Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В ней утверждается, чтополную кривизну можно выразить в терминах первой квадратичной формы. Более точно:Теорема Гаусса. Полная кривизна поверхности в R3 выражается в каждой карте через коэффициентыпервой квадратичной формы поверхности и их частные производные.Выражение, данное Гауссом в общем виде, очень сложно и позже были придуманы различные другие более(и менее) простые. Мы приведем ниже вывод двух таких выражений, одного в общей форме и другого самогопростого (упрощенного за счет использования ортогональной координатной системы) и постараемся прояснитьгеометрический смысл этой замечательной теоремы. Но чтобы получить эти выражения, нам нужно научитьсядифференцировать касательные векторные поля на поверхности инвариантным (не зависящим от локальнойкарты) способом.
C этого мы начнем.Во втором томе мы познакомимся с тем далеким обобщением подхода Гаусса, который был начат в 1854году Риманом в его знаменитой лекции “О гипотезах, лежащих в основании геометрии” и затем развит многимигеометрами, став в конце концов естественным языком физической теории – общей теории относительности.Сейчас будем рассматривать только случай поверхностей в трехмерном пространстве. В частности, этоозначает, что на поверхности рассматривается риманова метрика, индуцированная стандартной “пифагоровой”метрикой объемлющего пространства R 3 .1. Метод подвижного репера.Мы будем действовать отчасти по аналогии с методом Френе: рассмотрим поле реперов, приспособленныхк поверхности в каждой точке, выразим производную этого поля в нем самом, и получим дифференциальныеуравнения, определяющие нашу поверхность.
В отличие от теории Френе это будут уравнения в частныхпроизводных, для которых теорема существования и единственности требует выполнения некоторых условий— так называемых условий интегрируемости (происходящих, грубо говоря, из-за симметрии последовательногодифференцирования функций по каждой паре переменных).
С другой стороны, условие ортонормированностиреперов, которое играло в случае кривых очень важную роль, здесь имеет меньшее значение и даже затемняетпринципиальную сторону вопроса, хотя и упрощает вычислительные формулы.Имеется еще одна дифференциально геометрическая задача, кроме задачи описания поверхности с помощьюдифференциальных уравнений, — научиться дифференцировать векторные поля на поверхности, т.е поля,составленные из касательных векторов (и обобщения этой задачи). Прямое использование карт нам не поможет,т.к.
при вычислении производных приходится вычитать значения дифференцируемого векторного поля в двухблизких, но разных точках, а эта операция не определена инвариантно (если использовать координаты карты,то при переходе от одной карты к другой получатся существенно разные результаты). Мы воспользуемсяпокоординатным дифференцированием векторных полей в объемлющем трехмерном линейном пространстве,для которого эта задача легко решается с помощью параллельного переноса. Но при этом производнымикасательного к поверхности поля будут векторы объемлющего пространства, которые, вообще говоря, не будуткасательными векторами поверхности.
Посмотрим, как обойти эту трудность.Мы начнем с локального поля реперов, построенного, как и раньше, по некоторой карте данной поверхностиM 2 ⊂ R3 . Мы обозначаем карту ϕ : V → U ⊂ M 2 , где, как обычно, V — область в плоскости R2 со стандартнымикоординатами (u, v), а U — открытое подмножество M 2 , т.е. пересечение M 2 с открытым подмножеством W вR3 . Координаты в R3 обозначаются (x, y, z), и диффеоморфизм ϕ параметрически выражается векторнойфункцией r(u, v).
Таким образом, мы получаем в каждой точке A ∈ M 2 репер (ru , rv , n), где n — орт,ортогональный к M 2 (т.е. к касательной плоскости τA M 2 ), но векторы ru , rv не будут предполагаться ортонормированными, они, как обычно, являются образами стандартного репера (e1 , e2 ) координатной плоскостипри линейном отображении (дифференциале dϕ) плоскости R2 на τA M 2 . Напомним, что орт n выражается[ru , rv ]через ru , rv по формуле n = |[rи он ортогонален векторам ru , rv .u , rv ]|Запишем теперь основные уравнения, которые называются деривационными, смысл которых в том, чтобывыразить в указанном базисе производные элементов базиса в базисных направлениях ru и rv .
