Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если x(t) - параметризацияискомой кривой и xi (t) - координаты ее точки для значения параметра t, то координаты ее вектора скоростиравны ẋi (t) = X i , т.е. мы приходим к дифференциальному уравнениюẋi (t) = f i (xj (t)).Обратно, система дифференциальных уравнений в такой форме (называемой нормальной) говорит, чтовектором скорости γ̇(t) искомой кривой x = γ(t) для каждого значения параметра t служит вектор векторногополя, заданного правой частью системы: ẋ(t) = X(x(t)).Эта система будет по разному выглядеть в разных системах координат, т.к. в правой части надо подставитьформулы замены координат, а в левой – умножить на матрицу Якоби этой замены. Таким образом векторноеполе (которое при этом не меняется) связывает большое число различных дифференциальных уравнений.В частности, решение одного приводит к решению остальных, если только нам даны координатные замены.(Примеры см.
в справочнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям Э.Камке.)С другой стороны теория обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка позволяет уточнитьи очень существенно пополнить геометрическую картину векторного поля. Мы отметим три важных момента.1). Параметр. Во-первых, теорема существования и единственности утверждает в сущности, что черезкаждую точку проходит ровно одна интегральная кривая поля, т.е. параметризованная кривая, векторы скоростикоторой совпадают во всех ее точках с векторами поля.64На самом деле, параметризацию можно заменить с помощью сдвига на константу, поскольку правая частьуравнения при заменах не меняется, а левая является производной по параметру и не изменится, если кпараметру добавить константу.Итак, параметризация интегральной кривой определяется полем с точностью до сдвига.
Мы иногда будемназывать эту параметризацию канонической. Конечно, все это справедливо лишь в некоторой малой, вообщеговоря, окрестности данной точки.Замечание. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме, в правуючасть которого не входит параметр, в механике называется автономным и также динамической системой, оноописывает установившийся процесс. (И неустановившийся, если t входит в правую часть.)2). Локальная группа преобразований. Во-вторых, теорема о дифференцируемой зависимости решения отначальных условий означает, что для каждого (малого) t0 мы получаем обратимое непрерывно дифференцируемоеотображение малой окрестности данной точки в R k , переводящее точку x(t) в точку x(t + t0 ).Каждое параметризованное решение при этом испытывает допустимую смену параметризации (т.е.
сдвиг).Таким образом мы имеем локальные диффеоморфизмы ϕt и, очевидно, ϕt1 +t2 = ϕt2 ϕt1 :ϕt1 +t2 (x(t)) = x(t + t1 + t2 ) = ϕt2 (ϕt1 (x(t))).Это равенство справедливо там, где композиция определена, т.е. во всяком случае в достаточно малойокрестности данной точки.Верно также, что ϕ0 = id (тождественное отображение), и ϕ−t = (ϕt )−1 . Все это можно было бы подытожить,сказав, что мы имеем гомоморфизм аддитивной группы вещественных чисел в группу диффеоморфизмовобластей аффинного пространства. В частности, эта группа коммутативна.Но диффеоморфизмы областей не образуют группы, т.к. композиция их не всюду определена, кроме того,наш гомоморфизм определен лишь на малом интервале, а не на всей прямой.
Поэтому систему диффеоморфизмовокрестностей точки с такими алгебраическими свойствами называют локальной однопараметрической группойпреобразований и также потоком, особенно в том случае, когда решения оказываются определенными на всейпрямой. (Если параметр оказывается определенным на всей прямой для всех интегральных кривых, то поленазывается полным. В частности, поле оказывается полным, если поле задано во всех точках компактногомногообразия.)Мы не будем стремиться уточнить это понятие с полной строгостью (см.
