Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Будем переносить какой-либо векторпо границе сферического многоугольника параллельно. Начнем с точки на каком-либо ребре и отправимся понему в положительную сторону.Пусть начальный угол этого вектора с ребром есть ϕ0 (считая этим углом угол поворота вектора противчасовой стрелки до положительного направления ребра; он меньше π, если вектор смотрит наружу и большеπ, если смотрит внутрь многоугольника). Т.к.
ребро – геодезическая, этот угол не изменится до вершины. Ввершине продолжим обход по следующему ребру. Угол с ним, очевидно, возрастет (с учетом знака) на внешнийугол при этой вершине. Продолжая обход, мы будем увеличивать угол между переносимым вектором и ребрамив каждой вершине на внешний угол при этой вершине. Значит, при возвращении в исходную вершину угол вkPϕi внешних углов.целом возрастет на суммуi=1Рассмотрим сначала выпуклый многоугольник, лежащий в полусфере. В этом случае все ϕi положительны,а их сумма не превышает 2π, в силу полученной выше формулы для площади.61Для простоты пусть начальный угол ϕ0 нулевой, т.е.
вектор направлен по ребру в положительную сторону,и угол между финальным положением вектора и положительным направлением начального ребра равен (вkPэтом порядке) ψ ≥ 0. Тогда уголϕi + ψ кратен 2π. Но он не может быть нулевым, т.к. все внешние углыi=1положительны, и не может быть 4π или больше, т.к. оба слагаемых меньше 2π. Значит, он равен 2π.Следовательно, величина поворота вектора после его параллельного обноса по границе многоугольникаравнаkX2π −ϕi .i=1Легко проверить, что эта формула сохраняется для суммы двух многоугольников, пересекающихся пообщей ломаной, если она верна для каждого из них (общая часть границы проходится в противоположныхнаправлениях и потому обнос по ней сокращается при суммировании, кроме двух концевых точек, в которыхдобавляется по π).
Поэтому мы можем применять ее к любым многоугольникам, не обязательно выпуклым ине обязательно помещающимся в полусфере.Итак, величина поворота равна дефекту многоугольника и, значит, его площади! (Если сфера имеет радиусR, то поворот равен площади, деленной на R2 .)Случай произвольного контура. Наконец, рассмотрим контур, ограничивающий область, имеющую площадь.Например, кусочно гладкий контур. Нетрудно показать (мы это оставим как упражнения), что аппроксимацияего многоугольниками, составленными из малых дуг больших кругов, мало изменит площадь и две такиеаппроксимации дадут мало отличающиеся углы поворота. Поэтому в пределе мы получим равенство этогоугла площади и для такого контура.Соответствие параллельных переносов на поверхности и на ее сферическом образе.
Пусть теперь намдана малая область на поверхности, которая диффеоморфно отображается на свой сферический образ. Как ираньше, мы используем общую параметризацию этих областей, так что соответствующие точки имеют те жесамые координаты u, v. Возьмем в области на поверхности контур L и пусть L0 – его образ в области на сфере.Утверждение. Пусть дан параллельный обнос вектора вокруг контура L. Сдвигая параллельно векторыв соответствующие точки на сфере, мы получим параллельный обнос также и на сфере.Доказательство. Это видно из совпадения этапов операции: параллельный сдвиг в R 3 , проекция накасательную плоскость, деление на параметр, переход к пределу, интегрирование. ¥Окончание второго доказательства теоремы Гаусса. На сфере параллельный обнос контура, как мывидели, дает в качестве дефекта площадь охваченной области. Эта площадь является, как доказано в п.п.6и 7 предыдушей главы, интегральной кривизной соответствующего прообраза на поверхности.Вспомним, что полная кривизна может быть определена как предел отношения площади сферическогообраза области к площади самой области.
В силу доказанного, мы можем сказать, что она является пределомотношения дефекта при параллельном обносе контура к площади охваченной области. Но обе эти величины –и числитель и знаменатель – выражаются через метрику. ¥8. Соотношение между интегральной кривизной области и параллельным обносом ее границы.Третье доказательство теоремы ГауссаМы знаем, что интегральная кривизна области, т.е. интеграл от кривизны по этой области, совпадаетс площадью ее сферического образа. На сфере площадь области равна повороту вектора при параллельномобносе ее границы, а параллельный перенос вектора вдоль кривой на поверхности преводится дифференциаломсферического отображения в параллельный перенос по образу кривой при сферическом отображении. Такимобразом интегральная кривизна выражается через параллельный перенос на поверхности и принадлежит еевнутренней геометрии.Полезно исключить здесь обращение к сферическому отображению, чтобы установить соотношение междуинтегральной кривизной области и параллельным обносом по ее границе для двумерного многообразия сримановой метрикой, не обязательно индуцированной вложением в R 3 .
