Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В полугеодезической системе координат (u, v) длины дуг координатных линий v = constмежду любой парой координатных линий u = u1 и u = u2 > u1 все равны u2 − u1 .54Доказательство. Действительно, на координатной линии v = const мы имеем dv = 0 и ds = du. Инымисловами, u является натуральным параметром на каждой кривой v = const.¥Возьмем какую-либо кривую u = const = u0 в качестве начальной и заменим переменные: (u, v) 7→ (u −u0 , v).
Очевидно, мы не изменим при этом вид метрики и координатные линии, а точки на начальной линиибудут иметь первую координату u = 0. В таком случае для любой точки (u, v) в области нашей координатнойсистемы первая координата будет выражать длину дуги координатной линии v = const от этой точки доначальной кривой.Второе свойство полугеодезических координат состоит в том, что дуги кривых v = const имеют следующеесвойство минимальности. Грубо говоря, длина дуги такой кривой меньше длины любой другой кривой, соединяющейее концы. Однако, тут имеется небольшая тонкость, которую мы проясним позже, из-за которой нам приходитсяввести дополнительное требование на малость такой дуги.Утверждение 2.
Пусть имеется область U на поверхности, в которой введены полугеодезические координаты(u, v). Пусть λ – отрезок кривой v = const = v0 , длина которого меньше расстояния от λ до границы U .(Имеется в виду расстояние в римановом многообразии, как оно было определено в п.5 главы 11А.)Тогда длина λ меньше длины любой другой дуги, соединяющей ее концы.Доказательство. Пусть µ дуга, соединяющая концы p и q дуги λ. Если µ выходит за пределы U , то еедлина больше длины λ.
Пусть она целиком лежит в U . Тогда ее длина, согласно нашему условию на видметрики естьsµ ¶2Z qdv1 + g22du.dupRqЯсно, что поскольку g22 > 0, это выражение не меньше, чем p du, т.е. длина λ. При этом равенство возможно,dvесли и только если du= 0, т.е. v = const.¥Теперь мы объясним, почему система координат с таким свойством называется полугеодезической. Дело втом, что кривые v = const на самом деле являются геодезическими:Утверждение 3. В полугеодезической системе координат с метрикой ds2 = du2 + g22 dv 2 координатныекривые v = const являются геодезическими.Доказательство.
Мы видели, что параметр u является натуральным на кривых v = const. Поэтому орткасательной к координатной кривой v = const является также ее вектором скорости τ (u) с координатами (1, 0).iНам надо показать, что эти кривые удовлетворяют уравнению геодезической ddτu + τ k Γikj τ j = 0.Выше (в решении задачи) мы подсчитали символы Кристоффеля в полугеодезической системе и убедились,что отличные от нуля символы имеют хотя бы один нижний индекс 2.
Таким образом левая часть уравненияравна нулю: первое слагаемое – поскольку координаты τ постоянны, а остальные слагаемые, т.к. ненулевыекристоффели умножаются на нулевую координату τ .¥Замечание. Пример большого круга на сфере показывает необходимость введения условия того типа,которое мы приняли в утверждении 2. Если для точки на этом круге взять маленькую окрестность, то востальной части сферы можно ввести карту, в которой дуга круга не будет иметь минимальную длину средикривых, которые соединяют ее концы и лежат в дополнении к выбранной малой окрестности.Итак, полугеодезическая система координат определена однопараметрическим семейством геодезических,второе семейство координатных кривых определено как семейство ортогональных кривых к первому. Обратно,такая пара семейств кривых определяет полугеодезическую систему координат, если на геодезических в качествекоординатного параметра выбрать натуральный параметр.
На самом деле для второго семейства достаточнопотребовать, чтобы только одна его кривая была ортогональна семейству геодезических. Тогда это будет вернои для остальных:Утверждение 4. Пусть в данной системе локальных координат (u, v) семейство кривых v = constсостоит из геодезических, причем натуральным параметром для них служит u. Пусть также координатнаякривая u = 0 ортогональна геодезическому семейству. В таком случае это — полугеодезическая системакоординат.Доказательство.
Ясно, что g11 = 1, поскольку параметр u натуральный и, значит, вектор скорости вдолькоординатных кривых v = const является ортом. Нужно показать, что g12 = 0, т.е., что все кривые u = constортогональны геодезическому семейству. Из условия, что кривая u = 0 ортогональна геодезическому семейству,следует, что в точках этой кривой g12 = 0.12Т.к. g11 постоянно, непосредственно видно, что Γ111 = g 12 ∂g.∂uПо условию, линии v = const геодезические, т.е. ∇τ τ = 0.
