Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Хотя, как мы видели, такая конечномерная система дает бесконечномного новых решений (по одному для каждого подсемейства, которое можно получить, связывая параметрыфункциональной зависимостью), этот прием не дает, вообще говоря, всех решений. Например, если перемножитьлевые части двух уравнений, то полный интеграл каждого из них будет полным интегралом нового уравнения,но ни один из них не даст всех решений.Один важный пример мы рассмотрим в следующем пункте.3.Развертывающаяся поверхность как огибающая семейства плоскостейОгибающие плоскостей – развертывающиеся поверхности.
Рассмотрим в качестве важного для дальнейшегопример, в котором поверхности семейства являются плоскостями в трехмерном пространстве. Огибающаятакого семейства называется развертывающейся поверхностью. Основание для такого названия выяснитсяпозже.26Итак, пусть нам дано семейство плоскостей, которое мы возьмем в соответствии с предыдущим однопараметрическим.Плоскости возьмем в нормальной форме:(N(c), r) + D(c) = 0.Дифференцируя по параметру, получаем второе уравнение:(Ṅ(c), r) + Ḋ(c) = 0.Уравнение огибающей получается при исключении параметра.
Если же фиксировать значение параметра,то получится уравнение характеристики, которая в нашем случае является прямой как пересечение двухплоскостей. Для ее существования, т.е. для того, чтобы плоскости пересекались по прямой, нужно, чтобыих нормальные векторы не были параллельны. (Если они параллельны для целого интервала параметра, топараллельны нормальные векторы огибающей, которая тогда является плоской областью, т.е. частью однойиз плоскостей семейства, и тогда эта плоскость огибает сама себя. Но поверхности семейства мы, конечно, несчитаем огибающими.)Итак, огибающая, если она существует, должна состоять из прямых, т.е. быть линейчатой поверхностью.Ребро возврата.
Попробуем теперь найти на поверхности кривую, которая является огибающей этогосемейства прямых, т.е. это семейство должно состоять из касательных прямых такой кривой. Если нам этоудастся, то мы получим удобное описание нашей поверхности как поверхности касательных, поверхности,образованной касательными к некоторой кривой. (Можно сказать, что сложность описания нашей поверхностиуменьшится на одну размерность.)Чтобы получить эту огибающую, нужно поступать так же, как выше для поверхностей в пространстве.Допустим, что такая огибающая кривая существует.
Продифференцируем в ее точке по ее касательномувектору уравнение Fc = 0, где c выражено через координаты точек кривой. Получится уравнение Fcxi dxi +Fcc dc = 0. Но в точке касания касательный вектор направлен по характеристике и обращает первую суммув этом равенстве в нуль, т.к. он касателен к поверхности Fc = 0 (содержащей эту характеристику). Это даеттретье уравнение Fcc = 0.
Решая систему трех уравнений (F = Fc = Fcc = 0), получаем кривую, лежащуюна огибаюшей, которая в общем случае может и не существовать. Если она существует, то называется ребромвозврата.Ребро возврата развертывающейся поверхности. В нашем случае при каждом значении параметра c точкана ребре возврата является точкой пересечения трех плоскостей, т.е.
решением системы трех линейных уравнений.Для однозначной разрешимости ее необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был ненулевым.Этот определитель равен смешанному произведению трех векторов ∆ = (N, Ṅ, N̈). Решение имеет параметромc, который гладкий, но не обязательно всюду регулярный.Дифференциальное уравнение развертывающихся поверхностей. Семейство всех плоскостей в R 3 трехпараметрическое:z = c1 x + c2 y + c3 .
Однопараметрические семейства можно образовать, принимая c1 за параметр c и беря вкачестве c2 и c3 функции от этого параметра: z = cx + u(c)y + v(c). Дифференцируя по x и y, получаем:zx = c, zy = u(c) иzy = u(zx ).– уравнение первого порядка, для которого наше однопараметрическое семейство служит полным интегралом.Это уравнение зависит от произвольной функции u. Мы можем устранить эту функцию, чтобы получитьодно уравнение, решениями которого являются все плоскости в R 3 , однако оно будет уже уравнением второгопорядка. Для этого продифференцируем еще раз по x и по y: zyy = u0 zxy , zxy = u0 zxx , откуда имеем, исключаяu0 :2zxy zyy − zxy= 0.Мы показали, что этому уравнению удовлетворяют все развертывающиеся поверхности (если они не имеютвертикальных направлений).
В п.7 гл.13 мы покажем обратное, что все решения этого уравнения являютсяразвертывающимися поверхностями. Наше рассуждение будет чисто геометрическим.4. Три типа развертывающихся поверхностейПоверхности касательных. Рассмотрим сначала случай, когда в данном интервале значений параметра∆ 6= 0 и параметр c регулярный на ребре возврата. Для каждого значения c в этом интервале имеется однаточка ребра возврата.
