Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Противоречие с ответом на приведенный вопрос разрешается тем, что конусявляется развертывающейся (локально) поверхностью в окрестности любой своей точки, кроме вершины, а внашем случае окружность как раз обходит вокруг вершины.Утверждение 4. Если две поверхности касаются друг друга в точках некоторой кривой, то параллельныепереносы векторов вдоль этой кривой на обеих поверхностях совпадают.Доказательство. Поверхности касаются в общей для них точке, если их касательные плоскости в этойточке совпадают. Поэтому вектор, касательный к одной из них в этой точке будет касательным и к другой.Ковариантная производная векторного поля вдоль кривой получается, как мы знаем, в два шага: сначалаберется обычная производная в объемлющем трехмерном пространстве и затем результат проектируется накасательную плоскость.
Но обе эти операции совпадают, если касательные плоскости наших поверхностейсовпадают.Доказательство также следует из второй формы уравнения (§) параллельнного переноса.¥Это утверждение также выглядит с первого взгляда противоречивым, так как параллельный переносопределяется кристоффелями, а кристоффели выражаются через производные метрической формы, причемпроизводные берутся в картах разных поверхностей и не обязаны совпадать.Упражнение. Найти, на какой угол повернется вектор касательный к единичной сфере в точке с долготойα и направленный по меридиану к северному полюсу после параллельного переноса по окружности, плоскостькоторой ортогональна оси север - юг.
[Воспользоваться утверждением 4.]2. Геодезические.Геодезические это самые важные кривые на поверхности. Они являются аналогами прямых линий напоскости в том смысле, что определяются теми же свойствами, что и прямые (соответственно обобщенными.)Основными являются два свойства: геодезические являются (локально) кратчайшими и с другой стороныпрямейшими. Первое свойство означает, что длина этих кривых наименьшая среди всех кривых соединяющихданные две точки. Это условие должно быть выполнено локально, т.е.
для кривых, соединяющих точкиотстоящие друг от друга не более, чем на некоторое ² (многообразие является метрическим пространством).(Экватор сферы, конечно, надо считать геодезической – прямой на сфере, но кратчайшим его обход междублизкими точками будет в одну сторону и не будет в другую.)Второе условие означает, что геодезическая не искривлена с точки зрения внутренней геометрии поверхности.Мы должны будем уточнить это важное понятие.Первое свойство мы выясним позже. Его решение состоит в том, что уравнение геодезической являетсяусловием минимума функционала длины — эти вопросы изучаются в функциональном анализе, но мы постараемсяобойтись более элементарными средствами.Обратимся ко второму свойству.Пусть дана кривая γ на поверхности M 2 . Напомним, что кривизна этой кривой в R3 это модуль производнойее вектора скорости по натуральному параметру.
Сам этот вектор называется вектором кривизны в даннойточке и мы будем называть его еще абсолютным вектором кривизны.Проекция этого вектора на касательную плоскость, как мы знаем, есть ковариантная производная векторногополя вдоль кривой, состоящего из векторов скорости (касательных ортов), а проекция на нормальный векторк поверхности называется вектором нормальной кривизны, длина его есть нормальная кривизна.Заметим, что поскольку проекция на касательную плоскость есть ковариантная производная, эта проекцияпринадлежит внутренней геометрии поверхности.
В частности, ее длина не меняется при изгибаниях (изометриях)поверхности.Определение. Вектором геодезической кривизны кривой γ ⊂ M 2 в данной точке x называется проекция(абсолютного) вектора кривизны этой кривой в точке x, а геодезической кривизной длина этого вектора.(Это название, введенное Гауссом, связано с проводившимися этим великим математиком геодезическимиработами по измерениям земной поверхности. В этом случае поверхность Земли рассматривалась безотносительно52к ее вложению в трехмерное пространство.
