Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Но векторные поля, с помощью которых они построены, вообще говоря, не будут координатными и естественные их параметры нельзя принять за координаты.Мы можем, однако, ввести локальную систему так, что кривые этого семейства станут (по крайней мерев окрестности данной точки) координатными кривыми. Именно, достаточно взять по кривой из каждогосемейства, проходяшие через данную точку A, с их фиксированными регулярными параметризациями и закоординаты каждой точки x в малой окрестности A взять значения параметров точек пересечения этих кривыхс кривыми из обоих семейств, проходящих через x.Контрольный вопрос. Проверьте, что таким образом введена регулярная локальная система координатв окрестности A.
Иначе говоря, существует диффеоморфизм окрестности A на область в R2 , при которомвведенные координаты точек окрестности становятся стандартными координатами образов этих точекВ построенной системе координат метрика (индуцированная вложением поверхности в R3 ) будет иметьвид ds2 = Edu2 + Gdv 2 . Но параметризации координатных кривых будут, очевидно, отличными от введенныхвначале. В частности, параметризация кривых не будет натуральной, если только какой-либо из коэффициентовне окажется тождественно единицей.Оказывается возможным построить ортогональную систему координат так, чтобы по крайней мере кривыеодного семейства получили натуральный параметр, так что один из коэффициентов E или G станет равнымединице.
Однако, это требует использования дополнительной техники и мы вернемся к этому вопросу позже вгл....Замечание. Убрать средний коэффициент можно былобы и непосредственно, указав требуемое преобразоp√2вание локальных координат. Запишем ds2 = ( Edx + F/2dy)2 + (G − F4 )dy 2 .
Нужно найти такую функцию√√Edx+ F/2dy√T (x), для которойоказалось бы полным дифференциалом dz (так называемый интегрирующийT2множитель). Тогда ds2 = T dz 2 + (G − F4 )dy 2 . Этот интегрирующий множитель не всегда находится явнымобразом, хотя наше геометрическое рассуждение показывает, что он существует.Упражнения.
Записать метрику плоскости в полярной системе координат. Записать метрику сферы сцентром в O в сферической системе координат.Записать метрику конуса, метрику цилиндра, метрику поверхности, образованной касательными к даннойкривой r(l) (l – натуральный параметр на кривой).2110. Изотермические метрики и поверхности вращенияИзотермические или конформные метрики. Рассмотрим метрики поверхностей, точнее, локальных карт, вкоторых не только F = 0, но и E = G, т.е.
форма отличается от евклидовой множителем (зависящим от точкиповерхности): ds2 = E(du2 + dv 2 ). Это так называемые изотермические метрики или метрики конформноэквивалентные плоской. В локальной карте с такой первой квадратичной формой измерение углов совпадаетс евклидовым.Это следует из выведенной выше формулы для косинуса угла.
В самом деле, нетрудно видеть, что в этойформуле числитель и знаменатель отличаются от евклидова случая на множитель E 2 , который сократится, итогда останется евклидова формула.Изотермические координаты существуют для любой метрики, но доказательство в общем случае требуетрешения достаточно сложного уравнения в частных производных (см. ...).
Частным случаем поверхностей, длякоторых нетрудно построить изотермическую систему координат, служат поверхности вращения.Репер {e, g}. Для параметризации такой поверхности и в других задачах полезно воспользоваться ортомe(ϕ) луча в плоскости, наклоненного под углом ϕ к оси абсцисс. Очевидно, e(ϕ) = cos ϕ i + sin ϕ j, где i, j, k– стандартный репер в R3 . Обозначим производную ė(ϕ) = − sin ϕi + cos ϕj через g(ϕ). Тогда ġ(ϕ) = −e(ϕ).Поверхность вращения.
Зададим в открытой полуплоскости Oxz, x > 0 кривую параметрически: x =η(t), z = ζ(t). Эта кривая будет называться образующей. Если орт по оси z обозначить k, то параметрическоезадание кривой, полученной из данной вращением ее плоскости вокруг оси Oz на угол ϕ, будет r = η(t)e(ϕ) +ζ(t)k. Совокупность этих кривых образует однопараметрическое семейство, их объединение есть поверхность,параметризованная парой параметров (t, ϕ).Легко проверяется, что все точки этой поверхности неособые (нужно учесть, что η > 0 и η̇ 2 + ζ̇ 2 > 0).Кривые, в которые при вращении полуплоскости последовательно переходит образующая кривая, называютсямеридианами, а окружности, которые описывает при этом каждая ее точка, называются параллелями поверхности.Они образуют координатные линии полученного параметрического задания. Первая квадратичная формаесть скалярный квадрат дифференциала радиус-вектора.
Она легко находится после дифференцирования ивозведения в квадратds2 = (dr, dr) == (η̇(t)e(ϕ)dt + η(t)gdϕ + ζ̇(t)kdt, η̇(t)e(ϕ)dt++η(t)gdϕ + ζ̇(t)kdt) = η 2 dϕ2 + (η̇ 2 + ζ̇ 2 )dt2 .Видно, что меридианы и параллели образуют ортогональную сеть (что, впрочем, ясно и непосредственно, т.к.плоскости, проходящие через ось вращения, являются нормальными плоскостями окружностей-параллелей).Если l – нормальный параметр на образующей кривой (обозначение s уже занято), то η 02 + ζ 02 = 1 и³ ´2).ds2 = η 2 dϕ2 + dl2 = η 2 (dϕ2 + dlR dlηОстается положить u = η(l), v = ϕ и форма приводится к изотермическому видуds2 = η 2 (u)(du2 + dv 2 ).11. Измерение площади поверхностиКроме длин и углов, метрика позволяет вычислять площади.
