Кинасошвили Р.С. 1960 Сопротивление (1075901), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из уравнения (!9) имеем; Р 100Р = — „~( )а), -'1'--(! ')'1 '"" откуда 1ООР , 100 ° 8000 ~ )г 9я [а) г' 9 3,14 ° 1200 Возьмем В = 5 см. Внутренний диаметр 4 4 Н= — 0 = — ° 5=4 ем. 5 Лбсолютное укорочение подставки найдем по форл~улс (7): Р! 8000 25 8 10"'-- (5" — Р) 4 Рис. 33. Пример 9. Лля определения диаметра цепного железа (рис. 33) в случае мало напряженных цепей пользуются формулой Р = 1000 йа (где Р— растягивающая сила в кг, и' — диаметр тела звена цепи в см). Определить, какое допускаемое напряжение принято в этой формуле. Решение.
Расчетное урааневие для звена цепи будет. Р ,аа я — „< )а), откуда г < )а) — йэ. яао 2 2 4 Из сравнения полученного выражения для растягивающей силы Р с заланиой формулой находим: )а) — 'Нт>1000пз 2 откуда )а) ) — = 637 кг/смэ. 1000 2 3 По заданной силе Р и известной площади сечения Р ига ем сравнения найденного по формуле (5) напряжения о с допускаемым напряжением )а) определить, достаточно ли прочно тело, 68 РАсчеты нл пРОчнОсть пРН РАстяженнн и сжАтни [гл. и! Пример 10. На чугунном кронштейне АВС (рис.
34) в шарнире подвешен груз О = 5 и. Определять, какие доюкны быть размеры площадей поперечного сечения я тяге АВ н подкосе ВС, если допускаемое напряжение чугуна на растяжение 300 кг,'глгг, а допускаемое напряжение на сл<атне 900 кг)гм"-. Решекне. Разлагаем силу на две составляющие по на.
Р правлениям тяги АВ и под коса БС. Сила, растягива<ощзя тягу, () 5000 = — = 2880 кг. <або 1,732 Сила, сжимзющая подкос, 5000 Р. = —. = —.. = 5780 кг. г<п ОО' 0,866 Рнс. 34. Необходимая площа;<ь сечения хаги 2880 Б > =9,6 <лр 10 слР. 300 Необходимая площадь сечения подкоса ,5780  — ' = 6,43 глр 6,5 сжт. ООО ф 16. Влияние собственного веса при растяжении или сжатии В тех случаях, когда собственный вес рассчитываемого тела незначителен по сравнению с внешней нагрузкой, при расчете на прочность собственным весом тела пренебрегают. Но при значительной длине бруса (штанги, тросы, цепи) плн при расчете стен, каменных устоев моста и т. п.
собственным весом уже пренебрегать нельзя: он долл<ен быль введен в расчет кяк добавочная нагрузка, увеличивающая напряжение. Рассмотрим длинный брус (рнс, 35), растягнваемый силой Р. Наиболее опасным сечением бруса будет сечение АВ в месте аакрепления бруса. В этом сечении брус растягивается силой Р и полным весом бруса 6, т. е. силой Р+ О. Обозначим площадь поперечного сечения бруса через Г; тогда максимальное напряжение в расчетном сечении бруса будет равно: Р+0 (22) 16[ Втияиие совствеииого Веса ИРи РАстЯжении 59 или, подставляя это выражение в уравнение (19), получим расчетное уравнение (23) Отсюда рзсчетная площадь сечения будет: (25) Напряжение от собственного веса в каком-либо сечении СВ, отстоящем иа расс~ояиии х от нижнего конца, будет равно: с = —.= — =х(.
бы Гхт й г" (26) 1(з э~ого выражения видно, что напряжение Рис. 35. от собственного веса в брусе постоянного поперечного сечения ие зависит от площади сечеиия. Кроме зого, из него же видно, что при длине х, когда величииз х; сделается равной пределу прочности материала в,р, брус разрушится от собственного веса. Длина, при которой брус разрушается от действия собственного веса, называется крита геской длиной — 1,.р. На основании выра~кения (26) имеем; аз 2(линз, при которой в брусе достигается нряжепие только от действия собственного вйедельиой длиной — (вр.' [[ 1 = — ° язв (27) допускаемое навеса, называется (28) При определении максимального напра~кения [формула (22)[ мы нашли сул~л~ариую силу, действующую в наиболее опасиом сечении бруса, а затем получили напра>кение, вызываемое этой силой, Но максимальное напряжение мы могли бы Так как вес бруса О =Г ° 17, где 7 — вес единицы объема материала, то расчетное уравнение можно переписать в следующел~ виде: у+17 ~ [з[ (24) 60 РАсчеты на пРОчнОсть пРи РАстяжении и сжАтии (гл.
