Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Мы хотим распространить дифференцирование функций на векторные поля. Какможно продифференцировать одно векторное поле по другому?Трудность в том, что для образования производной нужно до предельного перехода взять разность значений(в нашем случае векторного поля) в разных, хотя и близких точках. В случае функций никаких проблем нет,т.к. вычитать нужно два числа. Но в случае векторных полей нужно сравнивать два вектора в двух разныхточках. Пока мы находимся в аффинном пространстве и в линейной системе координат, трудность исчезает,т.к. можно воспользоваться параллельным сдвигом (отождествляя векторы, получающиеся друг из друга припараллельном сдвиге).Но в нелинейной системе координат, тем более для касательных векторов к подмногообразию, параллельностьюнельзя воспользоваться, векторы в разных точках обычно не параллельны! (Скажем, на сфере.)Здесь нам на помощь и приходит локальная группа преобразований, порождаемая векторным полем.
Пустьмы хотим продифференцировать в многообразии M векторное поле X по векторному полю Y . (Дифференцированиевекторного поля по вектору не определяется!)Рассмотрим локальную однопараметрическую группу преобразований в окрестности точки x0 ∈ M , порожденнуюполем Y (x). Пусть ϕt (x) – диффеоморфизмы этой группы для малых t с матрицами Якоби (Jt ) этого отображенияв данной точке x0 . Через эту точку проходит интегральная кривая ϕt (x0 ) = xt , x0 отвечает нулевому значениюпараметра. Обозначим через Xt и Yt векторы полей X и Y , приложенные в точке этой кривой с параметром t(Yt = x˙t ).Дифференциал dϕt в точке x0 переводит вектор X0 в вектор X̃t = (Jt )(X0 ), приложенный в точке xt ,который мы и будем сравнивать с вектором Xt .Для образования производной нужно вычесть из значения поля в смещенной точке значение в данной точке,разделить на разность значений параметра и перейти к пределу, устремив эту разность к нулю. В нашем случаенужно из вектора Xt вычесть приложенный к той же точке xt вектор X̃t , который мы считаем векторомX0 , перенесенным потоком поля Y в эту точку.
Эту разность надо разделить на t и перейти к пределу приt → 0. Здесь приходится рассматривать предел по значениям меняющегося вектора, принадлежащим к разнымкасательным плоскостям, но в этом нет проблемы, т.к. все касательные плоскости мы уже соединили в одномногообразие – касательное расслоение. Итак,[Y, X](x0 ) = limt→0X(ϕt (x0 )) − dϕt (X(x0 ))Xt − X̃t= lim.t→0ttУтверждение: два определения скобки Ли совпадают.
Мы докажем это, показав, что они приводят кодинаковым выражениям в координатах. Начнем со второго способа.Координаты [Y, X] по второму способу. Линеаризуем оба вектора в числителе дроби по t, посколькубесконечно малые высших порядков все равно исчезнут при переходе к пределу. Мы предполагаем, что вокрестности точки x0 дана локальная система координат xi .Вектор Xt . Берем покоординатное разложение (в нашем случае dt = t): Xti ≈ X0i +j∂X i| dx | t∂xj 0 dt 0= X0i +X0i=(Напомним,≈i| Y j t.+ ∂X∂xj 0 0что вектор YtdX i| tdt 0служит вектором скорости используемой здесь параметризации кривой.)iВектор X̃t : X̃ti = (dϕt |x0 (X0 ))i = ( ∂(ϕ(x))|0 )(X0j ) ≈∂xjiiii| t)(X0j ) = X0i + ∂Y| X j t.( ∂(x∂x+jẋ t) |0 )(X0j ) = (δji + ∂Y∂xj 0∂xj 0 0Мы использовали матричное умножение.
После вычитания и сокращения X0i и t получим ответ:[Y, X]i = (∂X i∂Y0i|0 Y0j −|0 X0j ).j∂x∂xj67Координаты [Y, X] по первому способу. Такой же ответ мы получим для координат и при первом способеопределения скобки Ли. Рассуждения здесь более простые.Y X. Получим сначала координатное выражение для применения композиции Y X к функции f :Y (X(f ))|0∂fi= Y ( ∂xi X )|0 ==i∂f| ∂X | Y |j0∂xi 0 ∂xj 0∂( ∂fi X i )∂x∂xj+|0 Y |j0 =∂2 f| X|i0 Y |j0 .∂xi ∂xj 0XY . Аналогично, имеем:X(Y (f ))|0 =∂f ∂Y i∂2 f|0 j |0 X|j0 +|0 Y |i0 X0ji∂x ∂x∂xi ∂xj.Вычитая, получим, учитывая симметрию вторых частных производных и опуская индекс 0:[Y, X](f ) =∂f ∂X i j∂f ∂Y i j∂X i j ∂Y i j ∂fY−X=(Y −X ) i.∂xi ∂xj∂xi ∂xj∂xj∂xj∂x¥6.
