Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 22
Текст из файла (страница 22)
4) Образующие цилиндра обратятся в винтовые линии с большим шагом. Сделать с абсолютной уверенностью заключение об изменениях, происходящих при кручении во внутренних точках цилиндра, по этим внешним признакам, конечно, нельзя. Но тот факт, что нанесенные на цилинлре окружности и торцы цилиндра после деформации остаются плоскими, а образующие превращаются в винтовые линии, дает право предположить, что каждое поперечное сечение, оставаясь плоскиль сдвигается относительно смежного сечения.
Поворот поперечных сечений относительно оси цилиндра на некоторый угол происходит так, кзк если бы поперечные сечения были абсолютно жесткими. Как показывает опыт, углы поворота поперечных сечений около своих центров прямо пропорциональны их расстояниям от неподвижно закрепленного конца. Угол поворота концевого сечения называется полным углом за- ф 39) опевдвлвнив нлпгяжвний и дввовмлций 137 кручиааиая. Теоретические выводы, сделанные на основания предполомгения, что поперечные сечения при кручении круглого цилиндра остаются плоскими, полностью подтверждаются опытными исследованиями.
Теория кручения круглого стержня основанз на трех следующих предположениях: 1) плоские поперечные сечения бруса остаются плоскими и после деформации, 2) радиусы поперечных сечений при деформации остаются прямыми, 3) расстояния между поперечными сечениями не изменяются. а б1 Рис. 73. Перейдем к выводу основных уравнений кручения кпуглого стержня. Выделим иа закручиваемого стержня диск радиуса г (рис. 73, а) на расстоянии х от закрепленного конца, ограниченный двумя смежными сечениями 1 и 2, находящимися друг от друга на расстоянии г1х. Точки д, с и г1, до деформации лежавшие на одной образующей, после деформации расположатся на винтовой линии и займут новые положения Ь', с', гГ. Если сечение 1, лежащее на расстоянии х от нигкнего конца, повернулось относительно последнего на угол ф, то сечение 2, находящееся на расстоянии х .+г)х, повернется относительно закрепленного конца на угол ф + г)ф (рис.
73, б). Проведем из точки Ь прямую Ьс", пзоаллельную Ь'с', и соединим центр второго сечения с точкой с". Тогда угол сОес", равный пф, будет углом поворота сечения 2 относительно 1. У элемента дс"с'Ь' до поворота сечения 2 относительно сечения 1 боковые стороны были расположены вертикально. 1З0 (гл. ш кгтчвиии После поворота стороны наклонились и приняли положение Ьсл и Ь'с'. Следовательно, элемент претерпел абсолютный сдвиг, равный длине дуги: сс' = г Нф. Относительный сдвиг элемента будет равен: гар л'л Отношение — представляет угол закручивания на едиот лх ницу длины брусз.
Обозначим его 0. Тогда (=г0. (91) Из этой формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого цилиндрического тела. Так как в начале этого параграфа мы приняли, что радиусы поперечных сечений не искривляются, а остаются прямыми, то можно сказать, что и для элемента, подобного выделенному, но лежащего внутри цилиндра на расстоянии р от центра, относительный сдвиг будет равен: 7,=90. (а) На основании закона Гука для сдвига т=О" (79) Рис. 74.
можно определить напряжение для любого элемента тела по величине его относительного сдвига. Так, для элементов, лежащих на поверхности стержня, на основании уравнений (91) и (79) напряжение будет: Лля элемента, лежащего от осн на расстоянии р (рис. ?4), напряжение будет равно: ;, = ООР. (б) Касательная элементарная сила на площадке г(с' поперечного сечения будет равна: т !Г=60РЬ . 9 э 39) опгвдвлвнив напгяжвннй и дввогмлций 139 откуда угол закручивания па единицу ллины бруса будет: М„ 0= с."' (92) Произведение сер, стоящее з знаменателе, называется зкееткостьго ири кручении. Полный угол закручивания получим, умножив 0 на длину стермгня Е: л(„1 9= О./р' (93) Направление этих внутренних элементарных сил перпендикулярно к соответствующим радиусам, так как именно в этом направлении и происходит сдвиг.
Момент элементарной силы относительно оси бруса будет: (М = СВрЧР. (в) Сумма таких элементарных моментов, распространенная по всему поперечному сечению гч, при равновесии, наступающем после деформации, должна быть равна внешнему скручивающему моменту. указанную сумму моментов найдем интегрированием выражения (в): М„=- ~ аМ = ~ Свре г(Г. Р Вынося постоянные за знак интеграла, получим: Ме — СВ Х рзгт.
(г) Выражение ~ рее)Р, т. е. сумма произведений элементарных площадок (е(Р) на квадраты их расстояний (ра) до какого- либо полюса, лежащего в плоскости фигуры, распространенная на зсю площадь фигуры, называется полярным молеентом инерции фигуры и обозначается ер. Полярный момент инерции есть величина геометрическая и имеет размерность елее. Полярный момент инерции — величина всегда положительная. В нашем выводе полюсом Ур является центр сечения, т. е.
центр круга. Вводя обозначение полярного момента в выражение (г), получим: 140 (гл. чг КРУЧЕНИЕ Полученная формула показывает, что полный угол закручивания стержня прямо пропорционален крутящему моменту М„ длине сгержня ( и обратно пропорционален жесткости при кручении ОУР. Надо, конечно, помнить, что при выводе формулы (93) мы пользовались законом Гука; тем самым мы предполагаем, что величина крутящего момента такова, что напряжения не превосходят передела упругости материала. В формуле (93) полный угол закручивания выражен в радианах.
