Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Определение нормальных напряжений при изгибе Метод сечения прн изгибе, как и при других аидах деформаций, дает возможность определить изгибающий момен~ и поперечную силу в сечении балки. Вопрос >ке рзспределения упругих сил по сечению является вообще задачей, статически неопределимой. Такие задачи, как мы это видели выше, решаются на основании рассмотрения деформаций. При растяжении н сжатии предполагалось, что все волокна материала получают в направлении действия сил одинаковые относительные деформации; отсюда делалось заключение, что напряжения распределяются по сечению равномерно. Вопрос о распределении напряжений при кручении был решен на основании предположения, что относительные сдвиги отдельных элементов поперечного сечения прямо пропорциональны их расстоянию до оси стержня. Выяснение закона распределения напряжений по сечению при изгибе также может быть решено только на основании рассмотрения деформаций.
Возьмем часть балки, изгибаемой двумя равными и противоположно направленными моментами, действующими в продольной плоскости симметрии балки (рис. 123, а). На рисунке изгиб балки для наглядности сильно преувеличен, На самом деле, как и при других видах деформаций, мы предполагаем, что величина деформации изгиба очень мала и искривленная ось балки мало отличается от первоначальной прямой оси.
Пусть линия А>М представляет нейтральный слой, выше ксторого находятся растянутые волокна бруса а ниже его— 222 [гл. ~х НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИВЕ сжатые. Пусть общий центр кривизны изогнутых волокон будет в точке О, радиус кривизны нейтрального слоя о. Выделим из рассматриваемой части бруса элемент АВОС при помощи двух очень близких сечений, проходящих через центр кривизны бруса и наклоненных друг к друту на бесконечно малый угол ду. Бесконечно малая длина пз волокна тп нейтрального слоя после изгиба, искривившись, останется той же длины. Волокна тглн лежащее на расстоянии у от нейтрального слоя, получит некоторое удлинение.
Лля того чтобы Ряс. 123. л~л~ у ла Левая часть этого равенства представляет относительное удлинение волокна т,лн которое до деформации имело длину дз. Обозначив относительное удлинение рассматриваемого волокна через а перепишем равенство (а) в следующем .анде: У Р (б) найти это удлинение, проведем из точки л линию, параллельную АВ. Тогда дуга л'л, даст это удлинение. Из подобия большого треугольника Отл и малого тг'и, имеем: й 63) оневдвлвнив ногмлльных нлпгяжвний пвн изгивв 223 ))ля данного сечения радиус кривизны р есть величина постоянная.
Поэтому из уравнения (б) можно сделать вывод, ч го величина относительной деформации волокон изгибаемого бруса прямо пропорциональна расстоянию их до нейтрального слоя. Так как волокна бруса прв изгибе испытывают только простое растяжение или сжатие, то для определения распределения упругих сил по сечению можно применить закон рука, принятый для растяжения и сжатия: о =Ее. (в) Подставляя в (в) вместо в его выра>кение пз (б), получим: (172) Формула (172), полученная из рассмотрения деформации, дает закон распределения упругих сил по поперечному сечению бруса. Пз этой формулы следует, что напряжения в поперечном сечении изогнутой балки прямо пропорциональны расстоянию рассматриваемой точки сечения с>о нвйтральпого слоя.
Все волокна, лежащие на одинаковом расстоянии от нейтрального слоя, имеют одинаковые напряжения, т. е. по ширине балки напряжения не меняются. Для нейтрального слоя у = О. Следовательно, для этого слоя в = О. Прн переходе за нейтральный слой знак у меняется; меняется н знак напряжения в. Максимальные напряжения в сечении будут в точках, для которых расстояние у наибольшее, т.
е. у верхнего и нижнего слоев сечения. Эпюра напряжений в поперечном сечении представлена па рнс, 123, б, где напряжения растяжения показаны напраьленными в одну сторону, а напряжения сжатия — в противоположную сторону. В формулу (172) входит радиус кривизны нейтрального слоя; для определения его выделим из площади поперечного сечения (рис. 123, в) элементарную площадку с(Р, отстоящу>о на расстоянии у от ней~ральной линии. Элементарная »ормальная сила, действующая в этой площадке, на основа>щи (172) будет равна: с(Х = в й Г = — и'с. Еу Р Так как все силы упругости, действующие в сечении, должны на основании условна равновесия давать только 224 [гл.
