Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 36
Текст из файла (страница 36)
нзпряжения в крайних волокнах не должны превосходить допускаемых напряжений на растяжение н сжатие. Если для данного материала [ар[= [ЗБ. [= [а[, то расчетное уравнение прп изгибе будет> Расчетные уравнения прочности прн изгибе аналогичны расчетным уравнениям, рассмотренным выше. Они дают возможность также решать три задачи: 1) определять напряжение, если известны изгибающий момент, действующий на балку, и момент сопротивления сечения балки; 2) определять >згибаюший момент, действующий на балку, если известны допускаемое напряжение и момент сопротивления сечения, н 3) определять момент сопротивления, а по нему и размеры сечения, если известны изгибающий момент и допускаемое напряжение.
Если материал балки сопротивляется одинзково как растяжению, так и сжатию, то целесообразно выбирать поперечное сечение балки с двумя осями симметрии. Если же допускаемые напряжения на растяжение и сжатие для данного материала различны, то целесообразнее выбирать сечение балки, несимметричное относительно нейтральной оси, и так расположить балку, чтобы волокна, испытывающие более опасные напряжения, были ближе к нейтральной оси.
Рис. 130. Пример 61. Определить допускаемую величину силы Р, изгибающей своболио лежащую на двух опорах стальную балку длиной 3 ж (рис. 130). Сечение балки прямоугольное, Ь б сж, а=12 ель н редел текучести материала а, = 2300 ка[смт, запас прочности д = 23. 65) влсчвтиыв еовмклы магг|па. пвимьиы влсчатл алло«235 Решение. Максииальиый изгибающий моиецт, действующий поарсдпве балки, по формуле (170) равен: Р) '4(аих 1 Напишем условие прочности: Ммат — — — илм 67 ог а Ьна Л' 6 откуда 4а,Ь)га 4 ° 2500 6 ° 12"- 6 25 1 6 25 300 Пример 62.
Определить условное напри кение в расчетном сечении АВ зуба шестерни (рис. 131), если давлеиие иа зуб Р = 4500 кг мриломгеио к его вершиие. Высота зуба 5=30 щлг, длина зуба Ь = 90 лглг, толщина Л = 22 лглг. '151— Рис. 132. Рис.
131. Решение. Изгибающий момент в расчетном ссчспми М = Р ° 5= 4500 3 =13500 кгслг. Моисит сопротивления расчетного сечения Ь Ва 9 ° 2,2а — — 7726 сшд 6 Напра'кеиие в расчетиом сечении М 13 506 а = — —,. = 1360 кг)алга. ОУ 7,26 Пример 63. Определить диаметр оси пагопеткп, если силы, действующие по концам оси (рис. 132, а), Р = 2000 кг, рассто:пьая 236 [гл. >х нлпгяжвния пги изгигв точек приложения сил до средней плоскости колес а 15 гм, допускаемое вапрюкевие )е) 1000 кг/емг. Решение. Опорные реакции А и В равны: А В 2000 кг. Максимальный изгибающий момент (рис. 132, б) разек Л4„, Р ° а = 2000 ° 15 = 30 000 кгем.
Момент сопротивления Мм „30000 )р мее =30 емг, 1а) 1000 а так как йг= 0,1лй то "l 3О Л у — 6,69 7 ем. У О,) ф 66. Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавского В 6 66 мы видели„что в общем случае изгиба в поперечных сечениях балки действуют изгибающие моменты 1вызызаюшие нормальные напряжения) и поперечные силы. Р Поперечная сила стремится сдвинуть олпу чзсть балки относительно другой в направлении, перпендикулярном к оси балки. Поэтому поперечная сила вызывает в плоскости поперечного сечения балки касательные напряжения. В силу закона Рнс.
133. парности касательных напряжений в балке появляются касательные напря>кения, лействующие параллельно нейтральной плоскости, которые стремятся сдвинуть горизонтальные слои балки друг относительно друга. В спрзведливости существовзния последних напряжений легко убедиться на следующем простом опыте. Возьмем балку, составленную из лвух ничем не скрепленных брусьев, и нагрузим ее изгибающей силой, как показано на рис.
133. Кажлый отдельный брус в этом случае будет вести себя, как самостоятельная балка, верхние волокна брусьев будут сжиматься, а нижние — растягиваться. Опыт показывает, что концы такой составной балки принимают при изгибе ступенчатое располо>кение, т. е, что отдельные э 661 клслтвльныв нлпгяжения пги изгнав валки 237 брусья сдвигаются друг относительно друга в продольном направлении.
В целой балке ступенчатости концов не получается. Очевидно, в этом случае упругие силы, возникающие в продольных слоях балки, препятствуют этому продольному сдвигу. На рис. 133 показаны стрелками эти касательные усилия. Существованием продольного сдвига, в частности, объясняется появление продольных трещин в балках, материал которых, как, например, дерево, плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон. Убедившись в существовании касательных напряжений при изгибе, перейдем к определению их ям л и а1 ь — -Ь4 — — ' 31 Рис.
134. величины и закона распределения по высоте балки. При этом рассмотрим простейший случай, когда балка имеет прямоугольное сечение. В случае прямоугольного сечения можно предположить, что касательные напряжения в поперечном сечении параллельны поперечной силе Я н что величина их не изменяется по ширине балки, т. е. вдоль линии, параллельной нейтральному слою. Такое предположение, как показывают точные исследования, дает весьма небольшую ошибку. Возьмем балку прямоугольного сечения со сторонами Ь Х Ь, изгибаемую силой Р (рис.