Переход к градусам делается по общеизвестной формуле 180' (94) следовательно, 180' Маг ОУ (95) Подставим в уравнение (б) выражение угла закручивания на единицу длины из формулы (92): Л(а Л(ар г, = Ор —" = — ". (96) О.РР Уравнение это показывает, что напряжения в площадках сечения прямо пропорциональны их расстояниям до центра сечения (рис. 76). При Р=О Рис. 75 с=О, т. е. Иа оси в центрах сечений напряжений нет. По мере удаления от центра к периферии стержня напряжения растут по закону прямой.
Наибольшее значение напряжения при кручении круглого стержня будет в точках сечения у его поверхности; это напряжение его равно: Маг шааа у Р (97) В отличие от ранее рассмотренных деформаций напряжение при кручении распределяется по сечению неравномерно, возрастая от центра к краям сечения. 5 401 поляеный момвнт инввцин и момвнт сопеотив. квягл 141 Лиаграмма изменений напряжений (эпюра) вдоль любого рзднуса сечения представлена на рис. 75. Вследствие вакона парности касательных напряжений последние возникают и в продольных сечениях.
У вала из материала волокнистого строенн", имеющего меньшую сопротивляемость сдвигу вдоль волокон, чем поперек (дерево), при разрушении от кручения возникает трещина в продольном направлснин, если волокна параллельны продольной оси. Внутренняя часть вала, как наименее напряженная, часто совершенно удаляется, т. е. вал делается пустотелым. Напряжения в полом цилиндре повышаются весьма мало по сравнению со сплошным, но выигрыш в весе достигается довольно большой. Вот почему валы всех авиационных двигателей, для которых выигрыш в весе имеет весьма большое значение, высверливаются. Формуле (97) обычно придают несколько иной вид. Отношение полярного момента инерции /„к наибольшему радиусу сечения г называешься шоментои сопротивления «ручению и обозначается Чт, т.
е. (98) Ю' = — —. и В этом случае формула (97) принимает внд (99) Формула (93), позволяющая определить деформацию, н формула (99), выражающая максимальное напряжение, являются основными формулами теории кручения круглых цилиндров. 8 40. Полярный момент инерции и момент сопротивления круга и кругового кольца )(ля расчета сплошных н полых валов по формулам (93) н (99) необходимо уметь определять полярный моменг инерции и момент сопротивления круга и кругового кольца. Полярным моментом инерции фигуры мы назвали выражение / рег)г, т.
е. сумму произведений элементарных площалок с(Р фигуры на квадраты их расстояний (рэ) до некоторого полюсз, распространенную на всю плошадь фигуры. 142 (гл. щ кгученив Исходя из этого опрелеления, вычислим полярный момент инерции круга. Йля этого мысленно разобьем круг (рис. 76) на бесконечно большое число бесконечно тонких колец. Радиус одного из таких колец пусть будет р, а толщина ар; тогда площадь элементарного кольца может быть выражена так: дР = 2пр ~7р. Все точки этого элементарного кольца можно считать удаленными на одно и то же расстояние р от полюсз, т.
е. от центра круга. Умнозкив площадь кольца с(Р на квадрат Рнс. 77. Рис. 76. расстояния ее точек до полюса (р') и проинтегрировав это произведение в пределах от р = 0 до р = г, т. е. просуммировав произведения рас(Р по всей площади круга, получим: l„= / реИР= / ра2ярс(р= 2-.! Р ! = — ", .
(100) о р с й Заменим в формуле (100) г через — . Тогда получим дру- 2 ' гос выражение для полярного момен~па инерции круга; У = — 0,1д'. ваа 32 (101) Полярный момент инерции кругового кольца (рис. ?7) с внешним диаметром 7:1 н внутренним д найдется как разность полярных моментов инерции внешнего и внутреннего кругов: яВ4 32 ф 401 полягный момвит инвгции и момвнт сопготив, кгггл 143 получим: яВ4 чЫа и у = — „— — = —." (в — (пп)41, Р 32 32 32 нлп у,= 'зо (1 — и') п04 (103) Если кольцо очень тонкое, то, учтя, что 1)(1 — а) = 6, где 3 — толщина стенки, 1+а 2 и 1+-па 2, получим: (103') Момент сопротивления кручению для круга разек у я гг „га Я г 2 г 2 (104) Момент сопротивления кручению для крутово~о кольца равен: ,ул я (В4 — ач) (й4 — Лт) 1~4 — гГ4 и й В !б В ' В 32 ° —, 2 2 или %' = — 1)'(! — и') — 0,2В'(! — а').
(106) Для очень тонкого кольца из (103') получим: яЮ . )р' = — 3. Р 4 (103 ) Заметим, что момент сопротивления кругового кольца нельзя определять как разность моментов сопротивления большого и малого кругов. При расчетах полых валов удобно иметь выражение полярного момента инерции кругового кольца в другом виде. И Если обозначить отношение — = а, то из выражения (102) [гл. Уг кручение $ 41. Расчетные уравнения при кручении М„ гаях )В ~ [т[ р (107) Величину допускаемого напряжения [т! принимают равной 0,5 —;0,6 допускаемого напряжения на растяжение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