гх НЛПРЯЖВНИЯ ПРИ НЗГИБИ вЂ” с(Р=О или — гт уНР=О. Еу Е ! Р Р Отношение — + О, следовательно, Е Р Интеграл этот представляет статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии. Если статический момент равен нулю, то ось, относительно которой он взят, проходит через центр тяжести сечения. Отсюда следует очень важный вывод, а именно: нейтральная ось проходит через центр тяжссти поперечного сечения. Элементарный момент внутренней силы, действующей на площадке а!Р относительно нейтральной оси е, на основании уравнения (г) будет равен: сф~'у у с(Ру уг с(Р Е Е Р Р Сумма всех элементарных моментов внутренних сил упругости по условиям равновесия должна быть равна внешнему моменту, т.
е. ,г ~Р ~ глР 7(4 Е г Е ! г Р Р (д) Интеграл / угс(Р представляет момент инерции попегг речного сечения относительно нейтральной оси. Обозначив его через А получим: — у=м, Р или, переписав это выражение иначе, будем иметь: 1 М Р Ег' (173) момент, равный внешнему моменту, то сумма проекций их на ось балки л должна быть равна нулю, т. е. й 631 опввдвлвние ногмлльных нлпгяжвний пги изгнав 225 формула (173) является основной формулой теории изгиба.
! Величина — — кривизна изогнул>ой оги балки — характери- Р зует величину деформации при изгибе; из формулы (173) сле- дует, что деформация при изгибе прямо пропорциональна изги- баюшему моменту и обратно пропорциональна произведению ЕА казв>ваемому жесткостью балки (при изгибе). Кроме того, из этой же фбрмулы мох<но сделать и другое заключение, а именно: участки балки, нагруженные постоянным моментом, т. е.
участки, находящиеся в состоянии чистого изгиба, Е) искривляются по дуге окружности радиуса —, М' Определив из формулы (173) р и подставив его значение в уравнение (172), получим: в= —. Му 7 ' (174) Из этого уравнения, как и выше из уравнения (172), видно, что наибольшие напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси. При расчете нз прочность нас интересуют обычно наибольшие напряжения. Следовательно, вместо у в уравнение (174) надо подставить расстояния от нейтральной оси наиболее удаленных волокон. Если, как в нашем случае, центр тяжести поперечного сечения не лежит посредине высоты балки, то максимальные напряжения для наиболее удаленных волокон сечения будут: МГ» Мас (175) Одно из них будет давать максимальное напряжение растяжения в растянутых волокнах, а другое — максимальное напряжение сжатия в сжатых волокнах.
Если материал балки сопротивляется одинаково растяжению и сжатию, то дос>а- точно определить только одно максимальное напряжение лля тех волокон, которые наиболее улзлены от ней~ральной оси, псзависнл>о от того, растягиваются они пли сжимаются. В нашем случае наибольшим напря>кением будет: МД> а смс так как г>> ) "г. Ести матернач как например чугун сопротивляется рас тяженню н сжатию неодинаково, то надо определять оба 15 заж >,,и р, с, кннасвшвнлв 226 [гл. гх нлпгяжвния пеи изгиве максимальных напряжения.
Если центр тяжести сечения бруса из материала, сопротивляющегося одинаково растяже/г нню и сжатию, лежит посредине высоты, т. е. йг=/гг= —, г г 2 ' то в этом случае напряжения растяжения и сжатия по абсолютной величине будут одинаковы и определятся по фор- муле /г М вЂ”,— 2 с иах / (176) Л где — — расстояние растянутого или сжатого волокна, иаии более удаленного от нейтрзлышй осн. Если величина момента по длине бруса меняется, то для определения максимальных напряжений надо брать то сечение, где изгибающий момент имеет максимальное значение. Такое сечение бруса выше было названо опасным сечением.
Отношение момента инерции У к расстоянию у „наиболее удаленного волокна от нейтральной линии назывзется мо,>сентом сопротивления сечения изаггбу и обозначается Уй'г у — = )[т. Уа>ах (177) М, о ахах шах цг (178) Обозначим моменты сопротивления бруса, у которого йг ~ й„соответственно через В'г и В'г> Тогда для такого бруса будем иметь: М М с а>ах . а>ах а>ах, )Гх > шаха 1Р х (179) Так как У ииеет размерность слг', а у „„вЂ” см, то размерность В' будет см'. Принимая во внимание выражение (177), формулу (176) для определения максимального напряжения в балке, у котол рого у„„„= /гг = пг = —,, можно переписать в следующем виде: ф 63! опгвделвнив ногмлльных нлпгяжвннй пги изгнвв 227 При выводе формул настоящего параграфа мы полагали, что балка имеет продольную плоскость симметрии и что деформация изгиба происходит в этой плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
