з (см. рис.
180) 2 он=у,= — — =, лг (242) г Оь7'= Рв — — — —. и ' Построив нейтрзльную линию, легко найти наиболее удаленную от нее точку. Взяв координаты у и з втой точки и подставив в формулу (237), определим максимальное напряжение в сечении. ф 86. Понятие о ядре сечения При внецентренном сжатии или растяжении в зависимости от места приложения силы в поперечном сечении могут возникнуть напряжения разных знаков или одного знака. Если сила приложена в таком месте, что нейтральная линия проходит через сечение, то по одну сторону от нее будут в сечении напряжения сжатия, а по другую в растяжения.
Положение нейтрзльной линии зависит от места приложения силы. В тех случаях, когдз сжимаемый внецентренно стержень сделан из материала, плохо сопротивляющегося растяжению, например из чугуна, то желательно, чтобы в сечении не возникали напряжения растяжения. Так же обстоит дело при проектировании кирпичных или каменных кладок, так как кирпич и камець плохо сопротивляются растяжению и, кроме того, при работе их на растяжение возникла бы опасность раскрытия швов, скрепляющих отдельные кирпичи или камни. Для того чтобы в сечении не возникали напряжения растяжения, точка приложения сжимающей силы при данноч поперечном сечении не должна быть удалена от центра тяжести сечения на расстояние, большее некоторой предельной величины, т. е. величина эксцентриситета должна быть ограничена. Это предельное расстояние точки приложения силы от центра тяжести сечения должно соответствовать такому положению нейтральной липни, когда она не пересекает контура сечения, а только его касается.
В этом случае в сечении будут действовать напряжения только одного знака. Так, например, если мы имеем прямоугольное поперечное сече- 8 86) понятие о ядвв сзчзния 817 » 2 — 2 » » 3 — 3 » » 4 — 4 » нне АВСО (рис. 181), то предельными положениями нейтральной линии будут касательные к контуру сечения, т. е. линни 1 — 1, 2 — 2, 3 — 3, 4 — 4. Для каждого из этих четырех положений нейтральной линии легко, как это будет показано ниже, найти соответствующие точки приложения силы. Пусть этими точками будут 1, 2, 3, 4; соединив эти точки, получим заштрихованный четырехугольник. Если точка приложения сжимающей силы будет лежать внутри этого четырехугольника, то ! в Ь Э г во всем поперечном сечении АВС!) 3~ а Г 1 будут только напряжения сжатия.
» Такой же вывод можно сделать и для растягивающей силы. Ограниченная область вокруг 3 1У центра тяжести сечения !з нашем И гу примере четырехугольник 1 — 2— » — 3 — 4), такая, что приложенная ь д 6 в любой точке ее силз вызывает во всем сечении напряжение одного д знака, называется ядром сечения. 3 Теперь перейдем к способу построения контура ядра сечения. Спо- Рпс. 181. соб этот состоит в наховгдени>г точек приложения силы, соответствующих нейтральным линиям, к сзюцгимся контура поперечного сечения. Пайдем в качестве примера контур ядра сечения пря>ш)тольного поперечного сечения АВСО, показанного на рнс. 181.
Отрезки на осях координат, отсекаемые нейтральнымн линиями при нх предельных положениях, будут: Ь Пеитральная линия !†! отсекает на оси у отрезок д >> >) >\ » 2> Г » »» у» + 2 д » »» а» + —, 2 Точку призе»кения силы на осн лч соответствующую ней>;>зльиой лпшш 1 — 1, определим по формуле !2А21: ! Ув = 8!8 [гл. хй СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ь так как у„= — —,, а .д ЬЬт Ьз т а Р 12ЛЬ 12 то ЬТ,Ь Ь 12' 2 6' Эта точка приложения силы — одна из вершин контура ядра сечения — обозначена на рис. !81 цифрой А Г!о симметрии заключаем, что нейтральной линии 3 — 3 будет соответствовать вершина контура ядра, обозначеннзя на фигуре +е цифрой 3.
Аналогично легко найти и лве другие вершины 2 и 4 контура ядра сечения. Соединив найденные вершины прямыми, получим ромб ! — 2 — 3 — 4, пред- У ставляющий контур ядра сечения прямоугольника. Пример 79. Найти ядро сечения круга радиуса у, показанного на рнс. 182. Решение. Контур ядра сечения круга в силу симметрии будет окружРис. 182. постыл. Лля определения радиуса втой окружности возьмем какое-либо положение нейтральной оси, например касательную АВ, перпендикулярную к осн у (ряс. 182). Отрезок уз, отсекаемый атой нейтральной линией на оси у, равен ралиусу, т.
