Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 4
Текст из файла (страница 4)
С точностью до 4-ого порядка оно имеет видl = (n, r00 )s +1134(n, r000 )s2 + (n, r0000 )s + As .26Применяя формулы Френе, получаем (индекс 0 опускается):l = (n, τ )s +1k(n, ν)s2 + (n, −k2 τ + k0 ν + kκβ)s3 + As4 .26Общая плоскость. Плоскость, проходящая через точку M0 , вообще говоря, является трансверсальной ккривой — (n, τ ) 6= 0, т.е. не касается ее (не содержит касательную), и расстояние от точки M кривой, приближающейся^к M0 , до плоскости – величина того же порядка малости, что и длина дуги M M0 или расстояние до M0 .Касательные плоскости и соприкасающаяся плоскость. Плоскость касается кривой в точке M0 , если онасодержит касательную в этой точке, это равносильно тому, что (n, τ ) = 0 и, значит, расстояние от точки кривойдо такой плоскости имеет порядок малости по крайней мере второй.
Считая, что кривизна в точке M0 не нуль,мы получим, что этот порядок в точности равен два, если плоскость не соприкасающаяся, т.е. (n, ν) 6= 0,например, если это спрямляющая плоскость. Для соприкасающейся плоскости ((n, τ ) = 0 и (n, ν) = 0) порядокравен трем, если в M0 не обращается в нуль кривизна или ее производная кручение (или больше, если k = 0 иk0 = 0).12. Вид кривой в сопровождающем трехгранникеПересечение кривой с плоскостью. При малом s знак l совпадает со знаком первого ненулевого членаразложения.
Этот знак меняется при переходе через точку M0 , если степень s нечетная, и не меняется, еслиона четная. Изменение знака l означает, что точка переходит с одной стороны плоскости на другую.Из этого следует, что если плоскость трансверсальная или соприкасающаяся, то точка кривой переходит содной стороны плоскости на другую, если же это касательная, но не соприкасающаяся, то она остается с однойстороны. (Предполагается, что кривизна и кручение в точке ненулевые.)Проекции кривой на оси репера Френе. Если координаты в сопровождающем репере вдоль осей τ , ν, βобозначить соответственно x, y, z, то они будут совпадать с расстояниями до соответствующих координатныхплоскостей репера с учетом знака и первые члены разложения этих координат для точки M на кривой будут:x≈y≈z≈sk 2s2kκ 3s .6Проекции на координатные плоскости. Чтобы получить проекции кривой на одну из координатных плоскостейрепера, нужно отбросить дополнительную координату.
(Мы снова сохраняем только первые члены разложений.)Проекция на соприкасающуюся плоскость получается отбрасыванием координаты z, уравнение этой проекциив параметрической форме оказывается уравнением параболы: x = s, y = 12 ks2 . “Усы” этой параболы направленыв сторону, указываемую ортом нормали ν.Проекция на спрямляющую плоскость оказывается кубической параболой z = 61 kκx3 .
В зависимости отзнака кручения кривая переходит с отрицательной на положительную сторону соприкасающейся плоскости илинаоборот, где положительная сторона указана направлением бинормали. (При изменении направления обходаменяет направление и орт бинормали.)Проекция на нормальную плоскость имеет вид полукубической параболы: y = 21 ks2 , z = 16 kκs3 . Она имеетв точке M0 острие, причем ветви этой проекции лежат по разные стороны от бинормали.
(ср. п.9 гл.1).9Б. Кривизны и форма кривой1. Одинаковость фигур и группы преобразованийПредварительное определение. Две фигуры в пространстве считаются одинаковыми, если их можно перевестидруг в друга преобразованием пространства.Относительность одинаковости. Это определение еще не вполне строго и достаточно расплывчато, т.к.не говорится о том, какого рода должно быть преобразование. Математической формализацией этого понятия“одинаковости” является понятие группы преобразований. Это значит, что для того чтобы ставить вопрос ободинаковости фигур, нужно вначале задаться некоторой группой преобразований.
Иначе говоря, допустимыепреобразования должны быть обратимыми, и их композиции должны быть допустимыми преобразованиями.Таким образом, одинаковость – понятие относительное.Две окружности на плоскости, например, одинаковы, если за основную группу принять группу преобразованийподобия, но они будут различаться величиной, если за основную группу принять группу движений, сохраняющихрасстояния (т.е.
ортогональную группу, расширенную параллельными сдвигами). Если же в качестве основнойгруппы взять группу аффинных преобразований, то окружности станут одинаковыми с эллипсами и т.д.Топологическая одинаковость. Разумеется, нет необходимости ограничиваться группами линейных преобразований.Самой широкой является группа топологических преобразований (гомеоморфизмов). Но эта группа уже слишкомширока и одинаковость относительно этой группы может служить, конечно, предметом специальной (и оченьсодержательной) теории, но слабо отражает интуитивно ясное представление сохранения формы. (Впрочем, еюразличаются блин и бублик, велосипедная и футбольная камера, замкнутая и незамкнутая кривые, заузленнаяи незаузленная кривые и проч.)Группа движений.
Для нас основной группой будет группа (прямых) движений R n , т.е. группа порожденнаяповоротами из SO(n, R ) и параллельными переносами. Это максимальная группа линейных преобразованийR n , которые сохраняют расстояния и ориентацию R n .Одинаковость кривых. Мы еще вернемся к общему вопросу о линейных преобразованиях R n , а также огруппах преобразований гладких многообразий, сохраняющих расстояния. Сейчас нас интересует вопрос о том,в какой мере набор кривизн определяет форму кривой.
