Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 14
Текст из файла (страница 14)
а =асов~а=асов 90 =О, т = —, згп 2е = —, згп 180' = О, 2 2 т. с. в продольной плоскости нет ни нормальных, ни касательных напряжений. Таким образом, при действии на брус продольной силы с нем возникают одновременно нормальные и касательнче напряжения и соответствующие втим напряжения.н дебгормации удлинения и сдвига. Этот вывод имеет в сопротивлении материалов чрезвыжйно важное значение. Многие материалы, как, например, мягкая сталь, сопротивляются воздействию касательных напряжений значительно хуже, чем нормальным напряжениям.
Поэтому, несмотря на то, что максимальные касательные напряжения при растяжении илн сжатии достигают. только половины максимальных нормальных напряжений, они являются опасными и могут стать причиной разрушения таких материалов. 84 сложное ньпею<<енное состояние [гл, >ч В частности, появление при растяжении на образце наклонных линий Чернова объясняется влиянием касательных напряжений. Эти линии, иногда заметные простым глазэм, указывают на происходя<цие в материале сдвиги; направление их определяется действием максимальных касательных напряжений. В плоскости М>)<г„ перпендикулярной к плоскости сече- ннЯ Мгь> (Рис. 45), ноРмальное напРЯ>кение о г,- и касатель- Р+ Р ное т г, можно определить по формулам (34) и (35), поде>авляя Зе в них вместо угла )> угол <7 + — , : 2 и Зе~ ,„= а созе ~<у + —,'~ = е з(пер, Я г У (37) г Зг< < а, = —, з(п 2 [ у + —,') = .Й ' г <" г я = — -- з)п 27.
(33) 2 Складывая величины нормаль- ных напряжений в двух взаимно й > перпендикулярных плоское>ях (сечения Мгь> и М<<'г>), получим: + е г„— о соз м + е 5<и г = а (созг <Р + з! и' р) = е. (39) Следовательно, сумма нормальных напряжений в двух взаимно Ряс. 45.
перпендикулярных плоскостях растягиваемого бруса равна нормальному напряжению е, действуюи<ему в плоскости поперечного сечения. Из сравнения касательных напряжений во взаимно перпендикулярных плоскостях [формулы (35) и (38)[ находим, что (40) с= — т г. 9 Следовзтельно, касательные напрязкения в дзух взаимно перпенди>сулярных плоскостях равны между собой по 85 понятие о гллвных нлпгяжвниях з 23! абсолютной величине и пРотивоположны по зиа>сУ (направлению).
'-)гот важный вывод называется законом парности касательных напряжений. Таким образом, если в какой-либо плоскости элемента действуют касательные напряжения, то в перпендикулярной к ней плоскости имеются равные по зосолютной величине касательные напряжения противополо>кпо>.о знака.
В заключение заметим, что все полученные в этом параграфе формулы для случая растяжения бруса продольной сизой справедливы и в случае сжатия бруса. Следует толшсо помнить, что растягивающие напря>кения считаются положи> сльными, а сжимающие — отрицательными. 5 23. Понятие о главных напряжениях В й 22 при одноосном растяжении (сжатии) бруса мы шше,>п, что в брусе на некоторых площадках одновременно восникают напра>кения нормальные о и касательные т.
)(ро>се >ого, в том же параграфе мы нашли, что в брусе имеются се >ения, в которых нет касательных напряжений: одни из >яких сечений перпендикулярны к оси растянутого (сжатого) б >уса (~у= О), друпсе параллельны его оси (2 = 90'). В пери„х сечениях возникают, как мы видели, максимальные норма.чьные напряжения, во вторых сечениях нормальные напряжения минимальны; в рассмотренном случае они были рш пы нулю. Такие ллоисадки, в которых отсутствуют касательные налрятсенил, называются главными, а нормальные сел!>лжет>и, действующие по зтилс площадкам, называл тся главными напряжениями.
Глав>сьсе площадки и главные напряжения можно апреле,>н>ь не только при осевом расюжении (сжатии) бруса. О>сазывается, что при любом напряженном состоянии тела чс рея каждую его точку можно правее>и три взаилшо перпендикулярные главные площадки, т. е. такие, в которых отсутствуют касательные напряжения. В одной площадке действует наибольшее (максимальное) по алгебраической велишше напряжение в,, во второй площадке — главное »апряжепие вя п в третьей плошздке лействует главное напра>кение о,, являющееся наименьшим из трех главных 8б сложнов нлпеяжаинов состояния (гл.
