Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Ее касательные служат характеристикамиэтого семейства.Если область на поверхности состоит из гиперболических точек, то она имеет асимптотическую сеть,т.е. два семейства, каждое состоящее из асимптотических линий. Кривые из разных семейств пересекаютсяпод ненулевыми углами. Поэтому эти семейства можно принять за координатные. В этом случае втораяквадратичная форма принимает вид 2M du dv.Контрольный вопрос.
Асимптотическая кривая ортогональна в данной точке своему сферическомуобразу.9. Линии кривизныДва главных направления центральной невырожденной кривой 2-го порядка сопряжены. Это следует и изгеометрического определения сопряженности через диаметры, и также из канонического уравнения кривой.Линией кривизны называется кривая на поверхности, направление которой в каждой точке совпадает содним из главных направлений в этой точке (и, значит, сопряженное направление ортогонально).Таким образом, как в области эллиптических, так и в области гиперболических точек имеется сопряженнаясеть линий кривизны, образованная ортогональными семействами.В силу доказанного выше утверждения характеристики семейства касательных плоскостей поверхности вточках линии кривизны ортогональны кривой и, направлены по сопряженным главным направлениям в этихточках.35Если касательную плоскость поверхности в каждой точке линии кривизны повернуть на 90◦ вокруг касательнойк этой линии, возникнет семейство плоскостей, характеристики которого будут ортогональны прежним характеристиками в то же время будут лежать в нормальных плоскостях кривой.
Это значит, что эти характеристики будутобразовывать семейство нормалей к поверхности в точках кривой. Следовательно, нормали поверхности вточках линии кривизны образуют развертывающуюся поверхность.Пусть обратно, нормали к поверхности M в точках некоторой лежащей на ней кривой γ образуют развертывающуюсяповерхность S. Касательные к S плоскости содержат прямые касательные к γ. Повернем на 90◦ вокруг касательнойк кривой γ в некоторой точке, плоскость касающуюся S в этой точке вдоль нормали к M .
Получится однопараметрическоесемейство плоскостей, характеристики которого будут нормальными к γ и касательными к M . Плоскостиокажутся касательными к M , т.к. содержат в каждой точке γ касательную к γ и повернутую нормаль. Огибающаяэтого семейства будет развертывающейся поверхностью, касающейся M в точках γ.
Таким образом, направлениеортогональное касательному направлению кривой оказывается сопряженным с ним. Это значит, что направлениекривой в каждой ее точке является главным направлением.Итак, мы доказалиУтверждение. Кривая на поверхности является линией кривизны (т.е. ее направление в каждой точкеглавное) тогда и только тогда, когда нормали к поверхности в точках кривой образуют развертывающуюсяповерхность.(Эта характеристика линий кривизны иногда принимается за их определение.)Контрольные вопросы. Доказать, что все кривые на сфере являются линиями кривизны. Доказать, чтопараллели и меридианы поверхности вращения являются линиями кривизны.Доказать, что если кординатная сеть состоит из линий кривизны, то в обеих формах отсутствует среднийчлен.Задача (Теорема Иоахимсталя). Если две поверхности пересекаются по кривой, которая на одной изних является линией кривизны, то на другой она будет линией кривизны, если и только если угол пересеченияповерхностей постоянен.10.
Разворачивание кривой36Б. Пара форм и полная кривизна1. Пара квадратичных формФормы для поверхности в R n . Итак, в каждой точке поверхности мы имеем две квадратичные (илибилинейные) формы, одна из которых положительно определенная, т.е. имеем два поля форм.Заметим, что определения обеих форм сохраняют силу для поверхностей в любой размерности. Под поверхностьюмы понимаем тут подмногообразие коразмерности 1, т.е. локально задаваемое одним невырожденным уравнением.Вектор n — нормальный орт, т.е.
вектор единичной длины и ортогональный касательной плоскости: (rui , n) = 0,где ui — координаты в касательной плоскости.Действительно, для первой формы оно и было дано сразу в полной общности как метрика индуцированнаяна подмногообразии из стандартной (“пифагоровой”) метрики в R n . Вторая форма имеет инвариантное определение(r̈, n), которое также без изменения переносится в R n при любом n.Определение второй формы для поверхности в R n . Повторим еще раз это определение для любогоn. Нам нужно показать, что (r̈, n) есть квадратичная функция от касательного вектора a к поверхности M вданной точке P = r(0). Возьмем для этого произвольную гладкую параметризованную кривую r(t) с векторомскорости a(t), целиком лежащую в M .
В данной локальной карте с координатами ui обозначим координатыiвектора a = a(0) через ai = du| . Тогдаdt t=0µ¶¯¯¯¯∂r d2 ui ¯∂2r i j∂r d2 ui ¯d∂r dui ¯∂ 2 r dui duj ¯+=aa+r̈(0) ==¯¯¯ .¯dt ∂ui dt∂uj ∂ui dt dt t=0 ∂ui dt2 t=0∂uj ∂ui∂ui dt2 t=0t=0∂rПри скалярном умножении на вектор n второе слагаемое исчезнет, т.к. векторы ∂ui лежат в касательнойплоскости и ортогональны n. В то же время первое слагаемое действительно оказывается квадратичной функциейот координат a с коэффициентами (rui uj , n).Задача приведения пары форм.