Их можнорассматривать как аналоги для поверхности уравнений Френе, но это — уравнения в частных производных.Их коэффициенты будут играть важную роль и их обозначения общеприняты. Мы отметим дальше некоторыесоотношения между коэффициентами.Имеются две системы — дифференцирования по первой координате u и по второй координате v. Поддифференцированием понимается покоординатное дифференцирование в R3 . Дифференцирование по первойкоординате мы обозначаем индексом 1, по второй индексом 2, в частности, ru = r1 и rv = r2 , ruu = r11 и т.д.:r11 =r21 =n1 =Γ111 r1 + Γ211 r2 + b11 nΓ121 r1 + Γ221 r2 + b21 n−b11 r1 − b21 r2r12 =r22 =n2 =43Γ112 r1 + Γ212 r2 + b12 nΓ122 r1 + Γ222 r2 + b22 n−b12 r1 − b22 r2(×)Производная единичного вектора n ортогональна ему, значит, лежит в касательной плоскости, и поэтому, втретьих равенствах равны нулю коэффициенты при n.b12Важное замечание.
Так как r21 = r12 , мы имеем соотношения симметрии: Γ121 = Γ112 , Γ221 = Γ212 и также= b21 .Мы можем сразу увидеть, чему равны коэффициенты bij : умножим скалярно первые и вторые равенствана n и получим(rij , n) = bij .Слева стоят коэффициенты второй квадратичной формы. Таким образом, b11 = L, b12 = b21 = M, b22 = N .Выясним теперь, чему равны коэффициенты bij . Умножая скалярно на ri , получим: (nj , ri ) = −b1j (r1 , ri ) −ri ). Слева, как мы знаем, снова стоят коэффициенты второй формы (с минусом): (nj , ri ) = −(rij , n) =−bij . C другой стороны, скалярные произведения (ri , rj ) это коэффициенты первой квадратичной формы,которые мы обозначим теперь gij , и мы получаем систему линейных уравнений относительно bij :b2j (r2 ,bij = b1j g1i + b2j g2i .В сокращенной форме эту систему можно записать в виде bij = bkj gki .
Определитель этой системы этоопределитель g коэффициентов первой квадратичной формы, который отличен от нуля. Обозначим через g ijэлементы матрицы обратной к матрице этой формы. Мы получим выражения для коэффициентов bij с помощьюэтой обратной матрицы: bij = g ki bkj .Матрица Якоби сферического отображения. Заметим, что пара nu , nv это базисные векторы карты наединичной сфере в координатах u, v, определенной сферическим отображением. Его матрица Якоби естьматрица (bij ), равная, согласно нашему вычислению, произведению матриц g ki и bkj , а определитель этойматрицы, т.е. якобиан сферического отображения, равен g1 det(bkj ), т.е. K. Мы доказывали это выше (п.6 гл.12Б)с помощью геометрических соображений.2.
Символы Кристоффеля и дифференцирование векторных полей на поверхности.Нам осталось найти коэффициенты Γkij . Они называются символами Кристоффеля (или “кристоффелями”)и играют особую роль.Именно, с помощью деривационных уравнений мы введем сейчас операцию дифференцирования векторныхполей на M 2 вдоль кривых на M 2 . Это должна быть операция, которая касательному векторному полюсопоставляет в каждой точке гладкой кривой вектор, касательный к поверхности и выражающий изменениеполя вдоль кривой в этой точке.
