Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Изотропный конус (x )2 + · · · + (x ) −0 2r01p2(x ) = 0 разбивает R на внешнюю часть, в которой (x ) < (x )2 + · · · + (x ) , и внутреннюю. Векторы сконцами во внешней части имеют положительный квадрат псевдонормы, а с концами во внтутренней части— отрицательный, т.е. их псевдонормы мнимые. Внутренняя часть разбивается на “верхнюю”, где x0 > 0 и“нижнюю”, где x0 < 0.Ясно, что псевдоортогональные преобразования переводят внешнюю часть во внешнюю и внутреннюю вовнутреннюю. (Они сохраняют норму и, в частности, знак ее квадрата.) С другой стороны, преобразованиеможет сохранить каждую половину внутренней части или поменять их местами, и это свойство сохранитсяпри непрерывном изменении преобразования.
Кроме того, преобразование может сохранить или изменитьориентацию целого пространства. Отсюда ясно, что группа имеет по крайней мере 4 компоненты. На самомделе она имеет ровно 4 компоннты, что не трудно установить в качестве простого упражнения.Нас интересуют преобразования, которые сохраняют каждую половину внутренней части, т.е., инымисловами, сохраняют условие x0 > 0 и x0 < 0. Обозначим через O0 (r, q) группу таких преобразований.Пусть далее r = 3 и q = 1. Обозначим теперь координаты x, y, z, причем z отвечает орту с мнимой нормой.Квадрат нормы произвольного вектора записывается в виде x2 + y 2 − z 2 .Рассмотрим поверхность x2 + y 2 − z 2 = −1.
Это двуполостный гиперболоид H, который переходит в себяпри псевдоортогональных преобразованиях. Преобразования из группы O0 (r, q) переводят каждую его полу всебя.Мы примем за модель плоскости Лобачевского нижнюю полу (z < 0). Обозначим ее L. Докажем, преждевсего,Утверждение. Псевдоевклидова метрика x2 + y 2 − z 2 индуцирует на гиперболоиде H x2 + y 2 − z 2 = −1положительно определенную (т.е.
риманову) метрику.Доказательство. Уравнение для касательных векторов в точке на гиперболоиде с радиус-вектором u =(x0 , y 0 , z 0 ) есть x0 dx + y 0 dy − z 0 dz = 0. Оно означает, что псевдоскалярное произведение радиус-вектораu и касательного вектора равно нулю (т.е. эти векторы псевдоортогональны). Но радиус-вектор лежит вовнутренней части изотропного конуса и, значит, его норма мнимая. Тогда норма касательного вектора должнабыть вещественной. В самом деле, касательный вектор не может быть коллинеарен u, т.к.
тогда u лежал бына изотропном конусе, в то же время число мнимых векторов в ортонормальном базисе инвариантно и равно59единице. Поэтому не может быть двух линейно независисмых мнимых векторов. Значит, касательная плоскостьне имеет мнимых векторов, т.е. скалярное произведение на ней положительно определено.¥Запишем выражение римановой метрики на L, индуцированной псевдоевклидовой метрикой в R31 . Последняяможет быть записана в виде ds2 = −dz 2 + dx2 + dy 2 , на L мы имеем −z 2 + x2 + y 2 = −1 и z dz = x dx + y dy.Делая подстановку, получим:ds2 =(1 + x2 + y 2 )(dx2 + dy 2 ) − (x dx + y dy)21 + x2 + y 2Если в ортонормированном репере R = (u, v, w) один вектор мнимый, то он есть радиус-вектор точкилежащей на гиперболоиде H, и тогда два других вектора будут касательными в этой точке к H. Так какортонормированный репер можно перевести в любой другой ортонормированный репер и при том только однимпсевдоортогональным преобразованием, мы получаем, что любой ортонормированный репер в касательнойплоскости в данной точке на плоскости Лобачевского можно единственным преобразованием группы O(3, 1)перевести в любой ортонормированный репер в другой данной точке.
