Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Во-первых, элементы матрицы Френе, лежащие выше диагонали соседней сверху кглавной, равны нулю (как сказано, τ 0k (t) выражается через векторы τ i (t), где i ≤ k + 1: τ 0k (t) = a1 (s)τ k+1 (t) +a2 (s)τ k (t) + . . . ). Оказывается, что в натуральном параметре эта матрица имеет еще более простой вид.Во-вторых, она кососимметрична. В самом деле, если мы отождествим репер Френе в точке O с каноническим,мы можем отождествить реперную функцию R(t), значениями которой являются реперы Френе в точкахкривой r, с кривой в ортогональной группе O(n, R ), проходящей при t = 0 через единицу групы. Тогда праваячасть этой системы представляет собой вектор скорости этой кривой, выраженный в каноническом репере.Это выражение, как мы знаем, дается кососимметрической матрицей (см.гл.8 п.6).
В частности, на главнойдиагонали стоят нули.Замечание. Можно более элементарно вывести условие кососимметричности. Равенство нулю диагональныхэлементов следует из того, что векторы репера имеют единичную длину. Равенство aij = −aji в двумерномслучае следует из ортонормированности: 0 = (τ i , τ j )0 = (τ 0i , τ j ) + (τ i , τ 0j ) = aij (τ j , τ j ) + aji (τ i , τ i ) = aij + aji .В общем случае нужно заметить, что производные не изменятся, если спроектировать систему ортогональнона плоскость ортов τ i , τ j .В-третьих, соединение этих двух условий – равенства нулю элементов выше диагонали соседней с главнойи кососимметричности матрицы – показывает, что ненулевыми в нашей матрице являются элементы только надвух диагоналях соседних с главной, причем они отличаются только знаком.
Итак, система Френе определяетсяn − 1 гладкими функциями параметра s.Если заменить параметр, все производные и, значит, указанные функции умножатся на производную длиныпо новому параметру. Система сохранит указанные особенности. Для определенности нужно выбрать однупараметризацию, и, конечно, выбор натурального параметра наиболее естественный.Так как для натурального параметра кривой первый вектор репера Френе является вектором скорости,кривая восстанавливается по нему однозначно интегрированием при заданных начальных условиях, т.е.
заданномвекторе скорости в точке O. Ниже мы покажем, что вообще, если дана система Френе с некоторым параметром,то интегрированием вектора τ 1 получается кривая, для которой данный параметр является натуральным ився система Френе которой совпадает с данной.45. Кривизны.Итак, матрица системы Френе в натуральном параметре имеет такой вид0 −k1k10−k2k200..0.0−kn−1kn−10.Мы приходим к следующему выражению производной p-ого орта τ p нашего репера:τ 0p (s) = −kp−1 τ p−1 + kp τ p+1 .Здесь через kp (s) обозначены последовательно элементы диагонали соседней сверху с главной.
Они называютсякривизнами (kp (s) называется p-ой кривизной). Первая кривизна называется просто кривизной (или главнойкривизной.)В трехмерном пространстве вторая кривизна кривой называется ее кручением, мы будем обозначать ее κ.Контрольный вопрос. Напишите систему Френе в двумерном и трехмерном прострнстве. Как изменитсясистема Френе для плоской кривой при переходе к другому параметру, отличному от натурального?Обратим внимание на то, что первая и последняя строка матрицы Френе содержат только по одномуненулевому элементу.Выражение высших производных. С помощью этих уравнений производится рекуррентное выражение последующихпроизводных радиус-вектора через векторы репера Френе.
Действительно, r(p+1) = (r(p) )0 . Теперь нужноподставить существующее по индуктивному предположению выражение r(p) через векторы репера и продифференцироватьего. Затем остается воспользоваться уравнениями Френе, и заменить производные векторов репера векторамисамого репера.Например, в трехмерном пространстве: r0 = τ , r00 = k(s)ν, r000 = k0 (s)ν − k(s)τ + κ(s)β, rIV = (r000 )0 = .
. . .Направление ортов и знаки кривизн. Выбор знака кривизн достаточно произволен. Он связан с выборомнаправления ортов репера при ортонормализации репера R(s). Мы можем, очевидно, выбирать их один задругим так, чтобы все коэффициенты kp (s) оказались положительными. Первый орт по определению направленв сторону возрастания параметра s.Ориентация и направление на кривой. Поскольку кривая определяет репер, она определяет и ориентациюв пространстве.Предложение. Изменение направления обхода кривой изменяет направление четных ортов и не изменяетнаправления нечетных.Доказательство.
