Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если координатные линии данной локальной координатной системыортогональны в каждой точке, то второй коэффициент F = (ru , rv ) первой квадратичной формы равен нулю,и метрика имеет видds2 = A(u, v)2 du2 + B(u, v)2 dv 2(коэффициенты положительны, они выражают квадраты длин координатных векторов в касательной плоскостии поэтому их можно представить квадратами.)Итак, допустим, что в данной локальной карте ϕ : W → U ⊂ M 2 ⊂ R 3 (W ⊂ R2 ) метрика имеет указанныйвид.
Обозначим, как обычно, радиус-вектор точки поверхности через r(u, v). Тогда: |ru | = A, |rv | = B.Введем специальные ортонормированные реперы в точках окрестности U . Орты h1 , h2 реперов возьмемкасательными к координатным кривым. Тогда h1 = rAu и h2 = rBv . Третий орт n возьмем по нормали кповерхности так, чтобы тройка h1 , h2 , n оказалась положительной.Построенные специальные реперы назовем нормальными. (Их можно было бы назвать реперами Дарбу поаналогии с реперами Френе для кривых, поскольку впервые систематически такое поле реперов рассматривалДарбу (а неявно еще Эйлер).47Замечание. Репер h1 , h2 не является координатным для данной системы кординат, т.е. эти векторы неявляются векторами скорости координатных кривых в их естественной параметризации. Более того, вообщеговоря, он не является координатным ни для какой системы координат, поскольку скобка Ли этих векторов необязательно нулевая.Задача.
Скобка Ли этих векторов нулевая, только если A и B постоянны вдоль соответствующих (каких?)координатных кривых. (Посчитайте координаты скобки Ли. Что можно сказать о метрике в этом случае?)Деривационные уравнения. Напишем теперь деривационные уравнения в этой координатной системе. Приперемещении точки по гладкой кривой на поверхности возникает кривая в пространстве реперов и постольку,поскольку мы построили ортонормированные реперы, их производные будут выражаться кососимметрическимиматрицами, если производные выражать в самом репере в данной точке.
Поэтому можно сразу написать:h1u =0+ p h2 + b1 n h2u = −p h1 +0+ b2 n nu = −b1 h1 − b2 h2 +0 h1v =0+qh+cn21 h2v = −q h1 +0+ c2 nnv = −c1 h1 − c2 h2 +0Выражение коэффициентов. Наша первая задача, как и ранее, — выразить коэффициенты этих уравненийчерез коэффициенты двух квадратичных форм и их производные.Очевидно, p = (h1u , h2 ) = −(h2u , h1 ) и аналогично q = (h1v , h2 ) = −(h2v , h1 ).Но h2u = ( rBv )u =В результате p =ruv+ ( B1 )u rv и, значит, −(h2u , h1 )B− ABv и аналогично q = BAu .2,ru ),ru )v)vv= − (ruv= − (ru2AB= − (A= − 2AA= − ABv .AB2AB2ABДалее: b1 = (h1u , n) и b2 = (h2u , n) и, также, c1 = (h1v , n) и c2 = (h2v , n).1uuvuАналогично предыдущему: h1u = ( rAu )u = rA+ (A)u ru , h2u = rB+ ( B1 )u rv , откуда b1 =MNтакже c1 = A , c2 = B .
Итак,h1uh2uL= − ABv h2 + An= ABv h1 + MnBh1vh2v= BAu h2 += − BAu h1 +L,Ab2 =MnANn.BMBи(∗)Разумеется, этот результат можно получить и с помощью кристоффелей. Например:µ¶µ¶1∂A2Au1∂A2AAvvruu = Γuuu ru + Γvuu rv ; Γuuu ==,Γ=−=− 2 .uu2A2∂uA2B 2∂vB³r ´uAu=ruuAu ruΓu ru + Γvuu rvAu r u−= uu−=2AAAA2Первая скобка равна нулю.
Мы видим, что p =Γvuu BAµΓuuuAu− 2AA¶ru +Γvuu B rv.A B= − ABv , как и должно быть, согласно предыдущему.Доказательство теоремы Гаусса в ортогональном репере. Наша задача, как мы помним, — выразитьдетерминант ∆ = LN − M 2 через коэффициенты E, F, G и их производные.
Из полученных выражений (∗)видно, что детерминант ∆ выделится, если взять, так сказать, скалярный детерминант (h1u , h2v ) − (h1v , h2u )∆этих векторов. Эта разность равняется AB. Вспомним, что гауссова кривизна K равняется отношению двух∆определителей K = g . В нашем случае определитель g = EG − F 2 равен A2 B 2 . Таким образом, получаем∆.KAB = ABНо, возвращаясь к выражению для ∆, имеем(h1u , h2v )(h2u , h1v )Отсюда KAB =∆AB= (h1u , h2 )v − (h1uv , h2 ) = pv − (h1uv , h2 )= (h1v , h2 )u − (h1uv , h2 ) = qu − (h1uv , h2 ).= (h1u , h2v ) − (h2u , h1v ) =K=∂p∂v−∂q∂uи, окончательно,(pv − qu=−ABЭто доказывает теорему Гаусса.Bu)A u+ ( ABv )v.AB(∗∗)¥Упражнение. Как выражается коэффициент q через символы Кристоффеля в данной ортогональнойкарте и символы Кристоффеля через p и q?Другие формулы для кривизны.
