Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поэтому дальше можно считать, что уже данные поверхности таковы, что они имеют одну общуюточку, в которой нормальные реперы совпадают.Мы можем также считать, что область W , на которой заданы обе карты, является внутренностью круга.Рассмотрим семейство ее радиусов и для каждого радиуса ρ покажем, что его два образа в двух картахсовпадают в R 3 . Ясно, что в результате мы получим совпадение окрестностей U i .Если принять за параметр t на радиусе ρ расстояние точки на радиусе от начала, то так же, как вслучае уравнений Френе, на выражения для производных векторов репера можно смотреть как на системуобыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра t.
Эти системы (т.е. их коэффициенты)совпадают, т.к. они выражаются через первую и вторую квадаратичные формы.Поскольку начальные данные для обеих локальных карт совпадают, поле реперов вдоль обоих образоврадиуса ϕi (ρ) будет, по теореме единственности, тем же самым. Но совпадение двух первых пар векторов(касательных) этих реперов (т.е. h1 = h01 , h2 = h02 ) означает, в частности, совпадение в каждой точке радиусадифференциала отображения, задающего локальную карту.
Тогда будут совпадать и образы ортов, идущихпо направлению радиуса, т.е. векторы-скорости обоих кривых, служащих образами радиуса. Но посколькуначальные точки этих кривых совпадают, кривые тогда будут совпадать во всех своих соответствующих точках,что получается интегрированием векторной производной.¥Замечание о теореме Петерсона–Кодацци. Дополнением к теореме Гаусса служит теорема Петерсона –Майнарди – Кодацци. Вместе эти теоремы дают условия на две формы с тем, чтобы нашлась в R 3 поверхность,в некоторой локальной системе координат которой эти формы оказались бы ее первой и второй квадратичнымиформами.Эти теоремы дают условия интегрируемости дифференциальных уравнений в частных производных, которыевыражают производные нормального репера в нем самом.
(В отличие от уравнений Френе для кривой, которыеявляются системой обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируемость уравнений репера поверхности– системы уравнений в частных производных – возможна не всегда, а только при выполнении определенныхусловий, связанных с теоремой Фробениуса.)Эти условия вытекают из симметрии частных производных. Именно, если записать деривационные уравненияв матричной формеrr1∂ 1 r2= Aj r 2 ,∂xjnnгде Aj — две матрицы коэффициентов, то условие равенства смешанных производныхrr∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 r2r2=∂x1 ∂x2∂x2 ∂x1nnсведется к матричному дифференциальному уравнению∂∂A2 −A1 = A1 A2 − A2 A1 ,∂x1∂x2которое и выражает условия Петерсона - Мейнарда - Кодацци.
(Немного подробнее см. Тайманов «Лекции подиф.геом.»)Приведем также соответствующие формулы в ортогональной системе координат.Lv − M uMv − N u==AA2) M+B2 (ln A)v NB uB− (ln A )v M − (ln B)u N.(ln A)v L + (ln2−B(ln B)u LA250Глава 14. Параллельный перенос, геодезические и второе доказательствотеоремы Гаусса1. Параллельный перенос.Теперь вернемся к деривационным уравнениям. Попробуем понять первое уравнение ∇1 r1 = Γ111 r1 + Γ211 r2с точки зрения плоской области W ⊂ R 2 параметров u, v, т.е. перенося происходящее на поверхности Mв R 3 на координатную плоскость R 2 с помощью диффеоморфизма ϕ : W → U ⊂ M локальной карты иего дифференциала dϕ. Мы знаем, что мы можем изучать метрику поверхности M и связанную с метрикойвнутреннюю геометрию поверхности, оставаясь в плоской координатной области, но перенеся в ее точки скалярноепроизведение, определяющее метрику поверхности.
Теперь мы хотим рассмотреть векторное дифференцированиена поверхности в трехмерном пространстве с точки зрения координатной двумерной плоскости.Вектор r1 , который мы дифференцируем, является базисным касательным вектором к поверхности в R 3 ,направленным по координатной линии. Вектор e1 на плоскости, который переводится дифференциалом в r1 ,базисный в координатной плоскости, он направлен по координатной оси v = 0 и имеет длину 1. Если мыпродифференцируем этот вектор обычным образом “с точки зрения плоскости”, то получим нулевой вектор.Несогласованность дифференцирований в R 3 и в плоскости координат. Между тем по нашей формулепроизводная, вообще говоря, не нуль и зависит от метрики.
