Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Если обозначить критическую силу Р„Р, а допускаемую силу Р„то отношение — = )з ) 1 называется запасом РМР устойчивости. Запас устойчивости, как и запзс прочности, для менее однородных материалов берется выше, чем для однородных. Так, запас устойчивости для деревянных конструкций принимается порядка 2,5 и выше, для чугунных 5 — б, а для стальных 1,8 — 3. Я 91.
Формулы Эйлера Для расчета стержней на продольный изгиб надо уметь определять величину критической силы. Формула для опрелеления этой силы была впервые выведена знаменитым математиком Л. Эйлером в членом Петербургской Академии наук. Величина критической силы зависит от закрепления концов стержня. Ниже рассматривается определение критической силы при различных условиях закрепления концов стержня. 8ЗО ПРОДОЛЬИЫй ИЗГИб [ГЛ. ХП Случай 1 (основной). Стержень с шарнирно-опертыма нониами (рис.
188). Под действием сжимающей силы, равной критической силе или несколько больше ее, стержень изогнется. Изгибающий момент в любом сечении стержня будет равен: М= — Ру, (а) т. е. сама нагрузка (изгибающий момент) зависит от деформации (изгиба) стержня. Этим задача определения критической силы принципиально отличается от всех ранее рассмотренных нами залач. Для вывода этой формулы примем, что изогнутая упругая линия стержня представляет собой синусоиду.
Обозначим через У величину стрелы прогиба посредине стержня, тогда уравнение упругой линии будет: у= Г'з!и — х. 1 (252) На концах стержня при х = О и х =(у = О, Рис. 188. т. е. прогиба не будет. Посредине стержня, т. е. при х = †,, прогиб, как нетрудно видеть из уравнения (252), будет равен у. Подставив значение у из уравнения (252) в выражение изгибающего момента (а), получим: М = — Р~З1п — х. 1 (б) Подставив это выражение момента в общее урзвнение упругой линии (196): Е.1 ~— ~ У = М, (196) лхь пол чим: у ЕУ вЂ” = — Р/З1п — х.
Льу . л лхь 1 Теперь проинтегрируем это выражение два раза: ЕУ вЂ” = Р/ — соз — х+ С, егу лх л Е3у=РУ вЂ” з(п ух+Сх+1.). р л (в) (г) 881 8 91) ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРЛ Найдем постоянные интегрирования С н О. Касательная к упругой линии в середине стержня параллельна оси х, 1 иу поэтому при х = —, производная — должна быть равна 2 их »г.~ю. Тогда из уравнения (в) получим С = О. 11ри х= О прогиб у=О; из уравнения (г) получим: 1)= О. Тсперь уравнение (г) можно записать в таком виде: р .
я Е)у = Рг —., Ейп — х. Так как при х= —, у=у, то 1 2 Е,/г'= Р / — „ гг »ли = — (288) Это выражение, определяющее вел»чину критической силы стержня а) с шарнирно-опертыми концами, и называется формулой Эйлера. р Случай 2. Стержень с одним Рис. 189, защемленным концом и другим ~ овершенно свободным (рис. 189, а). Критическую силу лля такого стержня можно найти из сравнения его со стержнем первого случаи. Действительно, если продолжить осевую линию стержня, как показано на рис.
189, б, то легко »»деть, что стержень с одним защемленным и другим свободным концом находится в таких же условиях, как полонина стержня с шарнирно-опертыми концами, но имеющего в ава раза большую длину. Следовательно, для получения критической силы стержнв с одним защемленным концом » другим свободным в формуле (283) для первого случая надо заменить 1 на 21. Сделав такую замену, получим: 21)а ' (2бч) пгодольиый изГиБ [гл.
хпг С лучай 3. Оба конца стержня защемлены (рис. 190). В этом случае предполагается абсолютное защемление концов, т. е. такое, когда концы совершенно неподвижны и касательные к упругой линии по концам стержня совпадают с его осью. Упругая линия такого стержня будет состоять из четырех равных частей; каждая такая часть длиной — будет 4 находиться в таких же условиях, как стерглр жень, закрепленный одним концом (случай 2). Поэтому критическая сила для случая стер- жня с защемленными концами может быть опре- (/4 делена из формулы (254), если заменить в ней 1 на †. Сделав такую замену, получим: ! 1 4' 1 его 4хгЕ./ Г'ьг= 1 г = р .
(255) ~ (2 ° — „) (9 Следовательно, критическая сила будет в 4 раза больше, чем для стержня с шарнирно-опертыми концами. Рис. 190. Практически осуществить абсолютную за- делку концов очень трудно. При малейшей возможности поворота концов стержня критическая сила будет намного меньше определяемой по формуле (255). Поэтому часто для большей надежности в практических расчетах, когда нет уверенности в жесткости заделки, считают концы стержня не абсолютно защемленными, а шарнирно-опер- ';()у тыми.
