Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Для удобства можно считать, что t = 1, что не ограничивает общности результата. Это ограничение,конечно, также гладко. Заметим, что его дифференциал в точке A есть тождественное отображение.Это утверждение требует такого пояснения. Хотя в образе и прообразе мы рассматриваем разные многообразия,но сейчас у нас в прообразе линейное пространство τA M 2 , а для линейного пространства его касательноепространство в каждой точке и, в частности, в начале, естественным образом отождествляется с ним самим.Поэтому дифференциал в точке A нашего отображения действует из τA M 2 в τA M 2 и утверждение, что он естьтождественное отображение имеет смысл.Чтобы проверить это утверждение, удобно рассматривать векторы как векторы скорости кривых, и намнужно показать, что кривая в τA M 2 с вектором скорости v переходит в кривую в M 2 также с вектором скоростиv.
Но в качестве кривой в τA M 2 мы можем взять прямую tv, а ее образ по определению есть геодезическаякривая с вектором скорости v.Итак, наше отображение переводит окрестность A в касательной плоскости в многообразие M 2 с тождественнымдифференциалом в точке A. По теореме об обратном отображении эта окрестность диффеоморфно отображаетсяна некоторую окрестность A в M 2 .Теперь усилим наш результат.56Утверждение 2. Для любой окрестности V точки A ∈ M 2 имеется окрестность U такая, что любыедве ее точки соединимы единственной геодезической, лежащей в V .Доказательство. Воспользуемся теоремой о неявной функции в усиленной форме. Она утверждает, чтоесли нам дано отображение прямого произведения z = F (x, y), где x, y, z — точки многомерных пространств,причем матрица Якоби ∂Fквадратная и невырожденная в окрестности точки (x0 , y0 ), то для некоторой∂yокрестности V точки z0 = F (x0 , y0 ) и некоторой окрестности U точки x0 имеется окрестность W точки(x0 , y0 ) такая, что для каждой ее точки (x, y) мы имеем: x ∈ U , и если Wx0 обозначает подмножество точек(x0 , y) в W с фиксированной координатой x0 , то F диффеоморфно отображает Wx0 на V .
(Иными словами,W представляется прямым произведением U и V , а F оказывается проекцией этого прямого призведения насомножитель V.)В нашем случае U и V — это окрестности в M 2 точки x0 = A, и мы получаем, что каждую точку Uможно соединить с каждой точкой V геодезической. Поскольку при стремлении этих точек к A геодезическаястремится также совпасть с A, мы получаем, что если точки берутся в малой окрестности, то соединяющаяих геодезическая будет лежать целиком в V . Ясно также, что такая геодезическая (лежащая целиком в V )единственна.¥Продолжаемость геодезических.
Поверхность называется полной, если каждую геодезическую можно определитьдля всех значений (натурального) параметра от −∞ до +∞. В силу сказанного о существовании и единственностисоединения близких точек геодезическими, можно оставить в качестве задачи следующее утверждение:Задача. Показать, что для компактного многообразия каждая геодезическая может быть продолжена домаксимальной (т.е. если дана геодезическая определенная для нормального параметра в некотором интервале,то она лежит в большей геодезической, определенной для нормального параметра на всей числовой прямой).Замечание. Известная теорема Хопфа – Ринова утвеждает, что в полном многообразии любые точки (ане только достаточно близкие) можно соединить геодезической (см. Дж.
Милнор. «Теория Морса».)5. Метрика постоянной кривизны.Допустим, что гауссова кривизна K данной поверхности одна и та же во всех точках. Построим полугеодезическуюсистему координат, как выше.Проведем через начальную точку O две геодезические γ1 и γ2 под прямым углом в этой точке. Пусть u –натуральный параметр на γ1 , v – на γ2 . Оба параметра отсчитываются от точки O. Через каждую точку γ2 спараметром v проведем геодезическую γv , ортогональную γ2 .Метрика поверхности в этой системе координат имеет вид:ds2 = du2 + b2 (u, v) dv 2 .√Выражение для гауссовой кривизны в ортогональной системе координат (K = (pv − qu )/ g, см.п.4 гл.13) даетв нашем случае K = −bvv /b, т.е.