Касательная прямая в этой точке к ребру возврата есть характеристика – в нашем случаепересечение двух плоскостей (N, r) = −D и (Ṅ, r) = −Ḋ. Нормальные векторы этих плоскостей ортогональныхарактеристике и, значит, касательному вектору ṙ ребра возврата: (N, ṙ) = 0 и (Ṅ, ṙ) = 0.Из этих равенств вытекает (после дифференцирования первого и учета второго), что (N, r̈) = 0, т.е.плоскость семейства касается ребра возврата и содержит вектор второй производной по параметру. Значит,это – соприкасающаяся плоскость.Итак, ребро возврата в этом случае существует, его касательные совпадают с характеристиками данногосемейства, а соприкасающиеся плоскости – с самими плоскостями. Иными словами, в невырожденном (т.е.27общем) случае, когда ∆ 6= 0 и параметр c регулярен, наше семейство есть семейство соприкасающихся плоскостейнекоторой пространственной кривой, а огибающая поверхность образована касательными к этой кривой.Конические поверхности.
Второй случай также относится к случаю необращения в нуль определителя ∆.Это случай, когда при всех значениях параметра в некотором интервале, мы получаем одну и ту же точку впространстве. Тогда все характеристики проходят через эту точку и мы получаем коническую поверхность.Таким образом в этом случае поверхности семейства состоят из касательных плоскостей к некоторой коническойповерхности, касание проходит по образующим этой конической поверхности, ребро возврата вырождается ввершину конуса.Цилиндрические поверхности. Наконец, рассмотрим случай, когда определитель обращается в нуль в некотороминтервале значений параметра. Здесь N̈ линейно выражается при каждом значении параметра через N иṄ. Это – условие параллельности вектора N постоянной двумерной плоскости (гл.5, п.8), так что плоскостьсемейства остается перпендикулярной этой постоянной плоскости.Но той же плоскости будет перпендикулярна и плоскость с нормальным вектором Ṅ.
Значит, то же вернои для характеристик, которые являются пересечением этих двух плоскостей при каждом значении параметра.Отсюда следует, что огибающая состоит из прямых параллельных одной и той же прямой, т.е. являетсяцилиндрической поверхностью.Итак, имеется три типа развертывающихся поверхностей:1) поверхности касательных,2) конические и3) цилиндрические.Пересечением этих классов служит класс плоскостей.Для задания каждой такой поверхности достаточно указать кривую, а для цилиндрических или коническихеще дополнительно направление образующих или вершину соответственно.В следующем пункте мы покажем, обратно, что поверхности всех этих трех типов – развертывающиеся.Заметим, что любая поверхность является огибающей семейства плоскостей – ее касательных плоскостей.Однако это семейство, как правило, двупараметрическое, оно параметризовано координатами точек на поверхности.Развертывающиеся поверхности выделяются тем, что их касательные плоскости образуют однопараметричекоесемейство.
Дело в том, что касательная плоскость не меняется вдоль характеристики.Чтобы аккуратно доказать эти утверждения, запишем естественные параметризации поверхностей всехтрех типов.5. Параметризация и метрика развертывающихся поверхностейПараметрическое задание конической поверхности возьмем в форме r = ρ0 + vm(u), где ρ0 – радиус-векторвершины, а m(u) – направляющий орт образующей, данный в зависимости от параметра u, и v – параметрвдоль образующей. В каждой точке имеем ru = vmu , rv = m.
Нормальный вектор можно взять в формевекторного произведения [ru , rv ] = [mu , m]v. Направление этого вектора не зависит от v и поэтому одно ито же вдоль характеристики. Значит, касательная плоскость не меняется вдоль образующей, идущей черезданную точку, т.е. поверхность является огибающей однопараметрического семейства плоскостей.Метрика в этом случае имеет вид (поскольку (m, mu ) = 0),ds2 = (dr, dr) = |mu |2 v 2 du2 + dv 2 .Изменяя, если нужно, параметризацию направляющей кривой, добьемся, чтобы вектор |mu | оказалсяединичным. Тогда можно заметить (это важно!), что метрика конуса имеет ту же форму, что и метрикаплоскости в полярных координатах.
Мы можем сказать, что между плоскостью (с выкинутым началом) иконической поверхностью (без вершины) можно установить диффеоморфное (покоординатное) соответствие вмалом, при котором длины соответствующих кривых будут равны. Обратите внимание на то, что утверждениеверно только в малом. Окружности одного радиуса с центром в особой точке конуса и в начале координатплоскости имеют разную длину!Параметризация цилиндрических поверхностей. Она имеет вид r = ρ(u)+vm с постоянным направляющимортом m образующих.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