гг напрюкений. Таким образом, нумерация главных напряжений соответствует условию е, ) ег) ез. Так, например, если из напряженного тела вырезан элементарный кубик, грани которого параллельны главным площадкам, и в этих площадках действуют напряжения -+ 500 кг(слгг, — ЗОО кг)смг, — 200 кг)смг, то нумерацйя' главных напряжений будет такой: а, = 500 кг)смг, ег = — 200 нг/смг, о, = — 300 нг1смг.
Если все три главных напряжения не равны нулю, как в приведенном примере, то такое напря>кенное состояние называется объемным напряженным состоянием. Плоским напряженным состоянием называется такое состояние, когда одно нз главных напряжений равно нулю. Случай растяжения (сжатия) по двум направлениям относится к плоскому напряженному состоянию. Если два главных напряжения равны нулю, то такое напряженное состояние называется линейным напряженным состоянием.
Случай растяжения (сжатня) по одному направлению, рассмотренный в ф 22, относился к линейному напряженному состоянию. $ 24. Напряжения в наклонных сечениях при растяжении (сжатии) по двум взаимно перпендикулярным направлениям Пусть элемент, вырезанный из призматического бруса, растягивается равномерно распределенными напряжениями по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 46).
Так как по горизонтальным и вертикальным площадкам бруса нет касательных напряжений, то нормальные напряжения будут главнылш; поэтому мы их обозначим сч и аг считая е, ) ез. Определим напряжения в каком-либо наклонном сечении, перпендикулярном к плоскости чертежа. Если бы брус рзстягнвался только в одном горизонтальгюм нзправлении, то напряжения в сечении д(И согласно 4 24) нлпгажеиия пеи едстяжшши по двум напгавлениям 87 ,рориулам (34) и (35) были бы равны: от=а,сезар, т = — 'з!п 2р. !!апряжешш в том же сечении Мдг только от бруса в вертикальном направлении определяются грариулам (34) и (35). Подставляя в правые 3 имесго угла р угол р+ —,и, 2 сг найдем: Е аг = аа 5!Па р, (В) а аа = — —;= 51п 2'р. (Г) 2 Полное нормальное напра кение в сечении Л4И найден на основзшш примпила независимости действия сил, т.
е. суммируя выражения (а) и (в): с~~ а =а.+а == а, сова р+азз!и'р. (4!) Таким.же образом, сумап;руя выражения (б) и (г), получим полное касательное напряжение: а 'г — г+ 'г аг . Оа — — з!и 22 — —, з!и 2р, 2 2 Я или (а) (б) растяжения по тем же их части Рис. 45 та =-а-(а,— аа) а!и 2р. (42) ! Лля определения максимального и минимального нормальных напряжения возьмем первую производную выражения (41) по р и приравняем ее нулю: Иа --"= — 2а,сов рз!и р+2ааз!п р сов р =(а,— а,)з!п2~р=О. Этолгу уравнению удовлетворяюг двз значешш угла р, а именно: р = — О и гр = 90'. Из выражения (41) видно, что сложное ньпгяжвннов состоянии (гл.
ю пРи е, ) о, а ,„ бУдет пРи 4~ = 0', в этом слУчае а ,„ = ои а е,, будет при и =90', тогда е „=о,. Следовательно, главные напряжейия е, и о,, действующие в площадках, где нет касательных напряжений, являются наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями. Наибольшее касательное напряжение,как видно из выражения (42), будет при сйп2ф=!, т. е.
когда гу= 45'. 1 т„,„= 2 (ег — ат) (43) Если з)п2гр= — 1, т. е. р =135', то для такой площалки касательное напряжение будет по абсолютной величине равно т „. Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуюг по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 45'.
Пример 20. Определить нормальное и касательное напряжения к площадке, наклоненной к горизонтальной грани бруса под гглом т, если брус растягивается по двум взаимно перпендикулярным направлениям равиымн напряжениями а. Решению По форлгуле (41) = т сове у + а вгпт т = и по формуле (42) 1 = — (а — т) згп 2т = О. 2 Следовательно, во всех сечениях будут действовать равные нормальные напряжения; касательных напряжений в сечениях не будет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
