Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Рассмотрим теперь изгиб балки с несимметричным поперечным сечением, например балки, имеющей поперечное сечение в виде неравнобокого уголка (рис. 124). Предположим, что внешние нагрузки действуют в глаг; ной плоскости балки, т. е, в продольной плоскости, проходящей через одну из главных осей поперечного сечения.
Рис. 124. Пусть оси у и л будут глзвными центральными осями сечения, а изгибающие моменты действуют в главной плоскости, проходящей через ось у. Посмотрим, будут ли удовлетворяться условия равновесия, если предположить, что распределение напряжений по сечению балки в этом случае будет такое же, как и в случае действия изгибающих моментов в плоскости симметрии бруса, т. е. по формуле (174), н будет ли нейтральная линия совпадать с главной пентральной осью л поперечного сечения бруса.
При распределении напРяжений по поперечному сечению по формуле (174) момент внутренних усилий относительно нейтральной оси уравновешивает внешний изгибающий момен г. Элементарное усилие, действующее ка кзкую-либо площадку тР, имеющую координаты л, у, по формуле (174) будет; с(М = ег)г. = — Уг1Р'. Му 15* [гл. гх 228 нлпеяжвния пеи изгнав Элементарный момент от э~ого усилия относительно глав- ной осн Оу равен: д Ив= — -'дР.
е. Му Мв —— [ — УедР'= — [ уедГ. РД)у И в,/ у Внешний изгибающий момент относительно той же оси бруса равен нулю, следовательно, и гИ должен быть равен нулю, а это будет тогда, когда ~ уедР= О, т.е. когда центробе>кный момент сечения будет равен нулю. Так как оси у и з являются главными осями, то центробежный момент относительно этих осей действительно равен нулю [см.
й 53). Следовательно, в случае действия изгибающего моменга в одной из главных плоскостей балки другая главная плоскость будет совпадать с плоскостью нейтрального слоя, пли, иначе, нейтральная линия сечения будет совпадать с главной центральной осью сечения, и распределение напряжений по сечению будет такое же как и в случае действия изгибающих моментов в плоскости симметрии бруса. ф 64. Моменты сопротивления наиболее часто встречающихся сечений Зная осевой момент инерции сечения относительно нейтральной линии и расстояние наиболее удаленных волокон от нейтральной линии, моменты сопротивления будем определять по общей формуле 1177): %'=— Ух~ах Момент сопротивления прямоугольного сечения с основанием о и высотой й (рис.
125) будет: веха вйт В'= — „- = — „= —.. й, й б 2 2 (180) Сумма элементарных моментов всех внутренних усилий, действующих в поперечном сечении, относительно главной оси бруса Оу будет: 5 641 229 МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ В формуле (178) момент сопротивления стоит в знаменателе, следовательно, с увеличением момента сопротивления увеличивается и прочность балки. Поэтому с точки зрения экономии материала наиболее рациональными будут такие сечения, у которых при малой площади моменты сопротивления получаются ббльшими. Так, наприлгер, прямоугольное сечение балки, у которой /г ) (>, выгоднее, чем квадратное.
Действительно тнвления квадратного сечения , момент сопроравен: ал — (181) прямоугольного .г аг (" кв— а а — 12 °вЂ” 2 2 Если площзди сечений и квадратного равны, т. е. г>гг = аг, Рис. 125. то отношение момента сопротивления прямоугольного сече- ния к моменту сопротивления квадратного сечения будет: )йяр ааг аъ ад и И )р'„ б 6 аг а а 1р' = —.. лаг б ' (182) Из сравнения формул (180) и (182) видно, что в последнем случае (балка, положенная плашмя) момент сопротивления будет меньше, следовательно, класть балку плашмя невыгодно. В этом легко убедиться, изгибая обычную черте>кную линейку.
1>1омент сопротивления для круглого сечения будет равен: 64 ° —, гг, гг 32 2 2 Так как (>гг = аг н гг ) (>, то Ь ) а, следовательно, %',р прямоугольного сечения во столько раз больше )лт„ квадратного сечения той >ке площади, во сколько раа высо~а прямоугольника больше стороны квадрата. Балка прямоугольного сечения, положенная плашмя, будет иметь момент сопротивления 2ЗО [гл. !х нлпРяжения пРи изГиБе Прямоугольное и круглое сечения чаше всего встречаются в деревянных балках. Для металлических балок выбирают другие, более рациональные сечения, чем прямоугольное и круглое. Так как вблизи от нейтральной оси материал мало напряжен, то выгоднее больша материала сосредоточивать по- а) Рис.
126. палыче от нейтральной оси, т. е. переносить его от мест, где он нзпряжен мало, к местам, где он будет напряжен больше. Поэтому для балок из металла, сопротивлвошегося одинаково растяжению и сжатию, час!о сечения выбирают в виде двутавра (рис. 126, а), швеллера (рис.