Понтрягин “Непрерывные группы”...),но будем часто им пользоваться.Действие диффеоморфизма на поле. Пусть даны диффеоморфизм ψ и векторное поле X, определенные вокрестности некоторой точки x0 многообразия. Переходя к локальным представителям, мы можем принять,что это – область пространства R k , которую ψ отображает на окрестность точки ψ(x0 ).)Дифференциал диффеоморфизма dψ в каждой точке переводит вектор скорости кривой в вектор скоростиее образа, т.е.
dψ(ẋ(t)) = ẏ(t), где y(t) = ψ(x(t)).Значит, диффеоморфизм переводит интегральные кривые данного поля в интегральные кривые образаэтого поля при дифференциале диффеоморфизма.При этом параметризации интегральных кривых соответствуют друг другу. Тогда соответствуют и локальныегруппы преобразований, порожденные данным полем и его образом, т.е.ψ(ϕt (x)) = ϕ̃t (ψ(x)),где ϕt и ϕ̃t – локальные группы, порожденные полем X и его образом соответственно.Следствие (критерий инвариантности поля).
Поле X называется инвариантным относительно диффеоморфизмаψ, если дифференциал dψ диффеоморфизма переводит каждый вектор поля X в другой вектор того же поля:dψ (X(x)) = X(ψ(x))). X тогда и только тогда инвариантно относительно ψ, когда ψ коммутирует со всемидиффеоморфизмами ϕt локальной группы, порожденной полем X: ψϕt = ϕt ψ.¥(“Всеми” означает “всеми при достаточно малых t”, при больших t мы можем выйти за пределы областиопределения поля.)В частности, дифференциалы всех диффеоморфизмов этой группы переводят поле в себя, т.к. локальнаягруппа преобразований ϕt коммутативна.
(Это, впрочем, и так ясно: интегральные кривые переходят в себя слинейным сдвигом параметра, так что вектор скорости должен перейти в вектор скорости, т.е. вектор поля –в вектор поля.)3). Выпрямляющий диффеоморфизм. В третьих, дифференциальное уравнение, определенное в окрестноститочки, с непрерывно дифференцируемой и не обращающейся в нуль правой частью может быть в некоторойокрестности этой точки “выпрямлено”: имеется выпрямляющий диффеоморфизм, который переводит уравнениев уравнение параллельного сдвига вдоль координатной оси, например, Ox1 . Мы не приводим детальногодоказательства (см. Арнольд “Обыкновенные дифференциальные уравнения”....), а опишем процедуру приведения.65Пусть вектор X0 векторного поля X в точке x0 отличен от нуля.
Рассмотрим (n-1)-мерную плоскость P ,проходящую через x0 и не содержащую вектора X0 . Близкие векторы поля образуют с P ненулевые углыбольшие некоторого ε > 0.Введем в P систему линейных координат с началом в x0 , нумеруя их, начиная с x2 , и пусть x1 совпадаетс параметром вдоль интегральных кривых с нулевым значением для точек на P . Эта локальная системакоординат определяет требуемый диффеоморфизм Φ окрестности x0 на окрестность начала в R k : точки наинтегральных кривых имеют постоянные координаты xi , i > 1, а первая координата совпадает с параметром,определяемым уравнением; якобиан Φ всюду отличен от нуля, что достаточно проверить в точке x0 , в силунепрерывности.В x0 якобиан не нуль, т.к. дифференциал отображения Φ переводит репер, состоящий из репера в плскостиP и X0 , в координатный репер в R k .4. Число вращения векторного поля в изолированной особой точке на плоскости.Точка, в которой вектор поля равен нулю, называется особой точкой этого поля.
С помощью степениотображения окружности в окружность (см. главу 3 п.11) вводится очень полезная характеристика изолированнойособой точки векторного поля на плоскости (и тем самым также на любом двумерном многообразии).Определение. Пусть дано векторное поле X(x) в окрестности U (O) начала O ∈ R 2 . Допустим, что X(O) =0, но других особых точек поля X в U нет.