е. уз = — у. Подставим зто значение уе в формулу (242): И= — = —, у гу я та Так кзк У= —, а Р 4 яут, то т.уа у ул =- — =— Зуяуз откуда расстояние лг точки приложения силы от центра круга, т. е. радиус ядра сечения, будет: ь 87! совместное двйствив изгнал и кггчвння 819 5 87. Совместное действие изгиба н кручения На практике кручение довольно часто сопровождается изгибом.
С таким сложным видом деформации приходится встречаться, например, при расчете валов, когда силы, передающиеся валу, не проходят через его ось. Пусть, например, на вал (рис. 183) насажено зубчатое колесо, передающее окружное усилие Р от лругого ведущего зубчатого колеса. Перенесем силу Р в центр вала О. Для этого прило- Я жпм в точке О по прямой, параллельной силе Р, две равные силы Р, по иапоавленные в противоположные стороны. Тогда получим пару с моментом РЯ (силы, составляющие эту пару, на чертеже перечеркнуты двумя черточками), скручиваюшую вал, и силу Р, приложенную в цен- Рвс.
183. тре вала и вызывающую изгиб вала. На основании ранее выведенных формул (178) и (99) М е= —, В'' (99) $ггя ' легко для любого сечения вала определить нормальное напряжение е от изгиба и касательное т от кручения. Касательными напряжениями от поперечной силы при расчетах валов обычно пренебрегают, так как эти напряжения значительно меньше касательных напряжений от кручения. Наибольшие напряжения от кручения и наибольшие напряжения от изгиба возникают на поверхности вала (рис. 184, а).
Каждое из этих напряжений, взятое в отдельности мои<ет быть меньше допускаемого напряжения для соответствуюгцего вида деформаций. Однако одновременное их действие во>нет оказаться опасным для вала. Для оценки одновременного действия напряжения е от изгиба и напряжения т от кручения выделим в наиболее опасном сечении у наиболее опасной точки (точки а и д рис. 184, а) элемент материала (рис, 184, б) 329 [гл. хц сложное сопготивлзниз По четырем граням этого элемента действуют касательные напряжения, в двух из этих граней действуют еще нормальные напряжения. Этот элемент находится в плоском напряженном состоянии, рассмотренном нами в Э 68.
Величины трех главных напряжений этого элемента будут: а, = — + — у' а' + 4т' ч 1 аа — — О, а 1 г е = — — — р аа+4тз. 2 2 г Имея значения главных напряжений, мы можем написать условие прочности по той или другой теории прочности. Так, а) Ряс. 184. ег — е ([е]. Подставив аначения е, и е„ получим следующее условие прочности: )/аз + 4та ( [е]. (243) Напряжение )Уеа+4та называют приведенным или эквивалентным напряжением. Подставив в (243) значения а н т, определяемые по формулам (198) и (99), получим: [/( — ) +4( — ") -[а]. (244) на основании теории наибольших касательных напряжений (третьей теории прочности) 9 871 совмвстнов действия нзгивл и кгячвния 321 Так как для кругового и кольцевого сечений Ф'р —— 2Ф', то будем иметь: ~гМ2.~ Ма ~(а).
(245) Таким образом, расчетная формула при олновременном действии изгиба и кручения вала аналогична расчетной формуле на изгиб (198) с той только разницей, что вместо изгибающего момента при изгибе с кручением берется некоторый другой момент, называемый приведенным моментом, величина которого равна )' М + М„ Наиболее опасным сечением вала будет, очевидно, то сечение, для которого величина приведенного момента будет максимальной. Поэтому для определения наиболее опасного сечения в тех случаях, когда его сразу трудно указать, строится эпюра приведенных моментов. Если силы, изгибающие вал, не лежат в одной плоскости, то каждую из сил предварительно разлагают по двум направлениям: вертикальному и горизонтальному.
амадее, строят эпюры изгибающих моментов М, от сил, действующих в вертикальной плоскости, и моментов М„, лействующих в горизонтальной плоскости. По найденным моментам М, и М, строят эпюру суммарных изгибающих моментов. Суммарные моменты определяются по формуле М = 'У' М'„+- М„*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