126, б); часто применяются сварные балки (рис. 126, в). Такие балки в сравнении с балками прямоугольного и круглого сечений, имевшими такую же плошаль сечения, дают аначительно большие моменты сопротивления. Нейтральная лиРнс. 127. ния в этих сечениях проходит посре- дине высоты. поэтому наибольшие напряжения растяжения и сжатия для таких сечений будут одинаковыми.
Для балок, материал которых сопротивляется неодинаково растяжению и сжатию, например чугун, берутся сечения, несимметричные относительно нейтральной линии, как, например, тавровое сечение (рнс. 127). Тавр тогда располагают так, чтобы в горизонтальной полке были напряжения растяжения; последние благодаря приблн!кению нейтральной оси к горизонтальной полке оказываю!ся л!еньшнми напряжений сжатия (см. $65). 8 64! МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ 23! В практике нередко встречается кольцевое сечение (трубчатое).
Момент сопротивления кольцевого сечения больше, чем круглого сечения равной площади, так как материал в кольцевом сечении более рационально использован: он отнесен лальше от нейтральной линии. Момент сопротивления для кольцевого сечения с внешним диаметром О и внутренним г( будет рзвен: 11 В 82О = 0'1 1) (184) ( — е ) (В4 — ач) ))е — П4 64 2 2 пли, обознзчив отношение — = а, получим другое выраже- В ние для )й' кольцевого сечения: Ф'ж0,10з(! — ае). (185) Выражением (185) обычно пользуются при определении диаметров сечения В и И при заданном отношении — =а, 1:1 Моменты инерции и моменты сопротивления катаных профилей стандартных размеров даются в таблицах ГОСТ.
Пример 89. Определить отношение между сторонами Л и Ь прямоугольной балки, вырезанной с тем расчетом нз круглого бревна диаметра й (рва 128), чтобы сечение имело наибольший момент -«,— ~ сопротивления )Г'. Решение. Момент сопротивления прямоугольника, имеющего основание х н высоту у, будет. «ут В' = —, б так кзк угла д.з то х (йт — х') «йт — хз %' = б б Рнс. 128. для определения максимального значения )й' составим выраже- н' )Гг нне — Р и'х Ийг ва Зхт — —.— — = О, Кх б Ь 232 [гл. ~х НАПРЯЖЕНПЯ ПРИ ИЗГИБВ откуда и, следовательно Зхт= пи И х= —. Ь'З ' тс Высота прямоугольника с основаниен — будет: Ьгз у= т а'т — хз = ф Фа — — = Ф ~г З а' З у:х=л'~/ —,: — = т'2 l 2.
гт З у'З или Ь:Ь=1'2 7:5. Пример 60. Определить, как изменится момент сопротивления квадратного сечения со стороной а относительно диагонали АВ (рис. 129), поставленного на ре- О бро, если срезать вверху и внизу ха ~~' Ь" уголки с боковыми сторонами, 1 равными — стороны квадрата. 9 Срезаемые уголки иа чертеже показаны штриховкой. Решение. Момент сопротивле- В х нияполногоквадратаотиосительно 2 ш диагонали АВ будет: у аа аа1 2 Ж'= — = а "т"2 12 Определим теперь момент сопротивления оставшейся части квадрата после удаления треугольников. Эту часть можно рассматои- РОВ и двух параллелограммов АЕГК В, Рнс. 129. вать состоящей из квадрата и АКИМ.
Основание треугольника Ь = — а 'Ьг2 . 9 Высота треугольника и= — а1' 2. 1 18 Следовательно, отношение сторон прямоугольника, вырезанного из круга и имеющего наибольший момент сопротивленил, будет: ф 66] РАсчетные ФОРмулы изгиБА. пРимеРы РАсчетл Балок 233 Момент инерции квадрата ЕКЕВ относительно диагонали равен: ~а — — а) 7г 12 Сумма моментов инерции параллелограммов АВЕК и АКЕЛ1, сложенных своими основанивмн, равна: 1 9 2 ° — а)7 2лз 2а'тг2 — а — — а 8ат1 — 1 27 27 Момент сопротивления оставшейсв части квадрата 8 — а Отношение момента сопротивления Ж" к моменту сопротивления полного квадрата будет равно: К" 64 т' 2 аз ав 1' 2 1 054 729 ' 12 Таким образом, удаление треугольников уменьшает площадь сечения, но увеличивает момент сопротивления на 5в/ Это происходит оттого, что хотя с удалением треугольников уменьшается момент инерции квадрата, но в еще большей степени уменьшается высота балки.
Я 66. Расчетные формулы изгиба. Примеры расчета балок й'т ав — — —. (]Бам], Д4вш Кгт (186) Выше было показано, что при изгибе балки поперечными силами в сечениях балки, кроме изгибающих моментов вызывающих нормальные напряжения, действуют и поперечные силы. Касательные напряжения, вызывземые поперечными силами, достигают знзчительной величины только в очень коротких балках. Поэтому расчет балок производится обычно только по нормальным напряжениям. Зная для данного материала допускаемые напряжения на растяжение [ер] и на сжатие ]егм], можно на основании фор. мул (178) написать уравнения прочности при изгибе: 234 [гл. >х НАПРЯ>КЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