Н! Е (с(х) = = — '. х дх. Етх <Гх ЕЕ Е Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до (, получим удлинение всего бруса: Д(= / Ех "х= 2Е' о (29) Вь<ран<ение (29) можно представить в другом виде, под- 6 ставив в него †. — вместо ТВ тогда получим: Е 6г 2ЕЕ ' (30) найти и иначе, а именно: определить напряжение от силы Р и напряжение, вызываемое собственным весом О, отдельно, а затем сложить эти напряжения.
Результат, как нетрудно видеть, получился бы тот же. В последнем случае мы воспользовались бы так называемым принципом независимости действия сил. Принцип независилгости действия сил, или, иначе, принцип сложения, заключается в том, что при действии на систему нескольких нагрузок напряжения или деформации могут быть определены как сумма напряжений или деформаций, найденных от каждой нагрузки отдельно. Таким образом, выходит, что каждая из нагрузок, взятая отдельно, произволит на систему такое действие, как если бы она была единственной нагрузкой, действующей на систему. Принцип ело>кения справедлив, когда суммарное напряжение или суммарная деформация всех нагрузок остаются в пределах закона Гука. В противном случае этим принципом пользоваться нельзя. В ряде случаев этот принцип облегчает решение задач сопротивления материалов.
Воспользуемся принципом сложения для определения деформации бруса (см. рис. 35). Определим сначала деформаци<о бруса от действия собственного веса. Выделим из бруса на расстоянии х от нижнего конца двумя бесконечно близкими поперечными сечениями элемент бруса длинной дх (рис. 35). Так как длина выделенного элемента бесконечно мала, то можно считать растягивающую силу на длине с(х пос~оянной.
Сила эта равна ЕТх. Абсолютное удлинение вьпеленного элемента на основании закона Гука (7) будет равно: 161 влиянии совстввнного висл пни елстяжвнии 61 Рг удлинение бруса, вызываемое силой Р, равно — . ЕР' Отсюда видно, что удлинение бруса от собственного веса в два раза меньше, чем от силы, равной собственному весу и приложенной к концу бруса. Применив принцип негювисимости действия сил, найдем, что полное удлинение бруса будет: а~, ЕР+ 2ЕР ЕР 131) Прнмер 11. Определить предельную и критическую длину стального стержня, если допускаемое напряжение 1а) = 1500 кг/смт, предел прочности ав„= 4500 кг7сма и удельный вес т = 0,0078 кг(сма.
Решение. Предельная длина ! а 0007 192000 19оо м )а) 1500 Кригическая длина ааа 4500 !. = †' =- = 576 000 = 5760 м. "а 1 0,0078 Пример 12, Определить напряжение и удлинение с учетом соб~тгсниого веса в стальной штанге квадратного сечения 5 Х 5 сма, дмшой 1 = 10 м, если растягивающий груз Р = 15 т, Е = 2 ° 10а (гг7сма и удельный вес т = 7,8 г/смч= 0,0078 кг7смй Рашекае. Максимальное напряжение в штанге Р 15 000 а„„вЂ”.- — + 11 = -, .
+ 1000 0,0078 = 600+ 7,8 608 кг!гма. Папряжеиие в штанге без учета собственного веса было бы 100 кггсзР; следовательно, пренебрежение собственным весом штанги дало бы ошибку в напряжении на . 100 1 2а/е Удлинение с учетом собственного веса определим по формуле (31). Рг 6Е 15000 1000 25. 1000 0,0078 1000 РР 2ЕР 2 ° 1оа 25 2 2 ° 1бв 25 =- 0,3 + 0,00195 = 0,30195 см. Пренебрежение собственным весом штанги дало бы ошибку в утлипснии, равную 030195 — 03 06 а йак видно из этого примера, при небольшой длине бруса пренебрежение собственным весом ведет к небольшой ошибке.