Свойства скобки ЛиТождество Якоби. Скобка Ли удовлетворяет простым, но важным алгебраическим соотношениям.Во-первых, она не коммутативна, но косокоммутативна: [X, Y ] = −[Y, X], что очевидно из первого определения(и, возможно, несколько удивительно с точки зрения второго).Далее, возьмем двойную скобку Ли [Z, [Y, X]] для трех векторных полей X, Y, Z и циклируем ее, т.е.рассмотрим сумму трех таких выражений, в которых поля переставляются в циклическом порядке. Получитсянуль:[Z, [Y, X]] + [Y, [X, Z]] + [X, [Z, Y ]] = 0.LЭто прямо следует из первого определения скобки, поскольку эта сумма разложится на шесть пар взаимносокращающихся слагаемых.Это очень важное соотношение, называемое тождеством Якоби.
Оно означает, что векторные поля (определенныев одной и той же области) образуют алгебру Ли. Это алгебра в том смысле, что это – векторное пространство сумножением (скобкой). Правда, это умножение не только не коммутативно, но и не ассоциативно, что вытекаетиз тождества Якоби и косокоммутативности. Действительно, [[Z,Y],X]=-[X,[Z,Y]], т.е. в формуле (L) первое ипоследнее слагаемое сократились бы в случае ассоциативности, и двойная скобка всегда была бы нулевой, что,конечно, не имеет места.Однако, это умножение оправдывает свое название тем, что оно линейно по каждому сомножителю.Используя косокоммутативность, тождество Якоби можно переписать в следующем виде:[Y, [X, Z]] − [X, [Y, Z]] = [[Y, X], Z].Т.е.
скобка как оператор дифференцирования векторных полей есть коммутатор операторов, заданных полями-сомножителями. Это свойство мы проверяли для дифференцирования функций.Cохранение скобки при диффеоморфизмах. Пусть даны три векторных поля X, Y, Z = [X, Y ] в областиU ⊂ R k . (Мы можем рассматривать случай области аффинного пространства, поскольку общий случай полейна многообразии все равно к нему сводится стандартным образом с помощью локальных представителей.)Пусть дан диффеоморфизм ψ : U → U1 .
Обозначим через X̃, Ỹ , Z̃ образы данных полей при дифференциалеdψ.Нам нужно проверить, что Z̃ = [X̃, Ỹ ]. Проще всего это увидеть из координатного выражения скобки. Мыоставим эту проверку в качестве полезного упражнения.Будем исходить из определения скобки Z как производной поля X по полю Y . Пусть ϕt – диффеоморфизмылокальной группы Y . Дифференциал диффеоморфизма ψ переводит интегральные кривые Y в интегральныекривые Ỹ и диффеоморфизмы ϕt в диффеоморфизмы локальной группы ψϕt ψ −1 (с сохранением параметра).При этом dψdϕt = d(ψϕt ) = d(ψϕt ψ −1 ψ) = d(ψϕt ψ −1 )dψ. Значит, сдвиг вектора X на величину параметра tвдоль интегральной кривой поля Y дифференциал ψ переводит в сдвиг вектора X̃ вдоль образа интегральныхкривых на ту же величину параметра. В пределе мы получим, что производная Z перейдет в производную Z̃.¥Сохранение скобки для подмногообразий.
Пусть даны два многообразия: M2 и M1 – гладкое подмногобразиеM2 . Пусть снова даны три поля X, Y и Z = [X, Y ] в области U ⊂ M2 , пересекающей M1 . Допустим, что вточках принадлежащих M1 поля X и Y касаются M1 . Тогда Z также касается M1 .Для доказательства достаточно заметить, что если интегральная кривая поля Y пересекает M1 , то она(в силу теоремы единственности) целиком лежит в M1 . Поэтому диффеоморфизмы локальной группы поля68Y переводят точки M1 в точки M1 и, значит, их дифференциалы переводят касательные векторы к M1 ввекторы касательные к M1 . В частности, образ поля X останется касательным к M1 под действием такогодиффеоморфизма. Разности векторов этих полей останутся касательными к M1 и в пределе производная такжебудет касательной к M1 .¥7.
Коммутирование векторных полейРавенство нулю скобки [X, Y ] означает, что векторные поля коммутируют, т.е. коммутируют диффеоморфизмы порожденных ими локальных групп.Определение. Векторные поля X и Y , определнные в области U гладкого многообразия M , коммутируют,если для всех достаточно малых s и tϕt (ψs (x)) = ψs (ϕt (x)),где ϕt – локальная группа поля X, а ψs – поля Y .Это важное свойство может быть сформулировано иначе. Если мы сдвигаемся из точки A сначала поинтегральной кривой поля X на величину параметра t и далее по интегральной кривой поля Y на величинупараметра этого поля s, то мы придем в ту же точку, в какую попадем, если сначала сдвинемся на s поинтегральной кривой Y , а затем на t по кривой X.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