Рассмотрим малый круг B с центром O и краем S и рассмотримвекторы поля в точках x ∈ S. Каждый такой вектор X(x) после параллельного переноса в O определяет луч,который пересекает S в определенной точке. Обозначим ее g(x). Мы получаем непрерывное отображение Sв себя, которое имеет определенную степень deg g. Эта степень называется числом вращения или индексомвекторного поля X в особой точке O и обозначается indO X.Мы можем взять для вычисления indO X произвольное отображение f окружности S в U \ O, котороегомотопно в U \ O тождественному отображению.
Перенося вектор X(f (x)) параллельно в O и, как и раньше,беря точку пересечения соответствующего луча с S, мы получим отображение S в себя, которое будет, очевидно,гомотопно g, если f гомотопно тождественному отображению S.Упражнения. Подсчитайте индекс в нуле векторных полей (x, y), (−y, x), (x, −y).Покажите, что если в круге B задано векторное поле X без особых точек, то вращение этого поля по краюS круга равно нулю.Из этого следует, что если в области U на плоскости задано векторное поле, вращение которого на кривой,ограничивающей область V ⊂ U , в которой эта кривая стягивается в точку, не равно нулю, то в V имеетсяособая точка.
Это полезно для нахождения и изучения положений равновесия динамической системы, описываемойсоответствующей системой дифференциальных уравнений.Упражнение. Пусть на двумерной сфере S 2 дано касательное векторное поле X, не равное нулю в северномполюсе N . В круговой окрестности U (N ) поле может быть выпрямлено. Его индекс в N равен нулю.
Замыканиедополнения S 2 \ U может быть диффеоморфно отображено на круг в плоскости (например, центральнойпроекцией из N ).Покажите, что ”с точки зрения” этого круга число вращения поля X на границе области равно 2. Так каконо не нуль, на сфере обязательно имеется особая точка поля.5. Скобка ЛиМы воспользуемся сейчас локальной группой преобразований, определенной векторным полем, чтобы ввестиинтересную операцию, которая является с одной стороны своего рода умножением (выполнен закон дистрибутивности)векторных полей, а с другой дифференцированием, которое естественным образом распространяет дифференцированиефункций на дифференцирование векторных полей.Обозначение. Эту операцию называют скобкой Ли и скобку Ли векторных полей X и Y обозначают [X, Y ].(Порядок существенен.)Имеется несколько путей для введения этой операции.
Сначала рассмотрим более формальный.Первый способ введения скобки Ли. Векторные поля это линейные операторы на функциональном пространстве:в каждой точке каждой функции вектор поля сопоставляет число – ее производную по этому вектору. Врезультате получается функция от точки. Свойство линейности очевидно. Итак, векторное поле ставит функциямв соответствие функции, соблюдая линейность. (Мы, как обычно, не обсуждаем вопроса о классе гладкости иоб области определения, считая, что все происходит “в достаточно малой окрестности” точки x многообразияи все “достаточно гладко”).Обозначение.
Оператор, соответствующий векторному полю, будем обозначать той же буквой, но жирной.Например, X для поля X.В таком случае, если даны два векторных поля X и Y , мы вправе рассмотреть композицию YX, применяясначала к данной функции оператор X, а затем к результату оператор Y. Мы получим, линейный оператор66на пространстве функций. Но этот оператор не будет дифференцированием! Это легко проверить. Но стольже легко проверить, что дифференцированием будет коммутатор YX − XY этих двух операторов. Это чистоформальное утверждение, пространство функций можно заменить на любое кольцо:[Y, X](f · g) = (YX − XY)(f · g)=Y(Xf · g + f · Xg) − X(Yf · g + f · Yg)=YXf · g + Yf · Xg + Xf · Yg + f · YXg−XYf · g − Yf · Xg − Xf · Yg − f · XYg=(YX − XY)f · g + f · (YX − XY)g.Второй способ. Формальный способ оказался простым, но мало “инструктивным” и не наглядным. Рассмотримболее геометричный способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