Это естественно, т.к. дифференциал карты меняетсяот точки к точке. Но введение дифференцирования векторных полей на поверхности позволяет определитьпараллельность векторов на поверхности, но не “в целом”, т.е. сразу в любой паре точек, а “инфинизимально”,т.е. при малых смещениях в каждом направлении. Именно: смещение векторов будет параллельным, есликовариантная производная такого смещения равна нулю. Таким образом, параллельное смещение e1 вдольсвоей оси в координатной плоскости не будет параллельным “с точки зрения поверхности”.
Это выглядиточевидным, если поверхность изогнута в пространстве, но нас интересует сейчас “внутренняя точка зрения”поверхности.Ковариантную производную мы определили вдоль кривых, поэтому и параллельное смещение векторовмы также можем определить вдоль кривых. Такое смещение мы назовем параллельным переносом. Но приэтом, как правило, окажется, что для двух кривых, соединяющих две точки перенос вектора вдоль каждойиз них приведет к различным результатам. Поэтому мы не сможем сказать для двух векторов, касательныхв двух различных точках поверхности параллельны они или нет.
Мы сможем только сказать, будут ли ониполучаться параллельным переносом один из другого вдоль данной кривой, соединяющей эти точки. Введемосновное определение.Определение. Пусть в некоторой окрестности кривой γ на поверхности M 2 ⊂ R2 задано гладкое векторноеполе v(x). Мы скажем, что это поле параллельно вдоль кривой γ, если ковариантная производная ∇γ̇ v равнанулю в каждой точке кривой. Если какие-то две точки кривой x и y выделены, то мы можем сказать также,что поле v(x), рассматриваемое только в точках кривой, является параллельным перенесением вектора v(x) ввектор v(y) вдоль кривой γ.Замечание. Мы потребовали, чтобы поле было определено в окрестности кривой, а не только в точкахсамой кривой, чтобы иметь возможность говорить о гладкости поля.
Как мы сейчас увидим, параллельностьполя вдоль кривой зависит только от значений его в точках самой кривой: при любом продолжении его наокрестность оно останется параллельным, если оно параллельно при каком-либо одном продолжении.Уравнение параллельности. По определению, поле v(x) параллельно, если ∇γ̇ v = 0. Распишем это уравнениев координатах:µ¶∂ vid viik ij(∇γ̇ v) =+vΓẋ=+ v k Γikj ẋj = 0.(§)kj∂ xjdtЭто линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестныхфункций. Мы записали его в двух формах. Заметим, что хотя в первой форме левая часть требует, чтобынаше векторное поле было определено в окрестности кривой γ (чтобы иметь возможность брать частныепризводные), во второй форме нам нужно только знать производные координат векторов по параметру t,т.е наше решение не будет зависеть от того, какие значения имеют кристоффели вне точек кривой.В силу теоремы существования и единственности мы получаем такоеУтверждение 1.
Для заданного в некоторой точке гладкой кривой γ вектора v0 символы Кристоффеля,определенные в точках γ, однозначно определяют параллельный перенос вектора вдоль этой кривой.¥В силу того, что система уравнений параллельного переноса линейна, мы получаем, что параллельныйперенос определяет линейные изоморфизмы касательного пространства в исходной точке x0 = x(t0 ) на касательныеплоскости во всех остальных точках кривой.
Более того, так как дифференцирование ∇ удовлетворяет правилуЛейбница, мы получаем:Утверждение 2. Параллельный перенос сохраняет скалярное произведение.Доказательство. Достаточно показать, чтоd (v, u)dt= 0. Ноd (v, u)= (∇t v, u) + (v, ∇t v) = 0.dt51¥Наконец, в силу того, что коэффициентами уравнения служат кристоффели, которые выражаются черезкоэффициенты первой квадратичной формы и их производные, мы получаем, что это уравнение принадлежитвнутренней геометрии поверхности.
Иными словами,Утверждение 3. При изометрическом отображении одной поверхности на другую параллельный переносвекторов переходит в параллельный перенос их образов.¥Важный пример. Параллельный перенос на развертывающейся поверхности можно получить, развернувее на плоскость и взяв там обычный параллеьный перенос на плоскости.Контрольный вопрос. Рассмотрим круглый конус с углом разворота (угол между осью и образующей) α.Рассмотрим вектор, который в некоторой точке образующей отличной от вершины направлен по ней. На какойугол повернется этот вектор после параллельного переноса по окружности, плоскость которой ортогональнаоси?Заметьте, что при параллельном переносе вектора на плоскости по любой кривой он, очевидно, долженвернуться в исходное положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
