Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Их центробежные ыоменты относительно своих осей симметрии, указапных на чертезке пувктпроя, равны нулю. При переходе к осям х, у на основании формулы (141) получим: Пример 50. Определить положение главных центральных осей инерции и величины главных моментов инерции эетового сечения (рис. 100). Все размеры сечения даны в миллиметрах. Решение. Определим сначала моменты ияерции У, У н У „ относительно осей х и у. )(ля этого разобьем сечение на вертикальный прямоугольник и два горизонтальных, как показано на рнс. 100. 9 54] опткдкдвнив главных момннтов иннвции 187 для верхнего горизонтального прямоугольника: лхв=(8 — 1) 1,5 ~ — ( 2 + 2)~9,25= = 7 ° 1,5( — 4) ° 9,25= — 388 смй для нижнего горизонтального прямоугольника: l „= (8 — 1) ° 1,5 ( + —,) ~ — ~ — — —,' )~ = = 7 ° 1,5 4 ( — 9,25) = — 388 смй Центробежный момент всего сечения: Ухк —— /хв + Ухал — — — 388 + ( — 388) = — 776 слег.
Положение главных цеитробежкых осей инерции опрелеляем по формуле (156): 2л' 2 ( — 776) lк Ух 398 2467 По таблице тригонометрических фумкций углов находам: 2а = Збч52~, а = 18'26г, 2а = 2!бч52', а = 108ч262 Из тай же таблицы выписываем значения з1п 2а=+'0,6 н соя 2а = ~0,8, На основании формул (153) и (154) имеем: У +./я =У +У =398+2467=2865 см4, л' — У = (л' — у ) соз 2я — 2л з1п 2а = х, к, х к хи = (2467 — 398) (+ 0,8) — 2 ( — 776) (-1- 0,6), или У + У = 2865 слгй У вЂ” У = ~2585 смй х, к, знак плюс Складывая н вычитая эти уравнения, ярнняв в правой части второго уравнения, получим: = 2725 смй х, лк — 140 смй Момент инерции У будет максимальным, а л', — минимальнын. Если в правой части второго уравнения взять знак минус, то получии л' = 140 смг, лк — 2725 смй ио оси хт и ут будут повернуты на 90' относителыю осей хт и уг, показанных па рис.
100. 188 статические моменты, центгы тяжести [гл. чп 9 56. Контрольные вопросы Как определяется статический момент фигуры через площадь фигуры и координаты ее центра тяжести? Какова размерность статического момента? Чему равен статический момент площади фигуры относительно осн, проходнщей через центр тяжести фигуры? По каким формулам определяются координаты центра тяжести фигуры? Что называется осевым, полярным и центробежным моментами инерции? Какова их разиерность? Как связаны между собой суммы осевых моментов инерции относительно перпендикулярных осей и полярный момент инерции относительно точки пересечения этих осей? Какие из моментов инерции — величины всегда положительные? Как пишутся формулы перехода для осевого н центробежного люментов инерции при параллельном перенесении оси? Чему равен осевой момент инерции прямоугольника относительно его центральной осн, параллельной основанию? Чему равны осевые центральные моменты инерции круга и кругового кольца? Как изменяется центробежный момент инерции прн повороте осей координат на 90'? Какие оси называются главными центральными осями инерции? Почему ось симметрии фигуры всегда является одной из главных осей инерции? Как опрелеляется момент инерции сложной фигуры, если ее можно разбить на простейшие фигуры, моменты инерции которых легко определяются по формулам или таблицам? ГЛАВА Н1!1 ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО БРУСА, ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ И ПОПЕРЕЧНАЯ СИЛА 5 бб.
Общее понятие об изгибе Возьмем прямолинейный призматический брус с продольной плоскостью симметрии (рис. 101); приложим в этой плоскости уравновешенные силы, действующие перпендикулярно к оси бруса. Брус под действием этих снл изогнется, ось его искривится. Изгиб бруса силами, перпендикулярными к его осн и лежащими в одной плоскости, проходящей через ось бруса, называется поперечным изгибом. Деформания изгиба бруса произойдет в плоскости действия р сил; такой изгиб называется —,— ~ з плоским. г Рассмотрлм в качестве г -Р г — Р примера брус, изгибаемый четырьмя равными силами Р, Рис. 101.
действующими перпендикулярно к оси бруса н лежащими в одной плоскости (рис. 102, а). Нетрудно видеть, что брус под действием приложенных к нему сил будет находиться в равновесии. Рассечем мысленно брус по какому-либо сечению тл, лежащему на участке ВС. Рассмотрим теперь какую-нибудь часть бруса, например левую (рнс. 102, б); на эту часть бруса действует пара сил с момен~он, равным Ра, стремящаяся вращать ее по часовой стрелке. Для того чтобы эта часть бруса сохранила сссгояние равновесия, в котором она находилась до разреза, необходимо в сечении тп приложить момент М упругих снл, равный 190 изГиБ пРЯмолинейнОГО БРУСА, изГиБАющий мОмент )гл.