Случай 4. Стержень е одним защемлен- ) Ф ным концом и другим ширнирно-опертым г 1(У (рис. 191). Упругая линия такого стержня имеет точку перегиба на расстоянии около '/г от за- 7 ь шемленного конца. На таком же примерно рас- ' -4~ стоянии от шарнирного конца касательная Т к упругой линии параллельна оси стержня. Таким образом, этот стержень с некоторым Рис 191 приближением можно рассматривать состоящим из трех отдельных стержней, у которых один конец зашемлен, а другой свободен (случай 2). Критическая сила для 9 911 333 ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА каждой такой части, а следовательно, и для всего стержня может быть определена, если заменить в формуле (254) 1 на †. Сделав такую замену, получим: 3' «2Е) 2«2ЕУ ( г) (256) Формулы (253), (254), (255) и (256) для определения критических снл в рассмотренных четырех случаях закрепления концов стержня можно объединить в одну формулу РРР= ( 1)2 ° (257) (Рг)2 Значение величины р, стоящей в знаменателе, называемой ноэффициенлтом приведения длины, легко определяется для четырех случаев закрепления концов стержня из сравнения соответствующих этим случаям формул с общей формулой (253).
Получаем: для первого случая р = 1, Произведение действительной длины стержня 1 на коэффициент приведения длины р называется приведенной или расчетной длиной стержня. Обозначив приведенную (расчетную) длину стержня через 1,: 1,=91, перепишем общую формулу (257) в следующем виде: «2Е,7 ) "Р 2 12 (259) Таким образом, определение критической длины для всех случаев закрепления концов стержня может производиться по формуле (259).
Надо, однако, помнить, что в этой формуле 12 представляет не действительную длину стержня, а расчетную, или приведенную, длину. «второго « третьего четвертого « 9=2, 1 2' 2 р= 3 ' ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ (гл. хш 33~ Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института ну~ей сообщения Ф. Ясинским в 1892 г. Необходимо замети~ь, что в формулу, определяющую криюГческую силу, следует подставлять минимальное значение осевого центрального момента инерции сечения стержня (если у сечения осевые центральные моменты инерции не одинаковы), так как стержень всегда изгибается е плоскости наименьшей жесткости. Вводя коэффициент запаса устойчивости в формулу (259), получим общую формулу для определения допускаемой силы при продольном изгибе: Ркр к»ЕУ Р,= — =— йгг ' » (260) В дальнейшем формулы (259) и (260) будем называть, как это и вообще принято, формулами Эйлера.
Обозначив плошадь поперечного сечения через )ч, легко получить выражение для определения критического напряжения, соответствующего критической силе, и допускаемого напряжения, соответствующего допускаемой силе: Ркр »2ЕУ » кр Р 2 (262) (261) то к»ЕРР к»Е к'Е (263) кр г г 2 12 Рг» (») г» Отношение —" принято называть гибкостью стержня и обовначать через ),. Из формулы (263) следует, что критическое напряжение в стержне в случае продольного изгиба обратно пропорционально квадрату отношения расчетной длины к радиусу инерции. где а„— допускаемое напряжение при продольном изгибе.
Обычно формула (261) преобразуется ну~ем введения в нее рздиуса инерции сечения. Так как ) — Егг 9 29] пеедялы пгиманимости аогмялы эйлввл ЗЗЗ ф 92. Пределы применимости формулы Эйлера. Таблица для расчетов на продольный изгиб Эйлер при выводе своей формулы определения критической силы для сжимаемых стержней предполагал, что материал стержня лостаточно упруг и следует закону Гука. Как известно, материал следует закону Гука только до тех пор, пока напряжение в нем не достигнет предела пропорциональности.
Следовательно, формула Эйлера для разных материалов должна также иметь свои пределы применимости. Она справедлива только до тех пор, пока критическое напряжение в стержне не превзойдет предела пропорциональности материала. В коротких стержнях критическое напряжение, определяемое при помаши формулы Эйлера, получается выше предела пропорциональности. Поэтому для коротких сигерггекей формула Эйлера ке ири.кенима. Границей применения формулы Эйлера будет тот случай, когда критическое напряжение равно пределу пропорциональности.
На основании этого для любого материала можно определить те предельные значения соотношений геометрических размеров стойки, до которых формула Эйлера применима. Подставив в формулу (263) вместо критического напряжения (аер) предел пропорциональности (ав) и определив из нее гибкость ), получим; Л> ~Г ягЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
