Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 19
Текст из файла (страница 19)
58. ктырех своих гранях только касательные напряжения. Друышп словами, элемент находится в напряженном состоянии, г:зывасмом чистым сдвигом. й 32. Зависимость между модулями упругости Е и 6 Выше было показано, что растяз<еиие или сжатие бруса сопровождается сдвигом в плоскостях наклонных сечеиий бруса. Следовательно, деформация растяжения или сжатия зссцо связана с деформацией сдвига. 11а основании этой связи возможно теоретически определить зависимость между модулями упругости Е и О.
11озьмем прямоугольный параллелепипед, растягивасмый в олпом чаправлении и сжимаемый в другом, как показано на рис. 58, б. Если е, = е, ее = 0 и аз =- — а, то элеменгарный кубцк аЬсб будет ыаходиться в состоянии чистого сдвига. 1'авцые до деформации длины ОЬ и Ос после деформации [гл. в сдвиг изменятся: длина ОЬ увеличится и станет равной ОЬ'. а длина Ос уменьшится и станет равной Ос'! ОЬ'=ОЬ(1+з,), Ос'=Ос(1+аз). Относительные деформации е, и я, по формулам (49) разны: 1 ! 6 з, = — (а, — !ье.!) = — (а + !рз) = — (1 + р), Е ' Е Е ! ! а е = — (03 — рзз) = — ( — 0 — ря) = — — (1 + )ь), в=Е Е Е Следовательно, ОЬ'=ОЬГ1+(1-)-р) '~, Ос' = Ос ~1 — (1 -)- р) ~ ~.
Ос' ( +н) е 1 + (1 + и) —, (а) Так как —, представляет малый угол, то можно положить, т 2 что !д — = —,. Поэтому т т 2 2' т !и — — !й 2 4 1 — —, 2 (з т) (б) 1+ !й — ° !й —,' 4 2 Из формул (а) н (б) получим: 1 — —" ! — (1+и) — ' 2 Е 1+ т !+(!+1,) г Е илн '( = 2(1+9) —. ° (в) Прямой угол до деформации между гранями кубика аЬ и Ьс уменьшится. Обозначим уменьшение этого угла, т, е. деформацию сдвига, через (; тогда ЛОПУСКАЕМОЕ НАПРЯЖЕНИЕ ПРН СЛРИГЕ 117 8 33) Выше, в % 31, было показано, что касательные напряжения „„ -, на гранях элементарного кубика, находяшегося в состо „„инни чистого сленга, равны напряжению а, т.
е. с=а„ С другой стороны, т = 6Т. Слеловательно, в данном случае а =6Т. Подставив это значение а в формулу (в), получим: Е 2(1+И) ' (81) Таблица 7 Значения модуля б Материалы С, аггел' С, «г.гл' Материалы 8,1 10а ~ Алюминий . 4,5 ° 10а Дерево 4 10" — 4 9 1(Я Грпаль '1угун абсдь 2,6 1Оа 0,055 1Оа 5 ЗЗ. Допускаемое напряжение при сдвиге Вопрос выбора допускаемого нзпряження при сдвиге (срезе) сложнее, чем при растяжении и сжатии.
При выборе лопускаемого напряжения исходят из предела текучести или нрелела прочности материала. Однако непосредственное определение этих характеристик материала при сдвиге усложняется тем, что трудно практически воспроизвести чистый слвиг без изгиба и других добавочных явлений, влияющих на Результаты испытания. Поэтому допускаемое напряженны формула эта выражает зависимость между молулем упругое~и сдвига и модулем упругости растяжения или сжатия. В зависимости от значения коэффициента Пуассона р для данного материала меняется и численная зависимость ыждубиЕ. 1 2 Если и = †, то 6 = 5 Е.
4 ' 1 3 Если )а= —, то 6 = — Е. 3' 8 Б таблице 7 лзны срелние вначения модуля упругости 0 лля некоторых материалов. 118 [гл. ч сдвиг прн сдвиге устанавливается нз зеоретических соображений, проверенных практическим применением. В й 25 мы рассмотрели общий случай плоского напряя енного состояния, показанного на рис. 48. Главные напряжения для этого общего случая определяются уравнениями (47): и +а 1 а„+а, 1 ап,ы=, — —, р(а — а )в+4тз. и Л Ц (47) Чистый сдвиг представляет частный случай общего случая плоского напряженного состояния, когда а =ая — — О, т.
е. когда по граням элемента действуют одни касательные напряжения. Поэтому главные напряжения для случая чистого сдвига, определяемые по формулам (47), будут: а =тп а,. аппп п1п В плоском напряженном состоянии одно из трех главных напряжений равно нулю. Так как а ы получилось у нас отрицательным, следовательно, оно наименьшее из трех главных напряжений и должно быть обозначено через аа (см. э 23). Итак, прн чистом сдвиге а,=т, ап — — О, ап — — — т.
