Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Их заданием определяется операция.Далее мы можем определить частные ковариантные производные ∇j m от каждого векторного поля в даннойкарте с помощью правила Лейбница, т.е. по формуле (++), но с использованием (× × ×) вместо (×) длядифференцирования координатных полей (и обычного дифференцирования для скалярных коэффициентов):∇j m(x) = ∇j (mi ri ) =∂ miri + mk ∇j rk = (mij + mk Γikj )ri .∂ xj(Мы поменяли индекс суммирования, чтобы вынести ri за общую скобку.)Наконец, мы можем определить ковариантную производную векторного поля m(u, v) по вектору w скоординатами wi в данной точке формулой аналогичной обычной:∇w m = ∇j m w j .В частности, производная ∇γ̇ m по вектору скорости γ̇ параметризованной кривой γ есть ∇1 m(x(t)) u̇(t) +∇2 m(x(t) v̇(t)). Ее обозначают также ∇t m или еще Dd m(чтобы отличить от дифференцирования по параметруtкривой в R3 ).Теперь соберем это определение дифференцирования в одну формулу∇w m = ∇wj rj (mi ri ) = ∇j (mi ri )wj = (mij + mk Γikj )ri wj .Выражение в скобках естественно назвать частной ковариантной производной векторного поля по i-ойкоординате.Мы не будем во всех деталях доказывать свойства построенной операции.
Ее линейность очевидна. ПравилоЛейбница для произведения скалярной функции на векторное поле выполнено фактически в силу определения:∂fi∇w (f m) = ∇w (f )m + f ∇w m, где ∇w f = ∂xiw .Утверждение 1. Правило Лейбница для дифференцирования скалярного произведения векторных полейb)выполнено в следующей ковариантной форме: d (a,= (∇w a, b) + (a, ∇w b).dwДоказательство. Hавенство справедливо для обычных покоординатных производных в R3 , но скалярноепроизведение вектора u на вектор v, лежащий в данной плоскости, равно скалярному произведению с vпроекции u на эту плоскость.¥Это дает нашей операции право на название дифференцирования.Замечание. Мы принимаем, что действие оператора ∇w на функции совпадает с дифференцированиемфункции по вектору.
В самом деле, в этом случае не имеет значения, рассматриваем ли мы дифференцированиефункции только на поверхности или в трехмерном пространстве.Для нас важны два свойства этой операции. Одно из них очевидно по определению, т.к. проекция вектораесть вектор:Утверждение 2. Ковариантная производная векторного поля по вектору в данной точке является вектором.¥45(Иными словами, при переходе от одной карты к другой координаты производной заменяются с помощьюматрицы Якоби.)Второе свойство введенной операции особенно важно.
Мы сейчас покажем, что коэффициенты Кристоффеляполностью определены первой квадратичной формой. Это значит, что если две карты ϕi двух поверхностейM12 и M22 параметризованы точками одной и той же плоской области V и во всех соответствующих точках (т.е.с теми же значениями параметров) коэффициенты первых квадратичных форм совпадают, то совпадают исимволы Кристоффеля в соответствующих точках. Иначе говоря, символы Кристоффеля сохраняются, когдаодна поверхность получается из другой (в пределах данных карт) с помощью изгибания (т.е. с сохранениемдлин кривых, без растяжений, сжатий или разрывов).Утверждение 3.
Символы Кристоффеля выражаются через коэффициенты первой квадратичной формыи их первые производные. Именно, обозначая через (g lk ) матрицу обратную к матрице (gij ) (g lk gkj = δjl ), имее쵶∂ gil∂ gij1∂ gjl+−Γkij = g kl.(!)2∂ xi∂ xj∂ xl(Первый нижний индекс i кристоффеля соответствует номеру дифференцируемого базисного вектора, второйнижний индекс j – переменной, по которой производится дифференцирование, верхний индекс – номеру базисноговектора в разложении правой части в (× × ×).) Переменные x1 и x2 в правой части соответственно совпадаютс координатами u и v.Доказательство.
Возьмем уравнения (×), выражающие производные базисных векторов rj в сокращеннойформе rji = Γsji rs . Умножим скалярно это равенство на rl . Мы получим (rji , rl ) = Γsji gls . Но∂(rj , rl )∂gjl== (rji , rl ) + (rj , rli ) = Γsji gls + Γsli gjs .∂xi∂xiБеря полусумму трех таких слагаемых, два с плюсом и одно с минусом, получаем, используя симметриюкристоффелей по нижним индексам, тождества Кристоффеля 1-го рода:µ¶1 ∂ gjl∂ gil∂ gij+−= gls Γsij .2 ∂ xi∂ xj∂ xlУмножим это матричное равенство (при каждой паре i, j) на обратную матрицу (g lk ) (т.е. умножим на g lk ипросуммируем по l).
Справа мы получим произведение δsk Γsij . Здесь δsk – единичная матрица, и это произведениеозначает просто, что мы можем поменять индекс s на k (при s 6= k получается нуль). Мы пришли к требуемомуравенству, которое называют тождествами Кристоффеля 2-го рода.¥Мы говорили, что Гаусс назвал свойства, зависящие только от первой квадратичной формы, внутренними(принадлежащими внутренней геометрии поверхности), т.е. не зависящиими от расположения этой поверхностиво внешнем пространстве. Поэтому, хотя наше определение дифференцирования на поверхности использовалодифференцирование в объемлющем пространстве, оно принадлежит внутренней геометрии поверхности и независит от ее расположения в пространстве.