И кривизна кривых не связывалась с искривлением поверхностив пространстве, а рассматривалась как величина, которую можно измерить непосредственно измерениями наповерхности.)Вспомним, что прямые на плоскости выделяются тем, что их кривизна в каждой точке равна нулю.Определение. Геодезической кривой на поверхности или просто геодезической называется кривая, геодезическаякривизна которой равна нулю в каждой точке.Исходя из сказанного, мы сразу заключаем, чтоУтверждение 1.
Главная нормаль геодезической совпадает с нормалью к поверхности в каждой ее точке.¥Уравнение геодезических.Условие равенства нулю геодезической кривизны, и значит вектора геодезической кривизны, означает, чтоковариантная производная поля касательных ортов равна нулю в каждой точке. Это условие записываетсяуравнениемd ẋi+ ẋk Γikj ẋj = 0,dtкоторое получено, очевидно, из уравнения параллельного переноса подстановкой вместо вектора v касательногоорта τ = (ẋi ).
Параметром служит нормальный параметр кривой. Каноническая запись этого уравнения:d2 xi+ Γikj ẋk ẋj = 0.d t2(§§)Это уравнение (точнее, система), во-первых, имеет второй порядок и, во-вторых, не линейное. (Некоторойаналогией тут служит то, как из билинейной формы от двух переменных в алгебре получается квадратичнаяформа от одного переменного.)Тот факт, что геодезические служат решениями обыкновенного дифференциального уравнения, дает сразунесколько результатов.Утверждение 2. Если вектор скорости кривой с произвольным параметром удовлетворяет уравнениюгеодезической, то ее параметр пропорционален натуральному и она геодезическая.Доказательство. Мы предполагаем, что ∇t v(t) = 0, где v(t) – вектор скорости. Но тогда (v, v)˙ =∇t (v, v) = 2(∇t v(t), v) = 0, т.е.
длина вектора скорости постоянна, т.е. dd st = |v| = const и t = cs + d (гдеc и d константы). Если же в уравнении геодезической сделать линейную замену параметра, то уравнение неизменится и, значит, кривая будет геодезической.¥Дальше воспользуемся теоремой существования и единственности для обыкновенных дифференциальныхуравнений. Из нее следует, что через каждую точку поверхности в каждом направлении проходит в точностиодна геодезическая. Но уравнение геодезической есть на самом деле система двух уравнений второго порядкаотносительно двух неизвестных функций. Решения такой системы образуют четырехпараметрическое семейство.В нашем случае три параметра очевидны: точка на поверхности, отвечающая нулевому значению t дает(локально) два параметра и еще один параметр — это наклон орта в этой точке.
Четвертый параметр даетсяпредыдущим утверждением.Геодезические на сфереМы отмечали, что экватор сферы “очевидно” нужно считать аналогом прямой на сфере, т.е. геодезической.Мы теперь можем это установить, не решая уравнения.Задача. Написать и решить уравнение геодезической для единичной сферы.Для любого большого круга на сфере вектор кривизны направлен к центру и его направление совпадаетс направлением нормали к сфере. Значит, геодезическая кривизна равна нулю и большой круг являетсягеодезической. Других геодезических нет, т.к.
через каждую точку в каждом направлении можно провестибольшой круг.С другой стороны мы можем рассуждать иначе.Геодезические переходят в геодезические при изометриях, т.к. они принадлежат внутренней геометрииповерхности. В частности, это так при симметриях поверхности. Но каждый большой круг определяет отражениесферы в плоскости этого круга.
Если бы в направлении круга проходила через данную точку геодезическаяотличная от круга, то при этом отражении она перешла бы в отличную от нее геодезическую с тем женаправлением, чего быть не может по теореме единственности.Геодезические поверхностей вращения.
Это же рассуждение показывает, что меридианы поверхности вращенияявляются геодезическими.Контрольный вопрос. Когда окружность, ортогональная оси, будет геодезической?Вообще, для геодезических кривых поверхности вращения справедлива53Теорема Клеро. Для точек геодезической на поверхности вращения произведение расстояния от точкидо оси вращения на синус угла кривой с меридианом постоянно.Доказательство. Рассмотрим, вообще, поверхность, метрика которой может быть приведена к виду ds2 =du +g(u)dv 2 . В нашем случае поверхности вращения g = η(u) есть квадрат расстояния ρ от точки кривой до осивращения (см.п.11 гл.11A ).
