Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 15
Текст из файла (страница 15)
5 25. Определение главных напряжений Определим главные напряжения для общего случая плоского напряженного состояния. Возьмем элемент бруса, по граням которого действуют равномерно распределенные нормальные напряжения а„ и о„ и касательные напряжения т (рис. 47, а). Напряжения а й а„ не будут главными напряжениями, так как в площадках, на которых они действуют, имеются егце касательные напряжения. Выделим из бруса около точки А элементарную трехгранную призму АВС с бесконечно малымн гранями (рис. 47, б). Определим напряжения о, и т, действующие по наклонной площадке с)С, из условий равновесия призмы АНС.
опгеделенив гллзных нАНРяжвннй 89 ь :б! Обозначим через г1Р площадь грани ВС; тогда, очевидно, площадь грани АС будет НРз!и ~7, а площадь грани АВ будет г7Рсоз 7. На грань ВС действует нормальная сила е ИР и касательная т НР. На грань АВ действует касательная си ча т г1Р соз у и нормальная сила а дР соз э. На грань АС депствует касательная сила тг1Р з!и р и нормальная сила стг(Р яп 7. Искомые напряжения а и т, найдем, спроектировав все силы, действующие на выделенную призму, на 6„ а) Рис. 47. нзправлення напряжений а и т и приравняв суммы проекций этих сил нулю.
Проектируя силы на ось 7г7, получим: ~ 7т' =а„ЫР— е с!Рсоза ~+тг1Рз!п усову+ -!-тг1Рсозрз!пэ — а„дРз1п'у=О; на ось Т: ~~ Т = т,, НР— е . г1Р з! и ~ соз ~7 .+ т с!Р з! п ~у з! и <7— — т ФР сов У соз ~7+ пас!Рз1п ~7 сов 1~ = О Сокращая левые и правые части этих уравнений на г7Е и принимая во внимание, что 1 7 з!п'~7 = — 11 — соз 2~), 2 з!п и соз у = з1п 2у, созе 7 — з!пз у = соз 2у, 90 сложное нлпвяженное состояние (гл. иг (44) (45) Так как 1 — соз 2т „ 1 + саз 2т з!пзу = , созте =— то выражениям (а) и (б) можно придать следующий вид: а = — > — 'й-(- — "' — всоз21> — ез!п2у, (44а) " з!п 2~ + т соз 2тс 2 (45а) Эти напряжения зависят от угла наклона площадки. Найдем главные напряжения; они действуют по площадкам, где нет касательных напряжений, поэтому по уравнению (45а) легко определить положение главных площадок, приравняв нулю.
Тогда 1я22=— (4б) а„— а, Из этого уравнения для угла а получим два значения, отличающиеся друг от друга на 90'. Одно из значений 1> будет соответствовать максимальному значению а, а другое— минимальному. В этом легко убедиться, так как первая производная от а„ по 1>, >!а — = — — — 2 з)п 22 — 2т соз 22, Лу 2 обращается в нуль, если подставить в нее значение угла, даваемое формулой (4б). Таким образом, максимальное и минимальное напряжения, т.
е. главные напряжения, будут для каждой точки бруса действовать в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Для определения главных нзпряжепий вспомним, что тригонометрические функции, входящие в уравнение (44), могут быть представлены в виде 1я 2т айп 2а = -'- )> 1+ 1йт2Е ! соз 2р = -+. )Г 1 + 1яз 2т получим для нормального и касательного напряжений следующие выражению а =а созту+аяз!птн — тяп 2у, 1 .
"1 тт — — 2 ае з!п 21> — —, ая гйп 2>Р + -, соз 2 Р. И 91 опгвделвние главных напгяжвний Теперь уравнение (44а) можно переписать так: а +а, а — х„! >а2у а = -' — — 4->- —, 2 2 3/1+>Я>2у ЗГ1+га>2у Для вычисления главных напряжений подставим в по- следнее выра>кение значение 1а 2у (см. формулу (46)): 2х (а.— а ) 4хх (а — )' После преобразований получищ а = а+ Я -~- —,'у(а — а)+4хх.
Я '> — 2 л Я Пгак, главные напряжения (наибольшее и наименьшее нормальные напряжения) соответственно равны: а = а+ "+ —, 1/(а — а )а+4тх, а = з — — 'у (а — а ) + 4х'-'. аа+х 1 Г 2 хнп '> 2 (47) Если сложить два главных напряжения, то получим: Отсюда следует, что и в общем случае плоского напряженного состояния, как и в случае простого растяжения !см. формулу (39)), сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам,— величина постоянная и равна сумме главных напряжений.
Ранее, в 9 24, мы нашли, что максимальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и деиствуют по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом 46'. Следовательно, максимальное касательное напряжение будет равно: — """ = — ')/ (аа — а„)з+ 4 гх. (48) ххах= 2 2 Этот >ке результат можно было получить из уравнения (45а) аналогично тому, как из уравнения (44а) получено значение а ахх' 92 сложное нлпгяженное состояние [гл. гч Пример 21. Определить главные напряжения н расположение главных площадок для элемента (рнс. 48), находящегося под бг=б Рпс.
