Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Это прямо следует из определений.Важное замечание. Если поля коммутируют в области на поверхности, то они определяют в этой областикоординатную карту. Надеемся, что для читателя это очевидно. Этот факт верен и для k коммутирующих полейв k-мерном пространстве.Теорема.
Векторные поля X и Y коммутируют тогда и только тогда, когда [X,Y]=0.Доказательство. Можно считать, очевидно, что в данной точке вектор одного из полей не нуль. Пусть ненуль вектор поля Y . Построим для Y выпрямляющий диффеоморфизм в окрестности этой точки, переводящийего в единичное поле e1 параллельное оси x1 .Так как скобка сохраняется при диффеоморфизме, ее координатное выражение показывает, что в нашемслучае [Y, X] переходит в дифференцирование X по первой координате (остальные координаты вектора e1равны нулю, а координатs всех векторов ei постоянны).Если [Y, X] = 0, то и образ скобки, который равен скобке образов, есть нуль, и тогда поле X переходит вполе, производные которого по первой координате равны нулю, т.е. оно не меняется при диффеоморфизмаходнопараметрической группы (в этом случае состоящей из параллельных сдвигов вдоль первой координатнойоси.) Значит, поле X также не меняется (вектор поля переходит в вектор поля) при диффеоморфизмахлокальной группы поля Y .Обратно, если при сдвиге по локальной группе поля Y поле X переходит в себя, то уже до перехода кпределу при вычислении производной разность в числителе равна нулю.
¥=========ДОБАВЛЕНИЕ 3. ГРУППА ДВИЖЕНИЙ1. Евклидова метрика в аффинном пространстве.Определяя длину гладкой кривой, мы исходили из того, что кривая представлена как отображение отрезка вевклидово пространство, в котором задано обычное “пифагорово” расстояние ρ(A, B) между точками A, B ∈ R nX iρ2 (A, B) =(y − xi )2 ,где xi – координаты точки A, y i – координаты точки B в стандартной системе координат. Проанализируемподробнее, как происходит введение этой метрики.Еще раз о пространстве R n . Мы, как всегда, рассматриваем пространство R n как пространство числовыхнаборов, причем с двух точек зрения – как точечное аффинное пространство со структурой, позволяющейрассматривать плоскости, и как векторное пространство с началом в нулевой точке O и с векторными операциями.Векторное пространство с началом в O можно считать касательным пространством к аффинному в этойточке.
Остальные точки также служат началами векторных пространств Vx , которые являются касательнымипространствами к аффинному в этих точках, и они отождествляются друг с другом с помощью параллельныхпереносов. В качестве стандартного репера в O берем наборы ei с единицей на i-ом месте и остальными нулями.∂Они обозначаются также ∂xi . Векторы, получаемые с помощью параллельных переносов из этих векторов,∂образуют стандартные координатные поля, которые обозначаются также ∂xi с указанием при необходимоститочки приложения вектора.Элементы аффинного пространства и векторного с началом в O естественным образом отождествляютсядруг с другом (точке ставится в соответствие ее радиус-вектор).
В аффинном пространстве вводится стандартнаяметрика. Мы хотим проанализировать эту операцию введения метрики.69Длины отрезков на оси. Во-первых, в одномерном векторном пространстве, т.е. на числовой оси R, мыможем определить длины отрезков (расстояния между точками) с помощью линейной структуры: для этогонужно фиксировать ненулевой вектор в качестве единичного или базисного. Конец вектора, получаемого избазисного с помощью умножения на число c > 0, получает координату c. Теперь расстояние (со знаком) междудвумя точками на оси определено как разность их координат.Мы принимаем за аксиому, что при параллельном переносе расстояние не меняется, так что выбрав единичныйотрезок на одной оси, мы получим измерение длин отрезков на осях ей параллельных с помощью параллельногопереноса.Вопрос заключается в том, как сравнивать длины на непараллельных осях.В силу сказанного, нам достаточно определить масштабные векторы (которые принимаются за единичные)на всех прямых, проходящих через O.
