Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 11
Текст из файла (страница 11)
0,0078 . 5000 = 1190 »сг. Уллииенне третьей ступени (Р»+а +ат)1 а~ ЕГ» 2ЕГ» (12 000+ 1010+ 1100) 5000 1190 5000 2 ° 10а ° 30,6 2 ° 2 ° 10а ° 30,6 1 слг. Полный вес штанги П = — 6» + ба + Па = 1010+ 1100+ 1190 = 3300 «г. Полное удлинение штанги Ы = Ы» + Ыт + Иа —— 1,2 + 1,12+ 1 = 3,32 см. Если бы штанга была постоянного сечения, то необходимая площадь сечения с учетом собственного веса, определяемая по формуле (25), была бы равна: Г)~ — — — 31,3 см"; Р 12 000 [а[ — 15 500 — 0,0078 ° 3 ° 5000 или в процщпах: — ° 100 - »Оа/а. 362 3662 Вес такой штанги был бы равен: 6' = Л.т 31,3 ° 3 ° 5000 ° 0,0078 = 3662»сг. Следовательно, выигрыш в весе в случае ступенчатой штанги равен: Ьй й' — П = 3662 — ЗЗОО = 362 кг, 18) стАтически неопгеделиьзые зАдАчи ИА Растяжение 65 й 18.
Статически неопределимые задачи иа растяжение и сжатие Во многих задачах сопротивления материалов внутренние усилия, действующие в брусьях, не могут быть опредедены прп помощи только уравнений равновесия абсолютно твердого тела. Это бывает тогда, когда число неизвестных усилий больше числа уравнений равновесия, которые можно сос гапить для данного случая. Такие задачи поэтому называются задачами сггатически иеопределилсыми. Статически неопределимые задачи решаются добавлением к уравнениям равновесия недостающего числа уравнений, получаемых из рассмотрения упругих деформаций. Уравнения упругих деформаций отличаются от уравнений равновесия.
Б них входят, помимо усилий и геометрических размеров, еще и величины, характеризующие упругие свойства материала, т. е. модули упругости материала. В настоящем параграфе на конкретных примерах показано решение некоторых статически неопределимых задач на растяжение и сжатие. "гтр лГ ! Рг.р-ул Рнс. 37. Пример 14. Стальной брус длшюю А площздью поперечного сечения Р смч защеилепный обоиин концами, подвергается действию силы Р = Злг (рис.
37), приложенной в сечении лтп, отстоящем на расстоянии г, =10 см от верхней н на расстоянии Гт =-ОО см от ннжпсй заделки, Определать усиляя в частят бруса гх н Гз. б Зак. Гьст. Р, С. Кзнзсзшзвля бб Расчеты на пгочность пви влстяжвини н сжатии (гл. и! Решение. Сила Р растягивает верхнюю часть бруса и сжимает нижнюю часть, повтому обе реакции в заделках бруса будут напра- алены вверх.
Обозначим через /~! реакцию в верхней заделке и через //т — в нижней заделке. Для определения двух реакций статика дает в атом случае только одно уравнение равновесия ~'~ У = О, из которого получаем: //! + //! = Р. Второе уравнение получается из рассмотрения деформации бруса. ! ак как концы бруса защемлены, то, очевидно, сила Р будет распределяться между верхней и нижней частями бруса так, что удлинение верхней части будет равно укорочению нижней.
Отсюда получаем второе уравнение Л'~~) /Щ ЕР ЕР пли Р! /т А~,=/,' т. е. реакции обрашно пропорциональны Длинам 1! и /т. Решая зто уравнение совместно с уравнением статики, находим, что //! = Р и //т = Р—, 1т 1! + 1г 1! + /г нли, подставляя численные значения, получим: 20 10 1О+ 20 т 10+ 20 1 Рис. 38. Если 1, =1., то //! =//т= —,Р. Пример 15. Стальной цилиндр (рис. 38) вставлен в медную втулку. Цилиндр и втулка сжимаются двумя абсолютно жесткими плитами с силой Р. Определить напрявгения в цилиндре и втулке, если Р = 40 000 (гг, диаметр стального цилиндра !1 = 1О см, внутренний диаметр втулки г(! = 11 см, внешний — г(г = 2! см, модуль упругости стали Е, = 2 ° 1Ов кг/смт, меди Е,„= 1 ° 10в ггг/см"".