134, а). Проведем на левом участке балки два поперечных сечения 1 — 1 и 2 — 2, отстоящих друг от друга на расстоянии дх, и продольное сечение аЬ, параллельное нейтральному слою, на расстоянии ув от последнего. Этими тремя сечениями на балке вырежется бесконечно узкий параллелепипед глаЬа с размерами сх, — — уз р л 2 и Ь.
Обозначим изгибающий момент в сечении 1 — 1 через М, в сечении 2 — 2 — через М'=М+41М. Поперечные сечения 238 (гл. гх нлпгяжвнпя пги изгпвз с(М, = с г(Г = —: г(Г, ./ где 1 — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси. Нормальное усилие, действующее на всю левую грань параллелепипеда: /'Му л где Р— площадь части поперечного сечении от ув до 2' Л[ В подынтегральном выражении величина — постоянна„ У так как в данном поперечном сечении М и 1 постоянны; поэтому д(,= — (у (Р.
М /' г=1 / (а) 1 — 1 и 2 — 2 проведены на левом участке балки, где изгибающие моменты и поперечные силы положительны. Поэтому М' ) М нлн г(М ) О. Рассмотрим условия равновесия параллелепипеда табл, мысленно представив его выделенным нз балки (рис. 134, б). Действие на него отброшенных частей балки заменим внутренними усилиями. По боковым граням параллелепипеда, образованного плоскостямн сечений, бУдУт действовать сжимающие ноРмальные УсилиЯ )тг, и Л'а, вызванные изгибающими моментами, причем на грани та усилие И, будет меньше, чем усилие Ф, на грани Ы, так как М') М.
Кроме того, по боковым граням будут действовать касательные усилия, вызванные поперечными силами. Равнодействующую этих усилий обозначим через Т'. Вследствие того, что нормальное усилие 1чт ) Мо параллелепипед должен передвинуться влево. Этому передвижению, однако, препятствуют касательные усилия, появляющиеся на грани ад. Результирующую этих усилий обозначим через Т.
Элементарное нормальное усилие, действующее на бесконечно малую площадку 0Р левой грани параллелепипеда (рис. 134, в), находящуюся на расстоянии у от нейтральной оси, равно: ф 66] НАЕАтельные ИАНРЯжениЯ НРи 7!згизе вллки 239 Аналогично находим величину силы А7а действующей иа правую боковую грань параллелепипеда: М, +77М ~' (б) Величина результирующей Т касательных усилий, действующих на нижней грани параллелепипеда, если считать усилия распределенными равномерно на бесконечно малой длине л7х грани, равна: Т= т(7 л7х. (в) Проектируя все силы, действующие на параллелепипед, па ось к, получим: ~ А = О, Аг, — Аг, = Т.
(г) Подставив в выражение (г) значения А(„Ага и Т соответственно из выражений (а), (б) и (в), получим: М+ 77М М (' у ./ у 77'à — — у 71Г = т(7 л7х, у н 77 нли А7М Т вЂ” Г у И' = т(7 7(х, у / Р откуда 77И 1 ( л'х а.г „7 = — — (у (~. (д) е Интеграл ]у77г' представляет стааический момент за- Р„ штрихованной площади относительно нейтральной линии, т. е. площади боковой грани параллелепипела. Обозначим его сокращенно: [гл.
пс 240 НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ Величина — ' равна (,!, т. е. поперечной силе. Поэтому л'М я~х выражение (д) можно окончательно переписать: (! 88) Итак, касательное напряжение в продольном слое балки равно произведению поперечной силы (Г)) в рассматриваемом сечении на статический момент (5) относительно центральной оси части поперечного сечения, лежащей выше рассматриваемого слоя волокон, деленному на момент инерции (Л всего сечения относительно нейтральной оси и на ширину (Ь) рассматриваемого продольного слои. Для данного сечения величины Я и з постоянны. Поэтому касательные напряжения изменяются прямо пропорционально 8 отношению —.
В самых верхних и нижних продольных слоях Ь ' балки, т. е. там, где нормальные напряжения от изгибающего момента имеют наибольшие значения, касательные налрлРмения )тавыы нулю, так как для них о'= — О. Для сечений, у которых ширина Ь остается по всему сечению постоянной, наибольшие касательные напряжения будут в нейтральном слое, так как для нейтрального слоя статический момент имеет максимальное значение. В общем случае величины 8 и Ь будут переменными.
Предсказать заранее, где будут максимальные касательные напряжения, нельзя. Можно только сказать, что они будут максимальными для тех слоев, для 8 которых отношение — имеет максимальное значение. Ь Вследствие закона парности касательных напряжений формула (188) определяет и величину касательных напряжений в поперечных сечениях балки. Следовательно, насательные напряжения в поперечном сечении балки распределяются неравномерно. Касательные напряжения вызывают деформацию сдвига балки, которая, однако, не отражается на распределении нормальных напряжений, определяемых формулой (178).
Вследствие деформации сдвига плоские до изгиба поперечные сечения не остаются плоскими, как при чистом изгибе, а нскривляются. На рис. 135 показаны искривления поперечных сечееий. Там, где касательнь.е напряжения достигают мак- ф 661 кАсАтельные ИАНРяжения пРи изГиБе БАлки 241 симальных значений, получается и наибольший сдвиг; волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя, не имеют касательных напряжений, поэтому там сдвига не происходит, и кривые гпп остаются перпендикулярными к крайним поверхностям балки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