По определению кристоффелей Γ111 есть первая12координата этого вектора. Таким образом, g 12 ∂g= 0.∂uНо g 12 = gg12 , где g – детерминант матрицы первой формы. Значит, либо g12 = 0 (что и требуется), либо g12постоянно. Однако в точках начальной кривой g12 = 0 и утверждение доказано.¥Построение полугеодезической системы координат.
Мы показали, что координатные кривые полугеодезическойсистемы образуют два семейства, одно из которых состоит из геодезических, причем их натуральный параметр55является координатой, а другое состоит из кривых ортогональных кривым первого семейства. И обратно, еслидля данной системы координат одно семейство координатных кривых состоит из геодезических, натуральныйпараметр которых служит координатой, причем хотя бы одна кривая второго семейства ортогональна кривымпервого, то тогда все кривые второго семейства будут ортогональны кривым первого, а система координатбудет полугеодезической.Отсюда видно, как построить полугеодезическую систему координат в окрестности данной точки A ∈M 2 . Нужно провести через эту точку дугу λ регулярной кривой, и взять на ней произвольный (регулярный)параметр v.
Затем через каждую точку λ нужно провести геодезическую γ в направлении ортогональном λ. Накаждой построенной геодезической γv , отвечающей какому-либо значению v, возьмем натуральный параметр uв качестве координаты, считая, что в точке пересечения γv с λ он равен нулю.
Тогда пары (u, v) будут служитьрегулярными координатами в малой окрестности A (т.к. в точках λ кривые ортогональны), причем кривыеu = const будут ортогональны построенному семейству геодезических во всех своих точках и наша системакоординат будет полугеодезической, т.е. первая квадратичная форма будет иметь требуемый вид.Геодезические как кратчайшие. Теперь мы можем обосновать второе основое свойство геодезических.
Любуюгеодезическую γ, проходящую через точку A, мы можем включить в координатное семейство полугеодезическойсистемы координат. Нужно только в описанном только что построении начать с регулярной кривой, ортогональнойγ в точке A. Отсюда и из утверждения 2 следует:Утверждение 5. Для некоторой окрестности A дуга геодезической, соединяющая A с любой другой точкойB этой окрестности, имеет длину меньшую, чем длина любой другой дуги, соединяющей A и B.¥Мы однако еще не доказали, что точку A можно соединить с любой точкой из некоторой ее окрестностигеодезической дугой.
Для этого нам нужно рассмотреть еще одну конструкцию.4. Экспоненциальное отображение.Мы знаем, что в каждом направлении через данную точку может быть проведена ровно одна геодезическая,натуральный параметр которой имеет в данной точке значение нуль.Придадим этому утверждению более формальный и более полный характер. Нам дана поверхность M 2 сримановой метрикой (gij ) : ds2 = g11 du2 + 2 g12 du dv + g22 dv 2 .Утверждение 1.
Рассмотрим касательную плоскость τA M 2 в точке A поверхности M 2 . Для каждогоорта e в τA M 2 обозначим через γe геодезическую, проходящую через A так, что в точке A натуральныйпараметр есть 0 и вектор скорости в натуральной параметризации есть e. Отобразим прямую te ∈ τA наγe , сопоставив точке x = te этой прямой точку y ∈ γe с натуральным параметром t.Мы получим диффеоморфное отображение exp: U → V ⊂ M 2 некоторой окрестности U точки A в τA M 2на окрестность V этой точки в M 2 .Доказательство. Теорема о гладкой зависимости решения обыкновенного дифференциального уравненияот начальных данных говорит в нашем случае, что мы имеем гладкое отображение прямого произведениятрех окрестностей — окрестности точки A в поверхности M 2 , окрестности A в касательной плоскости τA M 2 иокрестности нуля в числовой прямой — в окрестность точки A в M 2 .
Напомним, что касательное расслоениеτ M 2 само является многообразием, и координаты в касательной плоскости τA служат также координатамив касательных плоскостях близких точек. Таким образом, тройке (x, v, t) ставится в соответствие точка,лежащая на геодезической, выходящей из точки x с вектором скорости v и имеющая на геодезической нормальныйпараметр t. Это отображение определено и гладко, если указанные окрестности выбраны достаточно малыми.Это отображение называется экспоненциальным (оно в случае групп Ли совпадает с отображением, рассматривавшимсяв п.8 гл.8Б часть 2, отсюда и название).Сейчас мы рассматриваем ограничение этого отображения на касательную плоскость τA M 2 для малогоt 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