40. действием напрял еннй: а а =2а, а =-а, х ' л По форм)лак (47) определяеч главные напряжения: 2а+а 1 Г „аа ах, = —" — + —, 1Г (2а — а)а+ 4 — = 2Л Ойа, 2 2а+а 1 / — — Р (2а — а)а+1 — "=О,795.. 2 2)' 4 Направление главных площадок определяем по форыуле (46). а гя2а = — — = — 1, 2та — — 135', Е =57,5, 27 = — 45", яа = — 22,5*. й 26. Деформация при растяжении или сжатии по двум взаимно перпендикудярным направлениям.
Удельная работа деформации Пусть брус прямоугольного сечения (рис. 49) растягивается по двум взаимно перпендикулярным направлениям х и а напряжениями а, и а,, Определим относительные удлинения, которые получит брус в направлениях осей х, у н л. 961 деФОРИАция пРи Рлстяжении и сжАтии 93 Если бы на брус действовало одно растягивающее напря- зкеиие а,, то относительное удлинение в направлении растя- жения согласно закону Гука (6) было бы равно †', а по Е' осям у и г брус получил бы относительное укорочение а, Е ' Лналогично этому при действии только одного растягиваю- щего напряжения аз относительное удлинение в направлении растяжения было бы равно —., а по осям х и а брус полу- Е ' чил бы относительное укорочеаз ние — р —.
Е' Следовательно, при одновременном действии напряжений а, и а, относительные деформации в направлениях осей х, у и а будут соот- б х ветственно равны: з аз а з = — — (з— Е Е а, а, 'з= Ез — Р— Е Е' е = — (з —,— (з — ', аа з= Рнс. 49. В общем случае объемного напряженного состояния относительные деформации з„з, и з соответственно будут равны: ,= — — ( — а+ —",). 1 аз / а, аз 1 зз= —.'- Р( + ' ) Е (Е' Е!' (49 ~ Частные случаи.
1) Простое растяжение: а,= а, а,= О, аз=О; тогда по формуле (49) получим; а а зз = — з ез = — )з 'з = — (з —. Е Е Е' 94 сложное нлпгяженное состояние [гл. гт а е1 — еа= Е (1 — Р), 2а еа = — — р, Е (50) Если напряженное состояния птоское, т. е. аа = О, и известны относительные деформании е, и е„то из формул (49) легко определяются напряжения а, и аа: Е а, =, (е, +рва), Е аа — 1, (ее+ ре,). (51) Этими формулами часто пользуются при экспериментальном определении напряжений, измеряя е, и е,. Определим изменение объема куба с длиной ребер, равной единице, если он растягивается по трем взаимно перпендикулярным направлениям х, у и л. Если до деформации объем куба был равен единице (о = 1), то после деформации, вследствие изменения длины ребер, объем его будет равен: пренебрегая произведениями малых относительных деформаций, получим: о, =1+, +,+,.
Увеличение объема: оа = ег+ ее+ ез Подставив значения е„еа и е,, из формулы получим (49): — "=Ь вЂ” (Ф+ а)1+9- Ф+ — ")1+ +[У вЂ” (" — '+ Н или (52) 2) Растяжение по двум взаимно перпендикулярным на. правлениям, если а,=аз=а; а, =О; тогда из формулы(49) получим: 6 2о) дааоемлция пеи еастяжвнин или сжатии 95 Из этого равенства видно, что при р=0,5 во всех случаях напряженного состояния изменения объема элемента не происходит.
Найдем теперь выражение удельной работы деформации при растяжении или сжатии по двум направлениям. Удельная работа деформации при растяжении (сжатии) в одном направлении выражается формулой (12): (12) При плоском напряженном состоянии, ориентируя грани кубшса со стороной, равной единице, по площадкам, где лействуют напряжения а, и а„ получим: 2 2 (53) Подставив сюда значения е, и зг, будем иметь: илн 1 г Т = — (а> + а) — 2ра,а,).
2Е (54) Это н есть выра>кение удельной работы при плоском нзпряженном состоянии. Е 2. 10а кг/ем"., и 0,3. Реи>ение. Напряжения а, и аа вычислим по форчулам (51): а = (0,00075 — 0,3 ° 0,00065) = 1220 кг/смэ, 2 ° 10а 1 — 0,3э аа = ( — 0,00065 + 0,3 ° 0,00075) = — 935 кг/слгэ. 2 1М ! — 0,3э Пример 23. Определить относительные деформации бруса аг и а, если растягнвзющие напряжения а> = 1000 кг/емт иа =500кг/сжэ.
Молуль упругости Е = 2 1ог кг/сер.йоэффицнснт Пуассонар =03. ПРимеР 22. ОпРеделить напРЯжениЯ ат и аэ, действУющие по лвум взаимно нерпе>щикулярным направлениям, если замеренные относительные деформации по этим направлениям соответственно Равны: а> =0,00075, ге= — 0,00065. Известно также, что сложное НАпРяженнОе состояние [гл.
! Решение. На основании формулы (49) находим: а> — — — 0,3 = 0,0005 — 0000075 = 0,000425, 1000 500 2. 1(и ' 2. 10а гл —— , — 0,3 = 0,00025 — 0,00015 = 0,0001. 500 1000 Пример 24. Определить относительные деформации бруса а, и аг, если Растагивающее напРЯжение а> = 600 кг/гжг, а сжима- ющее а = — 750 кг/гжа (рис. 50).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