Рагиениг. Для определении величины силы, приходящейся на стальной цилиндр Р, и на медную втулку Р статика дает только одно авнение; ур Ре+ Ри (а) Недостающее для решения задачи второе уравнение получим из рассмотрения деформаций. Вследствие неподатливости плит цилиндр н втулка получают одинаковые укорочения. Укоренение стального цилиндра Р,1, ЕеРе 19) стлтичяскн ннопввдвлимыв злдлчи ил глстяжнннв 07 укорочение медной втулки Р„(м и м Ю„,Е;,' Так как по усзовшо задачи Ыв = Ыи, то Ра Рм Е'эра ЕмЕ»' очо уразисвие деформации можно переписать в следующем виде: Р„Е„Р, Ри ЕмРм ' Из уравнения (б) видно, что сила Р, действующая на цилиндр и втулку, распределяется пропорционально их экесткостям.
Решая совместно уравнения (а) и (б), получим: Из этих выраж ний видно, что величины сил зависят от жесткостей цилиндра и втулки, Разделав эти силы на площади поперечных сечений, найдем соотвегсгвенво напряжения в стальном цилиндре и в меднол втулке: Е„ Ем Сравнивая полученные напряжения, замечаем, что их отноше- ние друг к другу пропорционально модулям упругости иатериалоз и нс зависит от соотношения поперечных сечений: аа Еа (в) ам Ем К этому заключению можно было бы прийти н проще: так как относительные деформации цилиндра и втулки в силу неподатли- вости сжимающих их плит одинаковы, то напряжения в них согласно закону Гука будут пропорциональны модулям упругости; Ев'а Еа а„Е„в„Еи ' О~ределим теперь числовые значения напряжений, подставив в соот- ветствующие вырах<ения значения буквеннык обозначений: Ев 2 ° 10а аа — Р Е Р (,, — — 40 000 3 14.103 3 1.1 (21э 1)т) Емри 2 ° 10в ' +1 1Оа 4 4 = 194 кг/сж', Ем 1.
10ч а = а — = 194 —, = 97 кг/сжэ. " Е„ 2 10 88 плсчвты нл пгочпость пгн плстянсвини н сжатии [гл. н! Пример 16. Груз Р = )ш (рис. 39) подвешен на трех стержнях, Площадь поперечного сечения вертикального стального стержня Р, = 1 смв; каждый нз боковых медных стержней имеет площадь сечения Р„= 2 см"-. Определить напряжения в стержнях и найм>, насколько опустится точка привеса груза В, если длина вертикаль- ного стержня >! = 0,5 м и угол :> / а — 45О, Решение. Обозначим рас- А д С тягивающие усилия в вертикальном стержне через Х.
(г Х Из первого условия равно- У весна шарнира В (сумма проях ' екций сил на горизонтальное ! направление равна нулю) слелует, что усилия в наклонных г' >Е( стержнях будут одинаковыми. " е( Обозначим зти усилия через У. 1 Из второго условия равновет, К сия шарнира В (сул>ма проек- Р ций сил на вертикальное на- правление раааа нулю) полуРис. 39. .асл>; Х+ 2У сов а = Р. (а) Недостающее уравнение для определения усилий Х и У получим из рассмотрения деформаций стержней, Пусть точка привеса груза после деформации стержней заняла новое положение В'. Поло>кение стержней после деформации показано на рис. 39 пунктиром. Удлинение вертикального стержня будет: Х!'! ВВ'=б( = —.