Заметим, что для кривых v = const параметр u нормальный. Подсчитаем символыКристоффеля по известной формуле. Мы получим, что ненулевыми являются только символы Γ122 = −gg 0 иdg1 0Γ212 = Γ221 = 2gg , причем g 0 = du.Запишем уравнения геодезических:2ü = −Γ122 v̇ 2 = gg 0 v̇ 2v̈ = −Γ212 u̇v̇ − Γ221 v̇ u̇ = − g1 g 0 u̇v̇ = − g1 ġ v̇.Нам удобнее считать косинус, а не синус. Поэтому введем угол ϕ между направлением геодезической и√параллелью.
Координаты направляющего вектора параллели (0, 1), а его длина g, координаты направляющеговектора геодезической – (u̇, v̇), длина равна 1, т.к. параметр геодезической нормальный. Поэтому√g v̇cos ϕ = √ = g v̇gи√(ρ cos ϕ)˙ = ( g cos ϕ)˙ = (g v̇)˙ = ġ v̇ + gv̈,что равно нулю, благодаря второму уравнению геодезических.¥Контрольный вопрос. Верно ли обратное?3.
Полугеодезические координаты. Геодезические как кратчайшие.Мы теперь должны выяснить второе основное свойство геодезических — показать, что это кратчайшиекривые. Иными словами, эти кривые минимизируют функционал длины, т.е. служат точками минимума дляфункции длины на бесконечномерном пространстве кривых, соединяющих две данные точки. Естественныйподход к доказательству этого факта лежит через вариационное исчисление — уравнение геодезической служитуравнением Эйлера - Лагранжа для функционала длины (это уравнение в функциональном анализе являетсяаналогом условия равенства нулю производной в стационарных точках для обычных функций).
Однако врамках дифференциальной геометрии предпочитают обходиться своими средствами, не прибегая к бесконечномерному анализу. Так мы и поступим. Но для этого нам нужно ввести и рассмотреть специальный типкоординат.Как мы знаем, система координат, в которой средний коэффициент g12 = F первой квадратичной формыобращается в нуль, имеет важное свойство: координатные линии ортогональны.Мы встречались также с так называемыми конформными координатами, в которых, кроме этого условия,выполнено также условие g11 = g22 (E = G).
В этом случае углы между кривыми на поверхности те же, чтои у их прообраза в координатной плоскости.Теперь мы введем еще один интересный пример ортогональной системы координат, в которой g11 = 1.Определение. Полугеодезической называется система координат, в которой метрика имеет видds2 = du2 + g22 (u, v) dv 2 .Частным случаем является метрика, которая была введена для поверхностей вращения. В ней g22 не зависитот v.Задача.
Подсчитать символы Кристоффеля в полугеодезической системе.[Решение. (Обозначим элемент g22 = G здесь через b2 (т.е. b = |rv ||), чтобы не путать его с обычнымобозначением самой матрицы первой формы. ) Заметим, во-первых, что обратная матрица к матрице метрики10будет (). Из частных производных от gij , через которые выражаются кристоффели, остаются только0 b−2∂b2,∂xi2где xi есть u или v. В выражении для Γ1ij оба индекса могут быть только 2 и остается только − ∂b. Таким∂u2. В выражении для Γ2ij отпадает случай i = j = 1.
Если оба индекса равны 2, то мыобразом, Γ122 = − 12 ∂b∂u221 ∂b2ln bln bполучаем Γ22 = 2b2 ∂v = ∂∂v. Если индексы различны, то Γ212 = Γ221 = 2b12 ∂b= ∂∂u.]∂u2Задача. Показать, что гауссова кривизна поверхности в полугеодезической системе равна K = − ∂∂ vb2 /b.(См.п.4, гл.13.)Легко получается следующее свойство полугеодезической системы координат:Утверждение 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