62 Рлсчвты НА пРОчнОсть пвн Растяжении н сжатии [гл. >и В 17. Ступенчатый брус Из формулы (26) видно, что призматический длинный брус в различных сечениях имеет различное напряжение. В таких брусьях материал распределен неэкономно. Придание брусу по всей длине одинаковых поперечных размеров, найденных из расчета наиболее напряженного сечения, излишне утяжелило бы брус, Чтобы уменьшить влияние собственного веса и рациональнее использовать материал в длинных штангах, канатах, высоких устоях мостов и т. д., делают их сечения переменными. Брусу можно придать такую форму, что во всех его поперечных сечениях напряжения будут одинаковы.
Такой брус называется бругож равного сопротивления. Вследствие сложности изготовления брусьев равного сопротивления их делают чаще ступенчатыми. Выведем фора>улу для определения (г плошадей сечения ступенчатого бруса (рис. 36), растягиваемого силой Р и собственным весом. Концентрацией напряжений в местах резкого изменения размеров поперечных сечений пренебрежем. рис. 36.
В общем случае длины отдельных эле- ментов бруса могут быть разные: 1„1, 1з, ..., 1„. Первый, самый нижний призматический элемент бруса растягивается силой Р и весом этого элеменга. Необходимая плошадь сечения этого элемента определяется нз формулы (25): Р > Я К нижнему сечению второго элемента приложена сила Р+Е'>1>Т, или, иначе, сила Г> [а[. Для определения необходимой плошади сечения второго элемента воспользуемся опять формулой (25), подставив в нее вместо силы Р силу Р>[а[; тогда 63 СТУПЕНЧАТЫЙ БРУС Б 17) иди, подставив значение Р„ получим: Р) Р[! 2 ( [.] — 12т) ( [а! — 12т> ' К нижнему сечению третьего элемента приложена сила Рз[а]; следовательно, по той же формуле (25) Ра [ ° ! Р [а)2 з х [а! 121 ( [а! 1тт)( [а] — 1 т)( [а] — 127) Аналогично формулам для определения площадей Га и Рз напишем формулу для определения плошади сечения л-го элемен!а: Р [а["-' ( [а) — 121) ( ]а! — 121) ( [а! — 1)т) ...
( [а! — 1ь,) В частном случае, когда длины всех ступеней одинаковы, 1. 11 12 13 ''' 1И Формула эта для удобства вычислений может быть преобра- зована так: (32) Пример !3. На трехступенчатую штангу со ст>пенях!и призматической формы равной длины действует растягивающий груз Р = 12ш, приложенный на конце. Определить площади сеченйя г упеней нпанги, ее полное удлинение н выигрыш в весе по сравнению со штангой постоянного сечения, если длина каждой ступени штанги 1= 50 м, допускаемое напряжсяне [а] = 500 кг/смз, лшдуль упр>тости Е = 2 ° 1оь кг1смз и удельный вес 7 =7,8 г/см2=0,0078 кг/с.нз.
Решение. Площадь сечения первой ступени, с и!тая снизу, будет, Р 12 000 [а) — .11 500 — 0,0078 ° 5000 Вес первой ступени П = Р21-1 = 26 5000 0,0078 = 1010 кг. Удлинение первой ступени по фориуле (31) Р1 621 12 000 5000 1010 5000 ЕР2 2ЕРт 2 ° 102 ° 26 + 2 ° 2 102 ° 26 64 глсчвты ил пгочиость пги плотин»внии и сшлти»! [гл. »и Площадь сечении второй ступени Р !а[ 12 000. 500 т ~ ( [а[ — 71)т (500 — 0,0078 ° 5000)т Вес второй ступени Пт = Г (1 = 28,2 5000 ° 0,0078 = 1100 кг. Удлинение второй ступени (Р+ б») ! + 0~1 ЕГ» 2ЕГ, (12 000+ 1010) 5000 1100 5000 2.10а.28,2 + 2.2.10а.28,2 Площадь сечения третьей ступени Р [с[т 12 000 ° 500 306 ( [а[ — 1()а (500 — 0,0078 ° 5000)» Вес третьей ступени 6а = Гау1 = 30,6 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