Согласно первой теории прочности (55) получаем условие [а[)~ а, =:, т. е. касательное напряжение прн сдвиге должно бьжь не болыпе допускаемого напряжения на растяжение, т. е. !т[~< [а[ По второй теории прочности (59) будем иметь: [а[>а — р и=( +р ). Если для стали принять р=0,3, то допускаемое каса. тельное напряжение должно быть такое: [т[ 0,77 [а[. 33! допхсклемов нлпеязкение.
пиг сдвиге 119 диалопшно согласно третьей теории прочности (65) получим: [з! .-аг — ее= г+т=2т. Следовательно, [т] = 0,5 [а]. [з!. У- +'+' — ('' + Ь+ Ь) = =У те+те+ту= т)~'3. Следовательно, [т]= 0,57[а!. В практике обычно принимают: для хрупких материалов [т[ = (0,8 —: 1,0) [е]; (82) .шя пластичных [т! = (0,5 †: 0,6)[з]. (83) Волокнистые материалы, такие, например, как дерево, сопротивляются сдвигу вдоль волокон (или, как говоряг ио о~ношению к дереву, скалыванию) иначе, чем изотропные: опи получают сдвиг между волокнами.
Для таких л~атериалов выбор допускаемого напряжения делается на основании имеющихся опытов. '1ак, например, для сосны среднего качества допускаемое напряжение на скалывание вдоль волокон равно все~о !.! = 10 г г,'с.из при допускаемом иапряжешш на растяжение гжель волокон [з] =.- 100 кз,'см'. Таким образом, [т! для сосны составляет всего 0,1[в] '..с:и известны допускаемые напряжения сдвига, то легко шшисагь условие прочности (расчетное уравнение) для сдвига: Р Г~ [ (84) срго уоавиение ииеет совершенно такой зке вид, как " расчсзиое уравнешге для растяжения (сжатия).
Наконец, по четвертой (знергетической) теории прочное~и (71) получим: 120 [гл, ч сдвиг % 84. Смятие ЛеФормация сдвига (среза) часто сопровожлается смятиеч. Характерным для смятия является действие сжимающей силы на сравнительно небольшом участке. Если, например, соединить два деревянных бруса болтом (рис. 59, а), то при навинчивании гайки поверхность дерева под гайкой и головкой болта будет сжиматься, вдавливаясь внутрь древесины. В этих местах появится местное сжатие, напряжение от которого быстро убывает по мере удаления в стороны и в глубь материала.
Ллл того чтобы уменьшить напряжение смятия дерева, увеличивают опорную поверхность в месте смятия, подкладывая под гайку и головку бола) та металлические шайбы (рис. 59, б), имеющие большую площадь соприкасания с деревом. Если поверхности соприкасания представляют хорошо обработанные плоскости, то тела соприкасаются по всем точкам стыка; в этом случае при центральном действии сжимающих сил можно ожидать равномерного распределения напряжений снятия по всему стыку. Обозначив сжимающую силу через Р, плошадь стыка через Е' и напряжение смятия через е„„, получим: Р а„.,„= — . 7' (8о) Проверка иа смятие производится для более мягкого материала, если соприкасающиеся тела сделаны из разных материалов.
При равномерно распределенном напряжении смятия допускаемое напряжение [ач,[ лля стали принимается равным [а,„[ = (2 †: 2,5)[е[, где [в[ — допускаемое напря>кение на сжатие. Для дерева [а„.„[ близко к [с[ и зависит от направления силы по отношеншо к направлению волокон. ф 35) пгимягы глсчятов нл сдвиг (сгзз) и смятиз 121 Связывая допускаемое напряжение смятия с действитель- ныи, записызают уравнение прочности так: Р аг„= Р ~()и,„).
186) ф 35. Примеры расчетов нд сдзпг (срез) и смятие Обычно в реальных условиях сдвиг сопровождается смятием и изгибом, вызывающими нормзльные напряжения. Еасательные напряжения в сечениях, по которым происходит сдвиг, часто распределяются неравномерно. Неравномерно распределяются и напряжения сл~ятия. Однако для простоты практических расчетов считают, что напряжения сдвига и снятия распределяются в сечениях равномерно. В частности, такое упрощающее допущение делается при расчете заклепок, шпопок, шлиц, врубок н пр.
Напряжения, определяемые при упрощающих допущениях, отличаются от действительных: они являются услозными. Выбор этих условных напряжений делается на основзнии наблюдения за работой выполненных конструкций. Рассмотрим несколько примеров расчетов на сдвиг и снятие.
Пример 28. Рассчитать болтовое соединение, показанное иа рис. 60, а, если сила Р = 803 иг, толщина скрепляемых деталей Ь =- 8 мм, допускаемоЕ напряжение сдвига 1;) = 600 кг/слет и допускаемое напряжение смятия 1а,я) = 2000 кг/еггй Решение. Сила Р стремится срезать болт по сечению ~пл. Необходимый диаметр болта определим нз расчетного уравнения (84): РР— = — <Ы Р 4 откуда / 4Р = ' 1 800 = 1 3 я ~~~ У 3,14. 600 Проверим стенки отверстий скрепленных болтом деталей на смятне. Сминаемая поверхность от нажатия болта на степку отверстия одной детали представляет боковую поверхность полуцилиндра высотой Ь и диаметром л 1рис. 60, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