Мы не можем здесь заниматься подробнымнапоминанием, известным из анализа, теории измерения площади поверхности. Мы не будем говорить и омногомерном обобщении этой теории, т.е. об измерении объемов в многомерных многообразиях. В полномобъеме, так сказать, это будет проделано только во втором томе.Напоминание. Площадь поверхности не может быть разумно определена как предел площадей вписанныхмногогранников (по прямой аналогии с вписыванием ломаных в дугу кривой.) Известный пример (“сапогШварца”, см....) показывает, что предел может не существовать. Поэтому вместо вписывания многогранниковпоступают иначе.Схема определения площади поверхности.
Для локальной карты берут разбиение ее прообраза в координатнойплоскости сеткой малых квадратов и образ каждого квадрата заменяют параллелограмом с вершиной в образеодной из вершин и со сторонами – касательными векторами, образами при дифференциале сторон квадратикав этой вершине.Сумма площадей параллелограмов, вычисленная в трехмерном пространстве, и является аппроксимациейплощади поверхности, т.к. она имеет предел, не зависящий от локальных координат и от способа подразделенияпрообраза на квадраты. Это, конечно, только очень грубая картина и мы должны отослать в этом месте застрогим изложением к курсу математического анализа.Вычисление площади двойным интегралом. Касательные векторы, которые мы приняли за стороны параллелограмав какой-либо из вершин подразделения, это ru du и rv dv. Площадь построенного на них параллелограма есть|[ru , rv ]|dudv.
Видно, что сумма этих выражений по всем квадратам есть интегральная сумма для двойного22интеграла, взятого по области, в которой определендиффеоморфизм локальной карты. Итак, площадь областиRRповерхности, покрытой этой картой, есть S =|[ru , rv ]| dudv, илиZZ pS=EG − F 2 dudv.Определение площади двойным интегралом. Мы поступим здесь, как и в одномерном случае: примем этотинтеграл за определение площади поверхности. Нужно только доказать независимость результата от выборапараметризации.Доказательство независимости от карты. При переходе к другой координатной системе определительматрицы формы умножится на квадрат якобиана перехода, а корень из него – на модуль якобиана, которыйкак раз и должен появиться при переходе к новой системе координат по правилу замены переменной в двойноминтеграле:RR pS1 =E1 G1 −RRF12√du1 dv1 =RR √=EG − F 2 |J| du1 dv1 =EG − F 2 dudv = S.Здесь J – якобиан матрицы координатного перехода (производные переменных u1 , v1 по старым переменнымu, v).
¥Площадь большой области. Если нужно подсчитать площадь области, которая не покрывается однойлокальной картой, то нужно разбить ее конечным числом гладких дуг на конечное число кусков, каждыйиз которых покрыт одной картой и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, чтобы показать, чторезультат не будет зависеть от подразделения. Аккуратное проведение этого рассуждения здесь также будетопущено. Главный факт, на который нам нужно обратить внимание: измерение площади определяется здесьметрикой.Метрика и площадь. Хотя мы не останавливаемся на систематическом изложении теории измерения площадей на поверхности, сделаем все же уточняющее замечание о связи метрики и площади.
В намеченной намисхеме метрика была нужна для того, чтобы определить площадь параллелограмма. Именно, в области определения локальной карты мы имеем малый квадрат, стороны которого, исходящие из некоторой вершины, рассматриваем как векторы. Дифференциал диффеоморфизма карты переводит эти векторы в векторы в касательной плоскости, взятой в образе этой вершины. Эта пара векторов образует в касательной плоскости репер, инам нужно взять площадь параллелограмма, для которого векторы репера служат сторонами. В этом местемы замечаем, что так как параллелограмм лежит в трехмерном пространстве, в котором дана стандартнаяметрика, площадь этого параллелограмма определена.Вспомним теперь, что в линейном пространстве любой конечной размерности, если объем какого-то параллелепипеда принят за единичный, а его ориентированные стороны за единичный репер, то объем параллелепипеда, построенного на любом другом репере равен определителю перехода к нему от единичного репера.В таком случае мы имеем возможность определить площади ориентированных областей на поверхности (и вобщем случае объемы областей в многомерном многообразии), если нам задано ориентирующее реперное полеи мы принимаем в каждой точке заданный там репер за единичный.
Таким образом метрика нам нужна толькодля того, чтобы определить единичные объемы в касательных плоскостях, но в принципе мы можем задать ихи независимо от метрики. В обычных задачах, однако, связь объема и метрики оказывается существенной. Номожно встретиться и с необычной задачей, когда единичные объемы задаются из соображений не связанных сметрикой.Вычисление площади. Посмотрим теперь, как вычисляется площадь поверхности, по данному определению,при различных способах задания поверхности.√Параметрическое задание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
