Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Второе направление ортогональнопервому, т.е. меридиану, и это есть направление параллели. Но сама параллель, как правило, не являетсянормальным сечением. Однако, ее центр кривизны лежит на оси вращения, которая ортогональна ее нормали,и, значит, там же лежит и центр кривизны нормального сечения, проектирующийся, по теореме Менье, в центрэтой окружности. Значит один радиус кривизны есть отрезок нормали до оси вращения.Вторым радиусом кривизны служит радиус кривизны меридиана.Задача. Рассмотрим тор, полученный вращением вокруг оси Oz окружности, лежащей в плоскости Oxz сцентром в точке x = 2 оси Ox и радиусом 1.
Найти кривизну тора в точке указанной окружности с радиусом,наклоненным под углом ϕ к оси Oz.Задача. Найдите главные кривизны поверхности, полученной вращением трактрисы вокруг оси Ox (в левойполуплоскости). Она называется псевдосферой. Используя геометрические свойства этой кривой, покажите, чтогауссова кривизна псевдосферы постоянна и отрицательна (она локально изометрична плоскости Лобачевского.)6. Сферическое отображение и полная кривизна как его якобиан.Геометрический смысл полной кривизны удобно выясняется с помощью простой геометрической операции– сферического отображения – впервые введенной еще Гауссом.Cферическое отображение.
Если нормальный орт n(u, v), взятый в каждой точке поверхности M 2 , отложитьот начала координат в R 3 , то конец орта будет лежать на единичной сфере S 2 и возникнет отображениеn : M 2 → S 2 . Оно и называется сферическим отображением поверхности.О классе гладкости сферического отображения. Для поверхности, локально заданной уравнением F (x1 , x2 , x3 ) =0 с непрерывно дифференцируемой функцией F , координаты нормального вектора аналитически выражаютсячерез производные F .
Поэтому класс гладкости отображения n на единицу меньше, чем класс гладкостиповерхности (такой же, как класс гладкости производных F ). Чтобы обеспечить непрерывную дифференцируемостьсферического отображения, нам поэтому нужно потребовать по крайней мере непрерывность вторых производныхF , т.е. принадлежность поверхности к классу гладкости C 2 , что будем считать выполненным.Полная кривизна как якобиан.Для понимания этой темы поможет, возможно, аналогия с определением кривизны кривой. Напомним, чтокривизна кривой это скорость поворота касательной (или нормали) по отношению к натуральному параметру,т.е.
предел отношения угла между касательными ортами в близких точках к длине дуги между ними. Наплоскости удобно было перенести орты в начало, представляя угол между ними дугой единичной окружностимежду их концами.Теперь мы поступаем аналогичным образом, но вместо длины нам нужно будет говорить о площади и определе отношения площадей.Теорема. Полная кривизна есть якобиан сферического отображения.40Доказательство.
Случай неособой точки. Рассмотрим сначала основной случай неособой для отображенияn точки P ∈ M 2 , в которой якобиан этого отображения не нуль. В таком случае по теореме об обратномотображении мы можем считать, что в некоторой окрестности нашей точки n является диффеоморфизмом.(Теорему об обратном отображении мы применяем к локальному представителю сферического отображения,т.е. к двум плоским областям, на которых заданы локальные карты в окрестности точки P и в окрестностиn(P ) в сфере.)Локальные карты. В таком случае, для параметризации окрестности точки n(P ) в сфере, мы можемвоспользоваться теми же параметрами u, v, которые составляют локальную координатную систему поверхностив окрестности P .
Иначе говоря, мы возьмем одну и ту же координатную область для поверхности и для сферыи примем, что координаты u, v точек из окрестности P и их образов совпадают. Мы можем записать нашеотображение в векторной форме в виде n(r(u, v)) = n(u, v) (орт нормали в точке поверхности совпадает срадиус-вектором соответствующей точки сферы).Напоминание о геометрическом смысле якобиана.
Вспомним теперь (см. п...), что геометрический смыслякобиана отображения в точке P для областей одной размерности состоит в том, что он равен пределуотношения площади (объема) образа малой области, содержащей P , к площади (объему) самой этой области.Якобиан сферического отображения. Поэтому мы должны подсчитать площади соответствующих другдругу областей на сфере и на поверхности, взять их отношение и перейти к пределу при сжимании области кточке.Если область U поверхности параметризована плоской областью W , то ее площадь выражается, как мызнаем, интеграломZZS=|[ru , rv ]| du dv,Wраспространенным по W .
На сфере радиус-вектором служит нормальный орт к поверхности M 2 в соответствующейточке. Поэтому на сфере площадь образа нашей окрестности выражается интеграломZZS0 =|[nu , nv ]| du dv,Wраспространенным по той же области параметров.Векторные произведения в обоих интегралах коллинеарны, т.к. они идут по нормалям к поверхности исфере в соответствующих точках, а эти нормали параллельны по определению отображения n.
Подсчитаемкоэффициент пропорциональности.Напомним тождество Лагранжа (см. п.12 глава 11 А):Скалярное произведение двух векторных произведений равно определителю, составленному из скалярныхпроизведений векторов первой пары на векторы второй пары.Умножим скалярно на [ru , rv ] условие [nu , nv ] = λ[ru , rv ] и заменим, согласно упомянутому тождеству,скалярные произведения векторных произведений детерминантами:¶¶µµ(ru , ru ) (ru , rv )(nu , ru ) (nu , rv ).= λ detdet(rv , ru ) (rv , rv )(nv , ru ) (nv , rv )Но все скалярные произведения, входящие в это выражение, оказываются коэффициентами наших квадратичныхформ, так что слева стоит детерминант ∆ = LN − M 2 , а справа – λg = λ(EG − F 2 ).