Мы находимся в хорошо известной из высшей алгебры ситуации задачиодновременного приведения пары форм G, Q, одна из которых положительная, к каноническому виду. Намнужно найти подходящую систему координат в касательной плоскости, причем эта новая система должна бытьпо-прежнему индуцированной какой-либо локальной картой.Но любое линейное преобразование в касательной плоскости может быть получено некоторым преобразованиемлокальных координат в окрестности данной точки подмногообразия (нужно подвергнуть соответствующемулинейному преобразованию прообраз данной карты). Поэтому мы можем забыть пока о локальных координатахи говорить только о линейных преобразованиях самого касательного пространства.Квадратичные формы в любом базисе записываются с помощью симметрической матрицы. Допустим, чтов исходном базисе (в нашем случае это базис rui в касательной плоскости) положительная (первая) формаимеет матрицу G, а вторая – матрицу Q. Приведение этой пары проходит в два шага.
Вначале строитсяпреобразование, которое приводит положительную форму к сумме квадратов координат. При этом мы переходимк базису, который является ортонормированным для нашей положительной формы G.Если A – матрица перехода, то (обозначая штрихом переход к новым координатам) имеем: E = G0 =−1TAGA−1 (x0 = Ax), так что G = AT A, и Q0 = A−1T QA−1 – новая (по-прежнему симметричная) матрицавторой формы уже в ортонормированном базисе. (E – единичная матрица.)На втором шаге показывается, что существует ортогональное преобразование, которое приводит Q0 кдиагональному виду с вещественными числами λi по диагонали, а форму к виду λi (ai )2 .2.
Вычисление собственных чисел и векторов в данной координатной системе.Собственные числа пары форм. Коэффициенты λi в приведенном виде квадратичной формы являются поопределению собственными числами симметрической матрицы Q0 (поэтому они вещественны) и они называютсятакже собственными числами пары форм G, Q.Как известно, числа λi определяются как корни характеристического многочлена det(Q0 −λE).
Оказывается,эти же числа являются корнями и многочлена det(Q − λG), построенного для матриц форм в исходном базисе,ибо эти два многочлена различаются только скалярным ненулевым множителем.Действительно, пусть C = AB – матрица перехода к результирующему базису. (A – матрица перехода кортонормированному базису, а B – ортогональная матрица.) ТогдаQ0 − λE = C T QC − λC T GC = C T (Q − λG)Cи det(Q0 − λE) = 0 тогда и только тогда, когда det(Q − λG) = 0, т.к. det C 6= 0.Таким образом, мы можем определить собственные числа, оставаясь в данном базисе. После деления настарший коэффициент совпадут и сами многочлены det(Q0 − λE) и det(Q − λG).Собственные векторы. Собственному числу λi формы Q0 отвечает ее собственный вектор ξi , для которогоQ ξi = λi ξi и, значит, ξiT Q0 ξi = λi ξiT ξi = λi |ξi |2 .
(ξ есть матрица-столбец коэффициентов вектора ξ.)Но выражение ξiT Qξi есть инвариант, т.е. оно не меняется при заменах координат (ξ 0T Q0 ξ 0 = ξ T C T Q0 Cξ =Tξ Qξ), как и |ξi |. Поэтому можно дать такое037Определение. Вектор ξi есть собственный вектор пары G, Q, отвечающий собственному числу λi , еслиξiT Qξi есть умноженный на λi квадрат нормы вектора ξi в метрике G:ξiT Qξi = λi |ξi |2G (= λi ξiT Gξi ).Тогдаξ T Qξ − λξ T Gξ = ξ 0T Q0 ξ 0 − λξ 0T ξ 0 = ξ 0T (Q0 − λE)ξ 0 = 0,т.е. вектор ξ является собственным вектором пары G, Q, отвечающим собственному числу λ тогда и толькотогда, когда он является собственным вектором симметрической матрицы Q0 , отвечающим тому же собственномучислу, в обычной (“пифагоровой”) метрике.Нахождение собственных векторов.
Из высшей алгебры известно, что симметрическая матрица в евклидовомпространстве R n имеет ортонормированный базис из собственных векторов, определенный однозначно, еслиона имеет n различных собственных значений. (Если собственные значения имеют кратности, то однозначновыделяются отвечающие им собственные подпространства, размерности которых равны кратностям собственныхчисел, а в них ортонормированные базисы можно выбирать произвольно.) Собственные векторы являютсярешениями однородных уравнений (Q0 − λi E)ξ 0 = 0.Но (Q0 − λE)ξ 0 = (C −1T QC −1 − λC −1T GC −1 )Cξ = C −1T (Q − λG)ξ.Значит, вектор есть решение уравнения (Q0 − λi E)ξ 0 = 0 в результирующей ортонормированной системекоординат тогда и только тогда, когда он же является решением уравнения (Q − λG)ξ = 0 в исходной системекоординат.Итак,Утверждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