Эти преобразования сохраняют длиныкривых в полученной выше римановой метрике в L и, значит, расстояние между точками, т.е. они являютсяизометриями плоскости Лобачевского.Можно показать, что и обратно, любая изометрия L индуцирована псевдоортогональным преобразованиемпространства R31 . Мы отложим доказательство этого до второго тома. Таким образом,Утверждение. Группа O0 (3, 1) есть группа изометрий плоскости Лобачевского.¥Прямые в L.Утверждение. Пересечение L и двумерной плоскости, проходящей через начало, является геодезическойна L.Доказательство. В плоскости, которая имеет с L хотя бы одну общую точку отличную от O, индуцируетсяпсевдоевклидова метрика (т.к. найдется на ней вектор с концом внутри гиперболоида).
Такой плоскости в R31 ,проходящей через начало, сопоставляется симметрия относительно нее, т.е. псевдоортогональное преобразование,неподвижное на плоскости и переводящее ортогональный ей вектор в противоположный вектор. (Симметрияотносительно плоскости псевдоортогональна, т.к. три незавивсимых вектора сохраняют свою псевдодлину: двав плоскости и один ортогональный плоскости.) Такое преобразование будет менять ориентацию объемлющегопространства, но сохранит полы гиперболоида.“Прямая”, полученная сечением гиперболоида плоскостью, проходящей через центр, будет геодезическойв построенной римановой метрике.
В самом деле, симметрия является изометрией в L и поэтому переводитгеодезические в геодезические. Если бы имелась геодезическая, касающаяся прямой и отличная от нее, то образее при симметрии также был бы геодезической и притом имеющей то же направление в общей точке на прямой.Это противоречит теореме единственности.¥Пересечение L с плоскостью, проходящей через начало, естественно назвать прямой на L, поскольку оноявляется геодезической (как и большие круги на евклидовой сфере, которые также являются геодезическими,что доказывается тем же рассуждением).Модель Клейна.Рассмотрим центральную проекцию плоскости Лобачевского L в R31 на плоскость z = −1. Она взаимнооднозначно отобразит L на внутренность круга, граница которого служит образом проекции изотропногоконуса.
Эта граница называется абсолютом модели плоскости Лобачевского, построенной Ф.Клейном. Образамипрямых из L служат хорды круга и они являются прямыми в этой модели. Нетрудно заметить в этой моделиневыполнение 5-го постулата: через точку вне прямой проходит бесконечно много не пересекающих ее прямых.Параметризация плоскости Лобачевского.Плоскость Лобачевского играет роль единичной псевдосферы в пространстве R31 (точнее полусферы – этомножество векторов единичной псевдонормы, с условием z < 0).Уравнение x2 + y 2 − z 2 = −1, сопоставленное с тождеством ch 2 u − sh2 v = 1, подсказывает, что удобноположить z = ch θ и x2 + y 2 = sh2 θ, и тогда, естественно, x = shθ cos ϕ, y = shθ sin ϕ.
Это – псевдосферическиекоординаты в R31 .Метрика на этой псевдосфере легко подсчитывается: ds2 = dθ2 + sh2 θ dϕ2 .Эта метрика полугеодезическая и кривизна легко считается по формуле (**) из п.4, гл.13. Она равна -1.В частности, мы видим, что θ есть длина орезка прямой от точки до вершины (z = −1) гиперболоида.Подсчитаем длину окружности радиуса θ = ρ с центром в вершине:dθ = 0 и dsRR= sh θdϕ. Значит, длинаRR p|g| dθ dϕ =sh θ dθ dϕ = 2π(ch ρ−1).окружности равна s = 2π sh ρ. Площадь круга того же радиуса равнаЗаметим, что при малом ρ sh ρ близок к линейной функции ρ, а ch ρ к 1 + 1/2 ρ2 .