Хотя смысл теоремы Гаусса понятен, приведенное доказательство не слишкомудовлетворительно (хотя и достаточное для ответа на экзамене). Мы ниже дадим другие доказательства,которые геометрически более содержательны. Приведем еще пару формул, выражающих кривизну в терминахпервой квадратичной формы.48Формула, которую вывел Гаусс в своем мемуаре (g = EG − F 2 ):4g 2 K =E(Ev Gv − 2Fu Gu + G2 )++F (Eu Gv − Ev Gu − 2Ev Fv + 4Fu Fv − 2Fu Gu )++G(Eu Gu − 2Eu Fv + Ev2 ) − 2g(Evv − 2Fuv + Guu ).Иногда приводят формулу Фробениуса:¯¯¯E E u E v ¯µ¶¯1∂ Fv − G u1 ¯¯∂ Fu − E vK = − 2 ¯F Fu Fv ¯¯ + √+√√4g ¯2 g ∂ug∂vgG G u G v .¯(иррациональность уничтожается после проведения всех операций).5. Метрика и ее кривизна.Мы знаем, что если можно одновременно параметризовать две поверхности так, что в точках, отвечающихтой же самой координатной паре параметров, соответствующие коэффициенты первой квадратичной формыбудут совпадать, то длины соответствующих дуг в этих картах будут равными и также будут совпадать углы,плошади и все, что принадлежит внутренней геометрии этих поверхностей.
К ней принадлежит, согласнотеореме Гаусса, также полная кривизна K.Это значит, в частности, что мы не сможем так “расправить” кусок сферы, не допуская растяжений исжатий, чтобы он стал плоским. Ибо полная кривизна плоскости во всех точках нуль, а у сферы радиуса R вовсех точках 1/R2 .С другой стороны развертывающиеся поверхности можно изометрически отобразить на плоскость и этоеще раз доказывает, что кривизна таких поверхностей нулевая.Терминология.
Отображение поверхности на поверхность с сохранением длин кривых, т.е. с совпадениемпервых квадратичных форм в согласованных параметризациях, сам Гаусс называл развертыванием поверхностина поверхность, считая это обобщением развертывания на плоскость поверхностей, которые сейчас и называютразвертывающимися. Теперь такие отображения называют изгибанием или наложением или просто изометрией.Теорема Гаусса дает необходимое условие возможности изгибания для двух поверхностей, основанное наопределении кривизны через метрику. В обратную сторону вопрос более сложный. На всякой поверхностиможно ввести локальные изотермические координаты, в которых первая квадратичная форма будет иметь видds2 = C(u, v) (du2 + dv 2 ).
В этой метрике g = C 2 и кривизна, согласно выведенной нами формуле, оказываетсяравной√(ln C)uu + (ln C)vv1K=−= − √ ∆(ln g),2C2 gздесь ∆ – оператор Лапласа.Мы видим, что по функции кривизны функция g, задающая в изотермических координатах метрику,определяется как решение дифференциального уравнения в частных производных, т.е., неоднозначно, вообщеговоря.
Но, кроме того, требуется исследование, для каких решений возможны в трехмерном пространствеповерхности с соответствующей метрикой. Это значит, что определив по заданной функции кривизны метрику,мы должны выяснить, можно ли получившееся риманово многообразие вложить в трехмерное пространствотак, чтобы эта метрика индуцировалась стандартной метрикой в R3 .6.
Две квадратичные формы поверхности и ее геометрическая форма.Теперь снова обратимся к полученным выше производным векторов репера и поставим вопрос, аналогичныйтому, ответ на который был получен для формул Френе. В какой мере две квадратичные формы вместеопределяют форму поверхности в R 3 , т.е. ее расположение с точностью до движений?Однозначность задания поверхности двумя квадратичными формами. Оказывается ответ здесь такой же:определяют однозначно. Две поверхности, имеющие общие параметризации, для которых значения форм всоответствующих точках совпадают, переводятся друг в друга движением R 3 .
(Точнее говоря: отображение,переводящее каждую точку одной поверхности в точку с теми же параметрами другой, получается движениемпространства R 3 .)Взаимозависимость квадратичных форм. Однако, в то время как для кривой ее набор кривизн может бытьзадан произвольно, задание второй квадратичной формы подчинено некоторым условиям. Это показывает ужетеорема Гаусса: определитель второй формы определенным образом выражается через коэффициенты первойформы.Этим дело не ограничивается, имеются дополнительные ограничения, которые мы сформулируем позже.Сейчас докажем однозначность поверхности с заданными двумя формами.Теорема однозначности.
Пусть две поверхности M1 , M2 в R 3 имеют локальные параметризации ϕ1 :W → U1 и ϕ2 : W → U2 с общими параметрами (u,v). Допустим, что для каждой пары точек A1 (u, v) ∈49U1 и A2 (u, v) ∈ U2 , отвечающих одной паре (u, v), значения коэффициентов обеих форм совпадают. Тогдасуществует движение Q : R 3 → R 3 , при котором Q(ϕ1 (x)) = ϕ2 (x) для всех точек x ∈ W .Будем для простоты считать, что в каждой точке поверхности обе главные кривизны отличны от нуля и другот друга.
(Это исключит особые случаи, например, когда поверхность состоит из двух кусков, пересекающихсяпо прямой и касающихся в точках этой прямой плоскости, содержащей прямую — мы можем в этом случаезаменить один кусок его отражением в этой плоскости и оставить другой неподвижным.)Ясно, что движение Q определено однозначно касательным репером в любой точке поверхности. Поэтому,если имеются две пересекающиеся карты и для одной определено движение Q, то оно сохранится и при переходеко второй карте, если для нее также выполнены условия теоремы.Поэтому мы проведем рассуждение для одной пары соответствующих локальных карт.Доказательство теоремы. Для параметризаций наших поверхностей с общей областью определениявозьмем реперы Дарбу в точках, имеющих одинаковые координаты: h1 (u, v), h2 (u, v), n(u, v) для U1 и h01 (u, v),h02 (u, v), n0 (u, v) для U2 .Совместим реперы в одной паре соответствующих точек движением пространства, которое определено имиоднозначно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