обыкновенное дифференциальное уравнениеbvv + Kb = 0.с постоянным коэффициентом K. Вид его решения зависит от знака K.В случае K =1a2>0vv+ f2 (u) sin .aaЗдесь функции fi (u) выражают зависимость решения от начальных данных.b = f1 (u) cosАналогично, в случае K = − a12 < 0b = f1 (u) chvv+ f2 (u) sh .aaЕсли K = 0 имеемb = f1 (u) + f2 (u)v.Во всех трех случаях при v = 0 точка лежит на геодезической γ1 , причем u есть ее натуральный параметр.Поэтому b2 |v=0 = 1 (как модуль касательного орта) и, т.к.
эта геодезическая есть координатная линия, мыполучаем из уравнения геодезической bu |v=0 = 0.Подстановка этих значений даетf1 (u) = 1; f2 (u) = 0.В результате первая квадратичная форма поверхности постоянной кривизны в построенной системе координатимеет вид:ds2 = dv 2 + cos2 av du2 ,если K = 1/a2 > 0;ds2 = dv 2 + ch2 av du2 ,если K = −1/a2 < 0;ds2 = dv 2 + du2 ,если K = 0.57Локальная изометрия поверхностей постоянной кривизны.Утверждение.
Две поверхности постоянной кривизны локально изометричны, если и только если ихкривизны равны.Доказательство. Равенство кривизн для локально изометричных поверхностей следует из теоремы Гаусса.Если же две поверхности M1 и M2 имеют одинаковую постоянную кривизну K, то, согласно доказанному, вокрестностях точек x1 ∈ M1 и x2 ∈ M2 можно ввести локальные карты, параметризованные одной и той жеобластью плоскости и такие, что в соответственных точках метрика в обеих картах будет задаваться одной итой же формулой, принадлежащей к одному из трех указанных типов в зависимости от знака K.
¥Поверхности постоянной кривизны в R 3 . Для каждого числа K ∈ R имеется поверхность постояннойкривизны K, которую можно построить в R 3 . Для K = √0 это плоскость, а также любая развертывающаясяповерхность. Для положительного K это сфера радиуса 1/ K. Для отрицательных K такая поверхность такжеможет быть реализована в R 3 , т.е. в R 3 есть поверхность, на которой стандартная метрика индуцирует метрикус постоянной отрицательной кривизной (см.ниже).Задача нахождения поверхностей постоянной кривизны (в форме графика) решалась в 30-х годах прошлоговека работавшим в России (в Дерптском университете) и ставшим позже почетным членом Российской АНФ.Миндингом, учеником Гаусса. В общем виде она сводится к уравнению в частных производных, котороезадается формулой, определяющей полную кривизну (см.п.7 гл.12А). Миндинг рассмотрел случай обобщенныхвинтовых поверхностей и, в частности, поверхностей вращения. Этот последний случай требует решенияобыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, задающего меридиан функцией r(z), где z– координата по оси вращения, а r – расстояние точки меридиана до оси вращения.
(Напишите это уравнениев качестве упражнения!) Решение его представляется интеграломZ r1− 1 dr.z=c2 − Kr 2Здесь c – произвольная постоянная.Трудно усмотреть непосредственно, что поверхность с таким меридианом при K > 0 локально изометричнасфере.Замечание. Миндинг доказал, что поверхности вращения с равной постоянной кривизной будут взаимноналожимы, но не обратил внимания на то, что дифференциал длины имеет в случае отрицательной кривизнытот же вид, что и на плоскости Лобачевского (основная статья которого была опубликована в том же журнале,что и статья Миндинга, двумя годами ранее). Этот факт был замечен и использован Риманом в его лекции1854 года.