Мы видим, что этивыражения оказываются близкими к евклидовым.Полезно обратить внимание на то, что хотя метрика в объемлющем пространстве взята псевдоевклидовой,она индуцирует на псевдосфере положительно определенную (риманову) метрику.607. Второе доказательство теоремы Гаусса.Схема доказательства. Мы используем интерпретацию полной кривизны как предела отношения площадисферического образа области к ее площади (площади берутся ориентированные, со знаком) (см.п.6 гл.12Б).Знаменатель, как мы знаем, выражается через метрику.
Что касается числителя, то на сфере он оказываетсяравным повороту вектора при параллельном обносе его по границе области. Но поворот при параллельномобносе на сфере совпадает с поворотом при параллельном обносе на прообразе кривой на самой поверхности ипотому он выражается через метрику поверхности.Площади двуугольников на сфере.
Полная площадь сферы единичного радиуса равна 4π. Сферическийдвуугольник это область, лежащая между двумя полуокружностями, соединяющими две антиподальные точки.Она лежит между двумя плоскостями, проходящими через один диаметр под углом ϕ друг к другу, и ее площадьотносится к полной площади 4π как ϕ к 2π. Значит, она равна 2ϕ. (Заметим, что углы и площади здесь надобрать по модулю. Если учитывать порядок плоскостей относительно положительного вращения, то углы надвух концах двуугольника имеют разные знаки.)Площадь выпуклого многоугольника в сфере. Рассмотрим далее сферический k-угольник, образованныйk дугами больших кругов, выпуклый и лежащий в одной полусфере. Область, лежащая между ним и егоантиподальным образом, покрыта полностью и без перекрытий двуугольниками, построенными на его внешнихPуглах (проверьте!).
Поэтому можно написать равенство (считая углы и площади положительными): 2 ϕi +2σ = 4π илиXσ = 2π −ϕi ,(∗ )где σ – площадь многоугольника, а ϕi – внешние углы. Выражение для σ называется дефектом сферическогомногоугольника, т.к. оно показывает, насколько сумма внешних углов сферического многоугольника отличаетсяот такой суммы для плоского многоугольника. (Если бы сфера была взята радиуса R, то дефект получилсябы равным Rσ2 .)Площадь невыпуклого многоугольника. Возьмем теперь невыпуклый многоугольник, построенный из дугбольших кругов (но все еще в одной полусфере), принимая для простоты, что он является замкнутой ломанойбез самопересечений.
Он ограничивает связную область, целиком лежащую в той же полусфере, что и онсам. Мы опускаем несложное доказательство этого утверждения, основанное, например, на том, что такоймногоугольник может быть построен индуктивно, отправляясь от треугольников, причем на индуктивном шагеберется объединение двух многоугольников, имеющих меньше звеньев, чем многоугольники предыдущих шагови одно общее звено в качестве пересечения (см. в части 4 ...).
Ограниченная область также будет называтьсямногоугольником.Внешние углы невыпуклых многоугольников. Формула сохранится и для такого многоугольника, но теперьнужно точнее определить внешние углы. Мы рассматриваем только положительные обходы многоугольника,т.е. такие, при которых ограниченная область лежит слева (или положителен репер, у которого, например,первый вектор идет по границе в направлении обхода, а второй направлен внутрь области.)Внешним углом при вершине считаем угол между вектором, направленным по продолжению предыдущегоребра, и вектором идущим по следующему ребру.
Внешний угол положителен, если первый вектор смотрит вовнешнюю сторону многоугольника, и он отрицателен, если этот вектор направлен внутрь.Доказательство формулы для невыпуклого многоугольника достаточно провести для индуктивного шагаобъединения двух многоугольников, для которых формула (∗ ) уже доказана и которые пересекаются по общейломаной на границе.Напишем нашу формулу для каждого из этих многоугольников и сложим левые части. Площади, конечно,сложатся. Что касается внешних углов, то углы для неконцевых вершин общей ломаной, очевидно, сократятся.Для каждого из двух углов на ее концах при сложении внешних углов получится внешний угол объединения,увеличенный на π, что легко проверяется. Так как сумма правых частей равна 4π, формула сохранится и дляобъединения многоугольников.Параллельный обнос вектора по границе многоугольника на сфере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