Е,Р'а ' Удлинение какого-либо из наклонных стержней, например левого, можно определить, опустив перпендикуляр из точки В на новое положение стержня АВ'. Так как деформации, рассматриваемые в сопротивлении материалов, л>алы, то можно принять длину АЕ = АВ, т. е. перпендикуляр ВЕ принять за дугу радиуса АВ и считать, что угол ОВ>А = а. Тогда удлинение бокового стержня, как видно из треугольника ВВ'Е, будет равно: ЕВ' = ВВ' сов а, б!' = 5>' сова = — сов а. Х(! в 1 Е Р Но удлинение б>т бокового стержня может быть еще определено по закону Гука: У(, Е„Р„' ф 13] стАтически неонведелимые задАчи нА РАстяжение 09 следовательно, Хтт соз а Ев",~ Е Гь так 1жк 11 — 12 со5 а, то Г Хсосд» (б) рошни зто уравнение дерормации совместно с уравнением стаппги (а).
Йз уравнения (б) получаем; 2 в в 2(со52а В В ЕаГ (в) Подставим зто значение у' в уравнение (а); Еврч Л+ 2Х созта —.— = Р, Е„Р. От КУ.П Х=-— Еи~и 1+ 2 созза - — ""' Е,Ра !1олсгавич найденное значение Х в уравнение (в) ЕКР„ Р со52 а Еа /:,, У= — —— Ечрч ' 1+ 2 соя'а — -',"- Е, 72„. ргли все стерв<ни сделать из одного материала и одинакового по- яс;1ьчиого сечения, то из уравнений (г) и (в) усилия Х и У будут ра ьы: Р Л =- 1+ 2созза и Р говд а 1+ 2 соь'а 1110 д'м числовые значения усилий в стержнях: Р '2. соз а =.
соз 152 = —,—; созе а = 0,5; солт а = 0,353; 2 1000 1ейб Л'=— = — =-. 53, кг, 1+2 0,353! !оа 2 1,700 ' 2 105 1 1000 0,5, 2. 105. 1 — — рг0 „, 1+ 2 0,353— 211" 1 70 РАсчеты нл пРОчнОсть пРИ РАстяжю!ин и сжАтии 1гл. И! Х 585 аа = — = — = 585 кг/смт; Ва 1' 2И а„= — = —,— 147 кг/сма. Ва и Точка В привеса груза опустится на величину Х1, 585 ° 50 Ы = — ' = —, = 0,01 46 сл! = О,1 1б мм.
Вапа 2 1оа ! 9 19. Напряжения, вызванные изменением температуры Повышение и понижение температуры материала вызывают в нем соответственно удлинение и укорочение. Поэтому при неравномерном нагреве или охлаждении детали в ней могут возникать температурные напряжения при стесненности деформаций. Так, например, могут возникнуть опасные напряжения при неравномерном охлаждении л!пья. Большие температурные напряжения появляются в диске турбины вследствие того, что температуры в центре диска и на периферии неодинаковы. Вследствие различия коэф- ".1 фициентов линейного Расширения материалов температурные напряжения возникают и в частях машин или сооружений, сделзнных из разных материалов и скреп- Д 8 ленных друг с другом.
Рассмотрим простейший пример вознпкновения температурных напряжений в статически неопределимой системе при изменении температурьь Пусть стальной брус дшшой 1 (рис. 40) закреплен между двумя неподвижными плоскостямн. Если бы один из концов бруса не был закреплен, то брус при изменении температуры мог бы свободно удлиняться н укорачиваться, т.
е. изменения температуры не вызывали бы в нем температурных напряжений. В данном случае вследствие препятствия деформации, оказываемого в местах закрепления при изменении температуры, в брусе появятся напряженна. Пусть температура, при которой брус быя аакреплен в плоскостях, былз 1„ коэффициент линейного расширения стали а. Найдем напряжение в брусе, если температура изменится и сделается равной 1г. Рнс. 40 Напра!кения в вертикальном н боковых стержнях будут соответ- ственно равны: 19[ нлпряжения, вызвлнные изменением темперлтуры 71 Обозначила изменение температуры через !. Очевидно, абсолютное удлинение бруса в случае одного свободного конца было бы равно !г! = а [Ра — !г) ! = а!1, 1!о плоскости не дают брусу возможности удлиняться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