Мы докажем теорему, в которой утверждается, что вслучае, если все кривизны отличны от нуля, кривая определена однозначно с точностью до движения, т.е.,во-первых, существуют кривые с заданным набором кривизн и, во-вторых, две кривые с одинаковым набором“одинаковые”: переводятся друг в друга движением пространства (возможно, с зеркальным отражением).Сначала напомним некоторые факты из линейной алгебры и теории обыкновенных дифференциальныхуравнений.2. Напоминание о cкалярном произведенииПусть дано линейное пространство V с базисом ei , которое будем считать конечномерным.
Пусть такжев этом пространстве дано скалярное произведение, имеющее в этом базисе матрицу G : (v, u) = gij v i uj . Какизвестно, при фиксации второго вектора в этой записи получается линейная функция от первого сомножителя,т.е. второй сомножитель определяет элемент двойственного пространства V ∗ . Этим (в конечномерном случае)устанавливается изоморфизм V и V ∗ .Будем обозначать значение линейной формы α на векторе v ∈ V с помощью угловых скобок: hv, αi =α(v). В пространстве V ∗ определен базис ej двойственный базису ei , т.е. hei , ej i = δij .
(Индексы координат впространстве V пишутся вверху, в двойственном пространстве внизу, а нумерация базисных векторов наоборот– внизу для V и вверху для V ∗ .)Координаты ai образа α вектора x в двойственном базисе определяются через его координаты xj в исходномбазисе соотношением:gij v i xj = (v, x) = hv, αi = ai v i .Именно, беря в качестве v базисные векторы ei , получим, чтоai = gij xj и xj = g ij ai ,где g ij – матрица обратная матрице gij .Напомним, что координаты образа вектора v в двойственном базисе в V ∗ называются ковариантнымикоординатами вектора v (а его координаты в V – контравариантными).Базис, как известно, называется ортонормированным, если в нем матрица скалярного произведения единичная.Это означает, что скалярный квадрат любого вектора равен сумме квадратов его координат, и равносильнотому, что ковариантные координаты каждого вектора совпадают с его контравариантными.
Это можно выразитьтак: при изоморфизме V на V ∗ , определенным скалярным произведением, ортонормированный базис переходитв свой двойственный.(Вообще, любая невырожденная билинейная форма определяет изоморфизм V на V ∗ по тому же правилу,что и скалярное произведение, но скалярные произведения выделяются тем свойством, что обладают базисами,10которые переходят в свои двойственные при этом изоморфизме. Позже нам придется рассмотреть и другиеслучаи.Отметим, что матрица gij билинейной формы одновременно служит матрицей соответствующего линейногоотображения V на V ∗ , если в этих пространствах берутся сопряженные базисы.)3.
Линейные дифференциальные уравнения с кососимметрической матрицей.Система Френе как уравнение для реперов. На систему Френе можно смотреть с разных точек зрения.Прежде всего это – система векторных уравнений. Ее решением является набор из n кривых ri (s) влинейном n-мерном пространстве (или кривая в прямой сумме n экземпляров n-мерных пространств). Переходяк координатам, мы можем также рассматривать ее как систему из n2 уравнений от n2 неизвестных скалярныхфункций.Однако, заменяя последовательно векторы на их координаты, мы получим n одинаковых линейных скалярныхсистем. Мы можем рассматривать их решения как n решений одной системы.
Опираясь на то свойство линейныхсистем, что если решения оказываются независимыми в одной точке, то они будут независимыми при всехзначениях параметра, мы можем рассматривать эту систему как уравнение для реперной функции. Инымисловами мы ищем сразу фундаментальную матрицу решений, рассматривая ее как функцию, которая каждомузначению параметра ставит в соответствие репер в n-мерном линейном пространстве.
В таком случае мы можемрассматривать нашу систему как переменное векторное поле на общей линейной группе GL(n, R ).[Напишем для ясности, независимо от системы Френе, векторную линейную (однородную) систему с переменными коэффициентами в общем виде в R2 для функций ri (t) = (xi (t), yi (t)):ṙ1ṙ2= a(t)r1 + b(t)r2= c(t)r1 + d(t)r2 .Эта система эквивалентна двум одинаковым системам — для первых и для вторых координат:ẋ1 = a(t)x1 + b(t)x2ẋ2 = c(t)x1 + d(t)x2или одной матричной системе:µx1y1x2y2¶.µ=ẏ1 = a(t)y1 + b(t)y2ẏ2 = c(t)y1 + d(t)y2x1y1x2y2¶µa(t)b(t)c(t)d(t)¶Обе системы имеют одну и ту же фундаментальную систему решений, скажем, (ϕ1 (t), ϕ2 (t)), ноµ разные¶c1ϕ1 (t)+начальные данные, через которые выражаются постоянные коэффициенты решения, имеющего формуd1µ¶c2ϕ2 (t)].d2Линейные системы с кососимметрической матрицей.Лемма.
Если переменное векторное поле V(t) в многообразии M в каждой точке подмногообразия N длякаждого значения t касается N , то интегральные кривые этого поля, проходящие через точки подмногообразия,лежат в N .Доказательство. Лемма следует из теоремы существования и единственности для обыкновенных дифференциальныхуравнений. Одно решение, проходящее через x ∈ N , лежит в N , т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