ч!и по величине моменту Ра внешних сил, но направленный в противоположную сторону. Где бы на учзстке ВС мы ни произвели сечение бруса, мы будем получать тот же ответ, а именно: всегда отсеченная часть бруса будет находиться в равновесии под действием двух моментов, равных по величине Ра и направленных в противоположные стороны. Изгиб )ив б) л х $ Рис. 102. бруса (в данном случае участка ВС), производимый двумя равными моментами, направленными в противоположные стороны, называется чистым изгибом.
Следовательно, участок бруса ВС находится в состоянии чистого изгиба. Иное получится, если произвести сечение на участке бруса АВ н СО. Действительно, разрежем брус на участке АВ в сечении т,и, на расстоянии х от левого конца (рис. 102, в). Тогда левая часть бруса будет находиться в равновесии, если в сечении т,и, приложить момент ТИ упругих сил, равный моменту Рх внешней силы, но направленный в противоположную сторону, и приложить результирующую упругих сил, направленную вниз и равную Р. Сила Р, действующая в плоскости сечения, стремится срезать брус по этому сечению. Следовательно, в этом случае к изгибу, вызывае- 5 56) овщвв понятия ов изгивв мому вьоментами, присоединяется сше деформация сдвига. Такой вид деформации называется поперечным изгибом.
Для наглядного представления деформации мзгмба возьмем небольшой призматический резиновый стержень. Начертим на его грани две линии, параллельные друг другу и перпсндикулярвые к осв стержня. Приложим по его концам в плоскости симметрии два равных, но противоположно направленных момента (рис. 103, а). Стержень под ( действием изгибающих й' моментов прогнется, начерченные прямые остапу ""Р" """Р" ~ ~Ю ~у дикулярными к изогнутой оси стержня (рис. 103, б).
Ыар~~ьеый слег Этот простой Опыт Уаеаья ьааяа учит многому. Из него можно ааключить, пред- б) нейюрпгьезл ась полагая, что внутри балки явление будет проис- $) ходить также, как и наес Рвс. 193. гранях, что плоские поперечные сечения и при деформации изгаба Остаются плоскими. Далее, видно, что эти плоские сечения взаимно наворачиваются одно относительно другого.
Очевидно, такой поворот происходит вследствие растяжении одних волокон материала и сжатия других. В нашем примере верхнис волокна (на вогнутой стороне стержня) сжимаются. Отсюда легко сделать заключение, что у балки имеется такой слой волокон, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Этот слоИ называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтральйого слоя с плоскостью какого-либо поперечного сечения называется нейтральной осью. На рис.
103, г линия пп представляет нейтральную ось. Кроме того, на той же резиновой модели легко заметить, ,что продольное укорочение волокон на вогнутой стороне сопровождается удлинением в поперечном направлении, а продольное удлинение волокон на выпуклой стороне в сужением в поперечном направлении, т. е. явления протекают так же, как при простом растгмгении и сжатии. Вследствие стого верхняя и нижняя стороны сечения, т. е.
линии ад и сд, 192 изГиБ пРЯмОлинеЙнОГО БРУСА, изГиБАющий мОмент 1гл. чп! искривятся: верхняя линия аб удлинится, а нижняя сИ укоротится. Эти весьма ценные и, казалось бы, простые выводы не сразу были сделаны учеными. Потребовалось больше столетия со времени начала изучения изгиба, чтобы прийти к правильному пониманию явления изгиба. Галилей, начавший впервые изучазь теорию изгиба еше в Х'гГ1! веке, сделал неправильное предположение, что при изгибе все волокна материала одинаково удлиняются.
И только в конце ХЧ1П столетия опытным путем было подтверждено правильное предположение, сделанное в начале того же столетия, что при изгибе одни волокна — на выпуклой стороне — растягиваются, а другие в на вогнутой стороне в сжимаются. Вследствие удлинения одних волокон и укорочениядругих, вызываемых в брусе изгибающими моментами, в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия.
Величина этих напряжений в данном поперечном сечении зависит от величины действующего в этом сечении изгибающего момента. Выше мы видели, что в случаях изгиба бруса силами, кроме изгибающего момента, в поперечных сечениях действуют еще поперечные силы, стремящиеся произвести сдвиг бруса.
Поперечные силы вызывают в брусе касательные напряжения, геличина которых в сечении зависит от величины поперечной силы в данном сечении. Таким образом, в изгибаемом силами брусе в общем случае возникают нормальные и касательные напряжения. Прежде чем перейти к определению величин этих напряжений, рассмотрим способы определения изгибающих моментов н поперечных сил в различных поперечных сечениях нзгиоаемых брусьев. ф 57.
Опоры и опорные реакции балок Брусья с прямолинейной осью, положенные на опоры и изгибаемые приложенными к ним нагрузками, обычно называются балками. Балки служат для передачи действующих на них нагрузок на опоры, на которых онн покоятся. На опорах балки возникают реакции, с определения которых следует начинать решение всех задач, связанных с изгибом балок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