Конечно, в нашем случае берется метрика, которая индуцированаиз стандартной метрики пространства, но любая риманова метрика задает по полученным формулам своисимволы Кристоффеля, и, значит, свою операцию дифференцирования векторных полей по вектору, котораябудет иметь такие же формальные свойства, даже если метрика была введена на поверхности независимо отее вложения в R3 .Итак, мы решили важную задачу — построено дифференцирование векторных полей на поверхности втрехмерном пространстве, которое не зависит от вложения этой поверхности в пространство.
Это значит, чтодиффеоморфизм между двумя поверхностями, который сохраняет риманову метрику (первую квадратичнуюформу), будет переводить (ковариантную) производную векторного поля в ковариантную производную егообраза.Замечание. В наших рассуждениях о символах Кристоффеля мы перешли от обозначения переменныхu, v к индексным обозначениям. Это удобно хотя бы потому, что записи становятся компактнее. Например,четверка деривационных уравнений (в ковариантной форме (× × ×)) записывается равенством:∇ri rj = Γkji rk .(∗)Однако, польза от такой записи не ограничивается удобством. Важно, что позволяяя индексам меняться от 1до какого-нибудь заданного m, мы автоматически перенесем наши результаты на случай m-мерной поверхности(подмногообразия) в пространстве Rn , заданной, например, параметрически векторной функцией r(u1 , .
. . , um ).Действительно, по стандартной метрике в Rn мы определяем метрику gij = (ri , rj ) на поверхности, пометрике уравнениями (!) определяем кристоффели, а с помощью (∗) — ковариантное дифференцированиебазисных координатных полей, которое дальше распространяется на все поля по линейности и с помощьюправила Лейбница.46Для подмногообразия коразмерности 1 (т.е. m = n − 1) мы можем также определить вторую квадратичнуюформу той же формулой (rij , n) = bij и отождествить с ее помощью окаймляющие элементы деривационныхуравнений. Ситуация в общем случае, конечно, сложнее трехмерной (характеристический многочлен парыформ имеет много корней !), и мы не будем ее обсуждать (см. Громов...)Подробное изучение ковариантного дифференцирования в многомерном случае мы оставляем до второготома, теперь же вернемся к случаю поверхностей в R3 .3.
Теорема Гаусса. Первое доказательство.Мы докажем теперь теорему Гаусса, сформулированную выше, выразив кривизну поверхности через символыКристоффеля и их производные, используя утверждение предыдущего пункта.Точнее говоря, нам достаточно выразить через кристоффели определитель второй квадратичной формы,т.к.
кривизна, как мы знаем из п.7 гл.12, есть отношение определителей второй и первой квадратичных форм.Но этот определитель легко выделяется с помощью деривационных уравнений (в исходной форме (×)).Выразим двумя способами (r11 , r22 ) − (r12 , r12 ). Во-первых:(r11 , r22 ) − (r12 , r12 ) = b11 b22 − b212 + Γk11 Γl22 gkl − Γk12 Γl12 gkl .С другой стороны,∂ 2 (ri , rj )∂ 2 gij== (rik , rjl ) + (ril , rjk ) + (ri , rjkl ) + (rikl , rj ),∂xk ∂xl∂xk ∂xlоткуда легко подсчитать, что1 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22∂ 2 g12−−= (r11 , r22 ) − (r12 , r12 ).∂x1 ∂x22 ∂x2 ∂x22 ∂x1 ∂x1В результате мы получаем требуемое выражение кривизны K поверхности в данной точке:µ 2³´¶LN − M 2b11 b22 − b2121∂ g121 ∂ 2 g111 ∂ 2 g22klklK===−−− gkl Γ11 Γ22 − Γ12 Γ12.2EG − F 2g11 g22 − g12g ∂x1 ∂x22 ∂x2 ∂x22 ∂x1 ∂x1В этом выражении K все величины выражаются через элементы матрицы первой квадратичной формы иее производные до второго порядка включительно (см.
(!)).¥Это доказательство достаточно прозрачно, хотя требует некоторых вычислений, а само выражение кривизнымало удобно. Мы ниже дадим более простое выражение и, кроме того, дадим еще два доказательства этойважной теоремы на основе геометрических соображений.Как мы говорили, имеется еще один важный повод для введения деривационных уравнений — представлениеповерхности решением дифференциального уравнения в частных проиводных. Мы не будем заниматься здесьэтой задачей (см....), но немного позже сделаем несколько замечаний для ориентации читателя.Чтобы получить более удобную для вычислений формулу кривизны, рассмотрим доказательство теоремыГаусса, выбрав карту с ортогональными координатными линиями.4.
Теорема Гаусса в ортогональном репере.Ортогональные координаты. Начнем с напоминания (см. гл. 9 п.7) возможности ввести в окрестностикаждой точки A поверхности M ⊂ R3 ортогональную систему координат (u, v), т.е. такую, что в каждой точкеокрестности координатные линии u = const и v = const ортогональны (т.е. ортогональны их касательныевекторы).Упражнение. Вспомните, как строится ортогональная система координат.Метрика в ортогональной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