Для этого воспользуемся формулойГрина.В локальных координатах, которые, как обычно, возьмем ортогональными, поворот при параллельномпереносе вектора относительно системы координат выражается, как мы видели, интегралом от формы pdu+qdv(интеграл первого рода). Для полного обхода границы γ данной (односвязной) области получаем по формулеГринаHRRpdu + qdv = (pv − qu ) du dv =URR (pv −qγu )RR=AB du dv =K AB du dv.ABUUЭто интеграл первого рода на поверхности (AB есть якобиан карты и AB du dv служит дифференциаломмеры на поверхности, индуцированной стандартной метрикой в R 3 ).62Итак, посредством положительно определенной квадратичной формы на поверхности сначала определяетсяпараллельный перенос векторов вдоль каждой кривой, затем с помощью теоремы Грина интегральная кривизнакаждой области и, наконец (через предельный переход), полная кривизна в каждой точке, без обращения квнешнему пространству – второй квадратичной форме, сферическому отображению и проч.Таким образом, получаемУтверждение 1.
Кривизна риманового двумерного многообразия определена независимо от объемлющегопространства.Мы видим, что в трехмерном пространстве это определение совпадает со старым, благодаря полученномувыражению кривизны через производные коэффициентов метрики.Мы можем и непосредственно вывести из данного нового определения кривизны, что в случае поверхностив R3 она совпадает с кривизной, определенной через отношение детерминантов двух квадратичных форм вслучае поверхности в R3 . Тем самым будет получено третье доказательство теоремы Гаусса.Утверждение 2.
Если параллельный перенос на двумерном римановом многообразии M не зависит отпути переноса, то гауссова кривизна равна тождественно нулю.Доказательство. Действительно, по приведенной формуле интегральная кривизна по малой области охваченнойзамкнутым контуром равна нулю. После перехода к пределу мы также получим нуль. ¥.....9. Теорема Гаусса - Бонне63ДОБАВЛЕНИЕ 1.
ТЕОРЕМА О РАНГЕ.Теорема. Если отображение имеет в области постоянный ранг матрицы Якоби, то образ отображения вокрестности каждой точки является гладким подмногообразием.Фиксируем точку x0 и с помощью линейной замены координат добъемся, чтобы матрица Якоби в точкеx0 имела стандартный вид: единичная r × r-матрица в левом верхнем углу и нулевые элементы вне этойматрицы.
Этим определено разложение в прямые произведения координатных плоскостей прообраза R n =R r1 ⊕ R n−r и образа R N = R r2 ⊕ R N −r . В этих координатах отображение f записывается в форме f (p, q) =(ϕ(p, q), ψ(p, q)), p ∈ R r , q ∈ R n−r , (p, q) 7→ (u, v), где u = ϕ(p, q) ∈ R r2 , v = ψ(p, q) ∈ R N −r причемx0 = (p0 , q0 ), f (x0 ) = y0 = (u0 , v0 ).³ ´В малой окрестности x0 отображение ϕ(p, q) = u имеет ранг r, причем невырожден минор∂u∂p.
Значит,при каждом q близком к q0 отображение ϕ(p, q) является диффеоморфизмом малой окрестности Pq точкиp0 , q в плоскости R r1 × q на окрестность U точки u0 в R r2 . Окрестность U можно взять одну и ту же для всех qиз малой окрестности Q точки q0 , т.к. диффеоморфизм ϕ(p, q) непрерывно зависит от q. Мы можем считать,что этот диффеоморфизм отображает Pq на U для каждого q. Говоря иначе, имеется оокрестность W точки(p0 , q0 ), пересечение которой с каждой плоскостью q = const для q из некоторой окрестности V есть областьPq этой плоскости, которая диффеоморфно отображается на U .
Это, очевидно, означает, что W = V × U ,что позволяет ввести в W криволинейные координаты (ū, q̄) преобразованием ū = ϕ(p, q), q̄ = q с ненулевымякобианом. В этой системе координат отображение f (ū, q̄) = f (ϕq (p), q) = (ϕ(ϕ−1q (u), q) ψ(p, q)) = (u, v) будетиметь матрицу Якоби, в которой левый верхний угол есть единичная r × r-матрица, а элементы справа от этойматрицы нулевые.В таком случае будут нулевыми и производные v по q, иначе ранг матрицы Якоби отображения f был быбольше r.
Но это означает, что отображение f в системе (ū, q̄) не зависит от q. (Строго говоря, использованиетеоремы Лагранжа здесь требует, чтобы окрестность была выпуклой, что без труда можно получить.) Вчастности, координата v образа однозначно определяется координатой u, т.е. образ отображения f локальнопредставляется графиком отображения области U в координатную плоскость RN −r и, следовательно, являетсягладким подмногообразием.¥Контрольный вопрос. Привести с помощью замены координат в образе отображение к каноническомулинейному виду (как указано вначале) в целой окрестности точки A.ДОБАВЛЕНИЕ 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ И СКОБКА ЛИ3.
Векторные поля и обыкновенные дифференциальные уравненияЛокальная запись векторного поля как функции от точки многообразия вместе с представлением векторакак вектора скорости параметризации гладкой кривой приводит к инвариантной (не зависящей от координат)форме представления обыкновенных дифференциальных уравнений.Пусть в окрестности точки x0 на многообразии взяты локальные координаты xi и задано векторное полеX(x). Во взятых координатах точки и в соответствующих координатах в касательной плоскости мы получаемзапись этого поля как системы из k функций: X i = f i (xj ).Поскольку в каждой точке x касательный вектор X(x) данного поля является вектор-скоростью классапараметризованных кривых, естественно поставить вопрос об отыскании параметризованных кривых, длякоторых в каждой их точке вектор скорости совпадает с вектором поля в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
