Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 30
Текст из файла (страница 30)
g(cv) = ±cg(v). Но изменивнепрерывно c в 1 или соотв. в −1, мы убедимся, что g(cv) лежит с той же стороны от O, что и cg(v), и, значит,g(cv) = cg(v).70В третьих, g отображает двумерные плоскости в двумерные плоскости. В самом деле, мы можем воспользоватьсятеоремой Пифагора и ее обратной.
Любая изометрия по этой теореме переводит прямоугольные треугольники впрямоугольные и поэтому сохраняет ортогональность векторов. Значит, (n−1)-мерная плоскость, перпендикулярнаяк данному вектору, перейдет в (n − 1)-мерную плоскость перпендикулярную к его образу. По индукции всеплоскости переходят в плоскости той же размерности, в том числе двумерные.Наконец, образ любого параллелограмма при нашей изометрии есть параллелограмм. В самом деле, образпараллелограмма оказывается плоским четырехугольником, у которого к тому же противоположные стороныравновелики.Но с помощью параллелограммов определяется сложение векторов. В результате изометрия, сохраняющаяначало, сохраняет линейные операции над векторами и, значит, является линейным изоморфизмом, сохраняющимскалярный квадрат, т.е.
это – элемент ортогональной группы.¥Замечание. Немного проще другое доказательство, основанное на рассмотрении образа множества P изn+1 точек – концов Ai векторов канонического репера вместе с началом O. Имеется в точности одна аффиннаяизометрия, которая совпадает с g во всех этих точках и, с другой стороны, только тождественная изометрияоставляет все эти точки неподвижными (т.к. каждая точка однозначно определена своими расстояниями довсех точек Ai и O).
См. аналогичное рассуждение для псевдоевклидова случая в четвертой части, глава 16 Б.Предложение Б. Любая изометрия аффинного пространства R n со стандартной метрикой однозначнопредставляется в виде композиции to, где o – изометрия с неподвижным началом (т.е. элемент группы O(n, R )),а t – параллельный сдвиг на вектор t.В частности, изометрии являются аффинными преобразованиями, что доказывает, что G(n, R ) есть группавсех изометрий.Доказательство. Пусть h – изометрия и h(O) = A.
Пусть t – параллельный сдвиг, переводящий O в A.Тогда g 0 = t−1 h – изометрия, переводящая O в O, т.е., согласно предыдущему, элемент группы O(n, R ). Значит,h = tg 0 – требуемое представление h, где o = g 0 . Докажем единственность.Если t0 o0 = to, то o0 = t0−1 to, но композиция параллельных сдвигов есть параллельный сдвиг и, если оноставляет на месте начало, то это – тождество. Значит, t0 = t и тогда o0 = o.¥Предложение В. Параллельные сдвиги составляют нормальный делитель Tn в группе G(n, R ).Доказательство. Действие элемента g ∈ O(n, R ) на радиус-вектор x точки x ∈ R n запишем как g(x), адействие на x параллельного сдвига t на вектор t как x + t.
Тогда действие композиции g −1 tg на x запишетсякак g −1 (g(x) + t) = g −1 g(x) + g −1 (t) = x + g −1 (t). Значит, эта композиция есть параллельный сдвиг на векторg −1 (t), т.е. Tn действительно есть нормальный делитель в G(n, R ).¥Следствие. Фактор-группа G(n, R ) по Tn есть O(n, R ).¥nАлгебраическое строение группы изометрий R . Группа O(n, R ) – подгруппа в G(n, R ), и G(n, R ) какмножество есть прямое произведение O(n, R ) и Tn . Но неверно, что G(n, R ) является прямым произведениемгрупп Tn × O(n, R ), т.к.
вторая группа не является нормальным делителем. Именно, t−1 gt, где t ∈ Tn , аg ∈ O(n, R ), есть изометрия с неподвижной точкой t−1 (O) и она смещает точку O, значит, не лежит в O(n, R )(если только g не оставляет неподвижной прямую, соединяющую O и t−1 (O)).Все же, имеется алгебраическое описание строения группы G(n, R ) как полупрямого произведения Tn иO(n, R ).
Это значит, что оно определено этими группами и действием второй из них на первой.Под действием ψ группы B на группе A понимается задание для каждого элемента b ∈ B автоморфизмаψb группы A, т.е. ψb (a1 a2 ) = ψb (a1 )ψb (a2 ), причем ψb1 b2 (a) = ψb1 (ψb2 (a)) и единичному элементу отвечаеттождественый автоморфзм ψ1 = 1. (Иными словами ψb есть антигомоморфизм второй группы в группуавтоморфизмов первого, “анти” означает обращение порядка.)Если задано действие ψ группы B на группе A, то групповое умножение в полупрямом произведении A иB с этим действием определяется правилом:(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 ψb1 (a2 ), b1 b2 ).Упражнение. Проверьте, что этим правилом задается групповое умножение, т.е., что эта операция ассоциативна,имеет единицу (1, 1) и обратный элемент для (a, b) есть (b−1 (a−1 ), b−1 ).Получившаяся группа называется полупрямым произведением групп A и B.
Очевидно, группы A и Bявляются ее подгруппами. Операция в этой группе обозначается с помощью знака h.Проверьте, что A оказывается нормальным делителем в полупрямом произведении, а B, вообще говоря,нет. Значок h наклонен в сторону нормального делителя, т.е. A: A h B.Мы можем сказать, что фактор-группа группы A h B по A есть B, но нельзя сказать, вообще говоря, чтофактор-группа по B есть A, т.к.