Естественно потребовать, чтобы выбор этих векторов непрерывно зависелот направления и это условие приводится к требованию, чтобы их концы описывали компактную поверхностьвокруг начала (пересекающую каждый луч из начала ровно в одной точке и потому, очевидно, гомеоморфнуюсфере). На самом деле, мы хотим еще иметь группу изометрий, т.е. группу линейных преобразований, которыесохраняют длины векторов, и, в частности, переводят указанную поверхность в себя. Группа эта не должнабыть чрезмерно большой, что сводится к требованию, чтобы она была компактной. (Это требование естественнои из других соображений, но мы на них не останавливаемся.)Оказывается, имеется теорема, согласно которой все максимальные (т.е.
не увеличиваемые) компактныеподгруппы в группе GL(n, R) сопряжены с ортогональной группой. Это означает, что для каждой такойподгруппы G существует замена переменных, которая переведет ее в O(n, R). (Действительно, сопряженностьозначает существование невырожденной матрицы C такой, что C −1 AC ∈ O(n, R) для всех A ∈ G. Эта матрицаC и служит матрицей замены.) Другими словами, всегда для нее можно найти базис, в котором матрицыпреобразований из этойP подгруппы будут ортогональными. В этом базисе поверхность единичных ортов будетсферой с уравнением (xi )2 = r2 . Применив еще гомотетию, мы придем к стандартной пифагоровой метрике.Мы могли бы получить метрическое пространство, взяв в качестве исходной формы сумму не вторых, а,например, четвертых степеней координат. Но в таком случае не имелось бы компактной группы линейныхпреобразований, с помощью которых мы могли бы переводить каждый орт в каждый другой.Расстояние в аффинном пространстве.Итак, чтобы определлить измерение длин отрезков в аффинном пространстве, мы начинаем с того, что наодной оси, скажем, на Ox, выбираем вектор e в качестве масштабного единичного орта.Затем на каждой оси проходящей через начало мы получаем из e орт этой оси, применяя вращениепространства, которое переводит ось Ox в эту ось.
Наконец, для каждого отрезка в аффинном пространстве мысначала сместим параллельно прямую, на которой он лежит, в прямую, проходящую через начало, так чтобыего один конец перешел в O, и затем поворотом пространства с неподвижным началом переведем эту прямуюв ось Ox. Длину получившегося отрезка оси Ox мы и принимаем за длину отрезка данного нам в начале.Параллельное смещение определено однозначно, а поворот определен с точностью до поворотов, которыеоставляют ось Ox неподвижной.Контрольный вопрос. Все параллельные переносы и повороты из ортогональной группы и, значит, такжеих композиции, сохраняют длины всех отрезков, определенные указанным образом.Изометрии.Все композиции параллельных переносов и поворотов, очевидно, образуют группу, которую мы будемобозначать G(n, R ) и называть полной группой аффинных изометрий, т.е.
аффинных отображений аффинногопространства R n , сохраняющих расстояния. Для оправдания этого названия покажем теперь, что она совпадаетс группой всех (не обязательно аффинных) преобразований R n , сохраняющих расстояния. Такие преобразования (любого метрического пространства) будем называть просто изометриями. Очевидно, что каждаяизометрия непрерывна. Мы должны показать в нашем случае, что изометрии являются аффинными отображениями.Предложение А. Любая изометрия g, для которой g(O) = O, есть элемент группы O(n, R ).Доказательство.
Нужно показать, что g есть линейное преобразование R n .Во-первых, g переводит прямые изометрично в прямые. В самом деле, прямая в R n , проведеная через точкиA и B характеризуется тем, что для любой ее третьей точки C выполнено условие: одно из трех расстоянийAB, BC, AC равно сумме двух других, и это условие верно, только если C лежит на прямой AB.
(Это следуетиз правила треугольника |~a + ~b| ≤ |~a| + |~b|, где равенство возможно только если векторы пропорциональны,что является выражением известного условия в неравенстве Коши - Буняковского - Шварца; иначе говоря,скалярное произведение равно произведению длин векторов, только если они коллинеарны.) Ясно, что этоусловие остается верным и для точек gA, gB, gC, значит, и эти точки лежат на одной прямой.Во-вторых, при умножении вектора v на число c его образ g(v) = u также умножится на c. Действительно,конец g(cv) лежит на прямой Ou на расстоянии |cv| от O, т.к. g изометрия, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