Но эта лекция оставалась неизвестной до 1868 года. В этом году вышла статья Бельтрами, где былоуказано явным образом, что внутренняя геометрия поверхности вращения трактрисы совпадает (локально) сгеометрией плоскости Лобачевского. Этот факт послужил окончательному признанию неевклидовой геометрии.Однако изометрического вложения всей плоскости Лобачевского в трехмерное пространство не существует, чтобыло доказано Гильбертом в 1900 году.6. Модели и метрики плоскости Лобачевского.Поверхности постоянной отрицательной кривизны замечательны тем, что локально изометричны плоскостиЛобачевского, плоскости с неевклидовой геометрией.По теореме Гильберта (см.
), изометричное (и гладкое) вложение плоскости Лобачевского в трехмерноеевклидово пространств невозможно. Но ее можно реализовать в евклидовом пространстве локально или жеглобально, но в псевдоевклидовом пространстве.Рассмотрим сначала локальную реализацию с помощью поверхности вращения, в качестве меридианакоторой возьмем трактрису, которая была расмотрена в п.п.7 гл.10.Пусть отрезок касательной от точки касания до оси абсцисс равен a.Ордината точки на кривой будет тогда η = a sin α, но sin α есть отношение дифференциаловнатуральный параметр на кривой, и тогдаηdη=.adlМетрика на поверхности вращения, как мы видели в п.11 гл.11A, имеет видds2 = dl2 + η 2 d φ2 .Делаем подстановку и выносим η 2 за скобки:µµ2 2a ηdη 2η2¶µ+58dφ 2a¶¶.dη,dlгде l —Теперь приведем метрику к конформному виду, вводя новые переменные x =µds2 = a2dx2 + dy 2y2φ,ay=1η:¶.Кривизна считается по формуле п.4 гл.13: K = − a12 .
(См. также задачу в конце гл.12, стр.39.)Теперь рассмотрим второй путь реализации плоскости ЛобачевскогоПсевдоевклидовы пространства.Определение. Псевдоевклидовым пространством типа p, q и ранга r = p + q называется пространство Rrс невырожденной симметричной билинейной формой с сигнатурой (p, q). Пространство Rr , снабженное такойформой обозначается Rrq .Из алгебры известно, что для такой формы существуют базисы, в которых ее матрица имеет диагональныйвид с p единицами и q минус единицами на диагонали и с нулевыми остальными элементами. Такие базисыназываются ортонормированными. Числа p и q не зависят от приведения к диагональному виду, т.е.
выборатакого базиса (закон инерции).Пространство с такой билинейной формой называется, если q > 0, псевдоевклидовым, а сама формапсевдоэвклидовой метрикой Соответствующая квадратичная форма имеет вид(x1 )2 + · · · + (xp )2 − (xp+1 )2 − · · · − (xr )2Приравнивая это выражение нулю, мы получим в Rrq коническую поверхность, называемую изотропнымконусом. Радиус-векторы ее точек имеют нулевую норму в смысле этой псевдометрики.Определение. Квадратная матрица C называется псевдоортогональной, если C T Eq C = Eq , где матрицаEq диагональная, в ней q элементов на диагонали равны −1, а остальные 1.Утверждение.
Матрица псевдоортогональна, если и только если соответствующее преобразование Rrqпереводит ортонормированные базисы в ортонормированные.Доказательство. Оно по существу такое же, как и для обычных ортогональных матриц.Псевдоортогональные преобразования образуют группу, для такого преобразования Cгруппа обозначается O(r, q) (иногда уточняют: O(r, q; R) ).−1¥T= Eq C Eq . ЭтаНас интересует случай q = 1. В этом случае удобно обозначить координату, которой отвечает отрицательный1p 2квадрат, через x0 , а “положительные” координаты нумеровать отp 1 до p.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