B не обязана быть нормальным делителем.Задача. Будет ли обязательно коммутативным полупрямое произведение двух коммутативных групп? Двухконечных циклических групп? Двух бесконечных циклических групп? В каком случае полупрямое произведениедвух циклических групп оказывается коммутативным?71В нашем случае G(n, R ) = Tn h O(n, R ).Предложение C. В группе G(n, R ) структура полупрямого произведения определяется действием O(n, R )на Tn , состоящим во взятии внутреннего автоморфизма: ψt (g) = t−1 gt.Доказательство. Мы уже видели, что внутренний автоморфизм в G(n, R ) с помощью элемента из O(n, R )переводит Tn в себя, т.е. мы имеем действие ψ подгруппы O(n, R ) ⊂ G(n, R ) на нормальном делителе Tn .Значит, определено полупрямое произведение этих подгрупп, которое как множество совпадает с G(n, R ) (оносовпадает с их прямым произведением).
Мы должны проверить, что умножение в полученном полупрямомпроизведении совпадает с операцией композиции в G(n, R ).Будем записывать элементы G(n, R ) в форме to, и пусть v – вектор в R n :(t1 o1 )((t2 o2 )(v)) = ((t1 o1 )(t2 o2 ))(v) = (t1 o1 t2 (o−11 o1 )o2 )(v) == [t1 (o1 t2 o−11 )](o1 o2 )(v) = ([t1 ψo1 (t2 )](o1 o2 ))(v).Квадратная скобка есть параллельный сдвиг на вектор t1 + o1 (t2 ), т.е. композиция двух элементов G(n, R )записана в требуемой форме операции в полупрямом произведении.¥Примеры и упражнения. G(1, R ) состоит из двух компонент: одна есть T1 и содержит сдвиги, а другаясостоит из отражений прямой во всех ее точках.G(2, R ) состоит из компоненты, включающей параллельные переносы и повороты вокруг неподвижныхточек, и второй компоненты, состоящей из отражений со сдвигами в инвариантных прямых.
В частности,композиция поворота и параллельного сдвига есть поворот. Композиция поворота и отражения есть отражение,если неподвижная точка лежит на неподвижной прямой, и есть отражение со сдвигом в общем случае.Контрольный вопрос. Как определить неподвижную точку в первом случае? Как найти инвариантнуюпрямую во втором случае?G(3, R ) содержит в компоненте единицы параллельные переносы, вращения вокруг неподвижной прямойи винтовые движения (вращения со сдвигом вдоль инвариантной прямой). Во второй компоненте находятсяотражения в точках и в плоскостях и отражения в плоскостях со сдвигом вдоль прямой, лежащей в плоскостиотражения.Ортонормированные реперы.
“Формула Пифагора” для определения расстояния в Rn выделяет такжеспециальный класс реперов (ортонормированных), в которых расстояние вычисляется по этой же формулесм.п.1 и гл.10 п.2. Иными словами мы можем взять ортонормированный репер в любой точке и вычислитьрасстояние с тем же результатом по той же формуле. (Хотя координаты точек другие.) Точно так же для двухвекторов с общим началом мы можем вычислить их скалярное произведение по одной и той же формуле влюбом ортонормированном репереnX(u, v) =ui v i = uT v.i=1Скалярное произведение в произвольном репере.
Если мы перейдем к произвольному реперу, полученномуиз стандартного линейным преобразованием с матрицей C, то формула для вычисления расстояния или длиныусложнится. Мы получим квадратичную форму с невырожденной матрицей G = (gij ), с помощью которойрасстояние вычисляется по формулеnXgij (y i − xi )(y j − xj ) = (y − x)T G(y − x).i,j=1Чтобы выяснить, как связаны между собой матрицы C и G, запишем скалярное произведение в матричнойформе.
Для этого заметим, что рассматривая векторы в произвольном репере пространства R n как матрицыстолбцы, мы можем записать в ортонормированном репере скалярное произведение векторов u и v в видематричного произведения uT v, где u, v – матрицы-столбцы, отвечающие векторам u, v. (Индекс T означаеттранспонирование.)Замена координат. Посмотрим, как изменится эта запись при переходе к другому реперу при произвольномлинейном преобразовании. Если u = Cu0 и v = Cv 0 , где u, v – матрицы-столбцы, отвечающие векторам u, vв старом ортонормированном базисе, а u0 , v 0 – в произвольном новом, то мы получим матричную записьскалярного произведения в новом базисе в виде:u0T C T Cv 0 .Значит, G = C T C.Это значит, что в каждой линейной системе координат матрица скалярного произведения есть C T C, где C– любая невырожденная матрица, выражающая через координаты вектора в данной системе его координаты вкаком-то ортонормированном базисе.
(Если взять другой ортонормированный базис, то матрица C изменится,а матрица C T C нет.)72Если мы перейдем от данной линейной системы координат к другой системе с матрицей перехода B, томатрица скалярного произведения изменится по правилу B T GB. В ортонормированных реперах G = E имы имеем B T EB = B T B = E, т.е.
матрица B перехода от одной ортонормированной системы к другойортогональна, как и должно быть (E – единичная матрица).73.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