Она должна иметь свойства линейности и удовлетворять закону Лейбницаотносительно разных произведений.Если (в пределах карты) задано векторное поле m(u, v) касательных векторов, мы можем разложить егопо координатным полям:m(u, v) = m1 (u, v)r1 + m2 (u, v)r2(m1 и m2 – координаты m в репере r1 , r2 ). Если теперь дана кривая γ ⊂ M 2 с параметризацией r(u(t), v(t)),то мы можем написать, по закону дифференцирования сложной функции, производную этого векторного полявдоль кривой γ (используя покоординатное дифференцирование в объемлющем пространстве R3 ):dm= m1 u̇ + m2 v̇,dtздесь производные m1 =∂m∂uи m2 =∂m∂v(+)получаются по обычному правилу дифференцирования:mj = m1j r1 + m1 r1j + m2j r2 + m2 r2j ,(++)где m1j и m2j — производные коэффициентов m1 и m2 .
Сокращенно mj = mij ri + mi rij .Нам остается подставить выражения r1j и r2j через векторы репера r1 , r2 , n из деривационных уравнений.Это дифференцирование законно, но, как говорилось, его недостаток тот, что результат не принадлежитповерхности, т.е. не является ее касательным вектором. В самом деле, остается нормальная составляющая.Естественно возникает предложение (высказанное впервые в самом начале XX века Лѐви-Чивѝта) отброситьэту составляющую, т.е.
спроектировать ортогонально результат на касательную плоскость.Таким образом мы приходим к внутренней операции дифференцирования касательных векторных полей наM 2 , которая заключается в обычном (внешнем для M 2 ) дифференцировании в пространстве R3 с последующимпроектированием результата на касательную плоскость. Она называется ковариантным дифференцированием,и обладает необходимыми свойствами, которые мы изучим позже. Сейчас же отметим, что эта операцияцеликом определена символами Кристоффеля, т.е. правыми частями двух первых уравнений в каждой системе(×) с отброшенными третьими слагаемыми, которые содержат нормаль n:Γ111 r1 + Γ211 r2Γ121 r1 + Γ221 r2Γ112 r1 + Γ212 r2Γ122 r1 + Γ222 r244.(××)Чтобы уточнить формальную сторону дела, нам прежде всего удобно перейти от обозначения координат u, vк обозначению x1 , x2 в соответствии с обозначением координат m через mi .
Мы можем записать правые частидеривационных уравнений на поверхности, т.е. после ортогонального проектирования, в виде Γkij rk . Далее,заметим, что для определения дифференцирования по параметру t в формуле (+) нам вовсе не требуется знатьвсю кривую γ. Если мы хотим знать производную векторного поля в данной точке кривой, нам достаточнознать координаты ẋ1 , ẋ2 вектора скорости этой кривой в данной точке.Чтобы отличить новую операцию, которую мы вводим, от обычного дифференцирования в объемлющемпространстве, введем обозначение ∇w m(u, v) (читается: “набла” от m по w). Мы назвали ее ковариантнымдифференцированием (касательного) векторного поля m(xi ) по (касательному) вектору w(xi ) в данной точкеA ∈ M 2 . Дифференцирование по вектору скорости γ̇ данной кривой γ будем обозначать также ∇t m = ∇γ̇ m, адифференцирование по i-ой координате, т.е. по вектору ri , через ∇i m.Таким образом, мы можем определить, как и в обычном анализе, производную ∇t m векторного поля mпо вектору (ẋi ) = γ̇ по аналогии с формулой (+), т.е.
∇t m = ∇i m ẋi . При этом частные ковариантныепроизводные ∇i m также определяются обычным вычислением по формуле (++), но производные rij мызаменяем “укороченными” выражениями Γkij rk .Повторим определение ковариантной производной в обратном порядке: сперва мы определяем ковариантныепроизводные ∇j ri = ∇rj ri — производные координатного вектора ri (x) по координатному вектору rj в даннойточке. При этом мы используем выражения (××):∇j ri = Γkij rk ,(× × ×)3т.е., берется покоординатное дифференцирование в R с последующей проекцией на касательную плоскость.Кристоффели являются координатами производной в данном репере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