В результате мы получаем,что коэффициент пропорциональности λ это как раз полная кривизна K.Внося его в выражение площади области на сфере, получим, что отношение площадей наших областейравно:RR|K||[ru , rv ]| du dv.SПереходя к пределу, мы можем по теореме о среднем вынести в числителе кривизну за знак интеграла иполучить, что это отношение стремится к значению кривизны K в точке P .Случай особой точки. Рассмотрим теперь сферическое отображение в окрестности особой точки, в которойматрица Якоби вырождена и, значит, векторы nu и nv пропорциональны, а их векторное произведение равнонулю. Тогда равен нулю, согласно предыдущему, и определитель второй квадратичной формы, т.е.
и K. Значит,и в этом случае K совпадает с (нулевым) якобианом.¥7. Особые точки сферического отображенияПосмотрим, что из себя представляет поверхность, для которой все точки сферического отображенияособые. Сначала коснемся одного общего результата.Лемма. Если ранг матрицы Якоби равен 1, то образ – кривая.41Задача. Если во всех точках области матрица Якоби гладкого оображения f : M m → N n вырождена, норанг k ее постоянен, то образом служит подмногообразие меньшей размерности (какой?!) (см. Фихтенгольц,т.1, п.216, изд.7, 1969 г., Зорич, т.1..., и также часть 1, глава 1, задача в п.10).[Указание. Считая, что N = Rn , покажите, что проекция образа f (M ) на некоторую плоскость в Rnявляется графиком в окрестности образа f (x0 ) данной точки x0 ∈ M .
Полезно использовать компактностьконечномерной сферы.]Мы докажем это утверждение только в нашем случае отображения поверхности в поверхность.Переходя к локальным координатам, допустим, что отображение записано в виде системы двух функций x =∂ff (u, v), y = g(u, v), причем ∂u6= 0. По теореме о неявной функции мы можем написать u = ϕ(x, v).
Принимая∂f ∂ϕза переменные x, v, продифференцируем тождество f (ϕ(x, v), v) − x = 0 по v. Мы получим: ∂u+ ∂f= 0.∂v∂vНо, по условию, производные f пропорциональны производным g и поэтому это же тождество сохраняет силу,если в нем f заменить на g. Значит, полная производная по v функции, полученной из g подстановкой ϕ(x, v)вместо u, равна нулю, т.е. эта функция на самом деле не зависит от v. Это значит, что y есть функция от x.Следовательно, образ нашего отображения есть кривая.¥Вернемся к особым точкам сферического отображения.Случай 1. Ранг матрицы Якоби равен единице. В случае сферического отображения, мы получаем следующийрезультат.
Если в целой области поверхности полная кривизна равна нулю, то якобиан тождественный нуль, иесли ранг матрицы Якоби не нуль, то он равен единице. Тогда образ сферического отображения есть кривая(и отображение на эту кривую невырождено). Прообраз каждой точки этой кривой есть кривая, в точкахкоторой нормаль к поверхности постоянна и, значит, касательная плоскость в них одна и та же (в силу теоремыЛагранжа о конечном приращении). Вводя параметр на кривой-образе, мы получаем в прообразе однопараметрическое семейство кривых (прообразов точек), вдоль каждой из которых поверхность касается некоторойплоскости. Это значит, что наша поверхность (в данной области) является огибающей однопараметрическогосемейства плоскостей, т.е. является развертывающейся поверхностью.
Итак,Теорема. Если полная кривизна поверхности равна нулю во всех точках, то это развертывающаясяповерхность.¥Обратное было доказано выше, см. гл. 11 Б, п.3. и гл.12 А п.9.Случай 2. Ранг матрицы Якоби равен нулю. Если ранг матрицы Якоби равен нулю в целой области, т.е. всечастные производные равны нулю, то координаты образа постоянны, значит, образ есть одна точка и, значит, вовсех точках поверхности касательные плоскости параллельны, т.е. совпадают.
Значит, наша область – плоская.¥Интегральная кривизна. Заметим в заключение этого раздела, что площадь сферического образа даннойобласти оказывается поверхностным интегралом от кривизны, распространенным по этой области. Этот интегралназывается интегральной кривизной области. Это понятие было введено Гауссом под названием curvatura integra, что иногда переводилось как “полная кривизна”. Кривизну K, называемую теперь полной или гауссовой,сам Гаусс называл “мерой кривизны”. С интегральной кривизной мы еще встретимся дальше в конце следующейглавы.Пусть в R 3 дана поверхность M , для которой n : M → S 2 оказывается диффеоморфизмом (тогда Mвыпукла).
Используя этот диффеоморфизм для установления соответствия между локальными координатами,мы получим, что интегральная кривизна всей поверхности равна площади сферы, т.е. равна 4π. Для произвольнойкомпактной поверхности мы укажем, чему равна ее интегральная кривизна, ниже. Важно то, что она независит, как мы увидим, от расположения поверхности в пространстве и даже от метрики, и определяетсяее топологическим строением.
В частности, для любого гладкого (класса C 2 ) вложения сферы она равна 4π.42Глава 13. Деривационные уравнения и теорема ГауссаМы приступаем к центральной теме — знаменитой теореме Гаусса, сформулировавшего и доказавшего ее восновополагающем мемуаре “Общие исследования о кривых поверхностях” (латинское название “Disquisitionesgenerales circa supercifies curvas”) в 1828 году. Гаусс подчеркнул важность этой теоремы словами “блистательнаятеорема” – theorema egregium. Этот латинский эпитет закрепился как ее название.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