При вычислении производной до взятия предела происходит вычитание векторов приложенныхв близких точках, причем порядок этих точек меняется. Следовательно, изменяется знак ∆ r и, в пределе,знак τ . Направление первого орта изменилось, но и направление обхода изменилось, значит, направление егопроизводной не изменилось. В таком случае не должно измениться направление второго орта, а направлениеего производной изменится. Тогда изменится направление третьего орта и т.д.¥Следствие. Ориентация, которую задает в пространстве репер Френе кривой, меняется при изменении ееобхода, если размерность пространства имеет вид 4k + 1 или 4k + 2, т.к. произойдет изменение направлениянечетного числа ортов.
Если размерность равна 4k + 3 или 4k, то ориентация пространства задается кривойнезависимо от обхода, т.к. изменит направление четное число ортов.¥Следствие. На плоскости обход кривой задает ориентацию плоскости и она меняется с изменением направленияобхода.В трехмерном пространстве мы можем различать левые и правые кривые.¥Обычный выбор третьего вектора Френе – бинормали – отличается от описанного здесь: обычно принимается,что репер Френе положителен, а кручение – вторая кривизна – может быть отрицательна.
Кривая задаеториентацию пространства независиммо от ее обхода. Обход зеркального образа кривой определяет противоположнуюориентацию пространства. Например, различают левую и правую винтовые линии.Упражнение. Напишите уравнения левой и правой винтовых линий.(Винтовая линия описываетя концом отрезка, параллельного плоскости Oxy, второй конец которого равномерноподнимается по оси Oz. За параметр принимается азимут его проекции на плоскость Oxy, так что его высотапропорциональна этому азимуту. Коэффициент пропорциональности положительный для правого винта (штопора)и отрицательный для левого — “штопор для левшей”.)(Напомним еще раз, что мы все время говорим о кривых, первые n производных которых образуют реперв каждой точке некоторого интервала параметризации.)56. Геометрический и механический смысл кривизныКривизна – скорость поворота касательной.
Первая формула Френе показывает, что главная кривизнакривой есть модуль производной касательного орта по длине дуги. Это свойство может быть принято заопределение кривизны, независимо от высших производных репера. В таком случае имеем:k = k1 = ||∆τ ||∆τ |dτ 1∆ϕ| = lim= limlim,∆s→0 ∆sds∆ϕ∆sгде ∆ϕ есть угол поворота касательного орта при изменении параметра на ∆s. Перенесем параллельно обакасательных орта, отвечающих концам интервала изменения параметра s, совместив их начала, скажем, сточкой O. На большом круге единичной сферы, который они определяют, ∆τ – хорда дуги, равной ∆ϕ. Но ∆τи ∆ϕ являются эквивалентными бесконечно малыми и мы получаем:Предложение.
Кривизна k(s) есть скорость поворота касательной по отношению к длине дуги.¥Прямая линия – прямая. Кривизна есть мера отклонения кривой от прямой линии, кривизна которой нуль.Обратно:Предложение. Если в целом интервале кривизна равна нулю, то в этом интервале кривая являетсяотрезком прямой.Доказательство. Если кривизна равна нулю, то τ 01 = r00 = 0 и, значит, r линейно зависит от параметра s.¥2d rМеханический смысл кривизны. Для натурального параметра kν= dτ= ds2 .
Если кривая есть траекторияdsдвижения точки единичной массы в силовом поле, то вектор ускорения r̈ совпадает с действующей силой иd2 r 2 drṡ +s̈ = k(s)ν ṡ2 + τ s̈,ds2dsd2 r(r̈, ν) = ( 2 , ν)ṡ2 = (kν, ν)ṡ2 = kv 2 .dsКривизна оказывается пропорциональной абсолютной величине нормальной составляющей силы и обратнопропорциональной квадрату линейной скорости: чем сила больше, тем более она искривляет движение, но чембыстрее движение, тем это влияние меньше.......Заметим, что (ṙ, τ ) = ṡ, (r̈, τ ) = s̈, но ( r , τ ) = s − k2 ṡ3 , т.е.
кривизна влияет на изменение касательнойсоставлящей силы.r̈ =Последняя кривизна. Таким же образом последняя кривизна kn−1 есть скорость поворота n-ого орта репераФрене.Предложение. Если последняя кривизна равна нулю в целом интервале, в котором r0 6= 0, то криваялежит в постоянной плоскости, ортогональной τ n .Доказательство. Если производная τ n равна нулю, то вектор τ n постоянен и(τ n , τ 1 ) = 0.d(τ n , r)ds= (τ n ,dr)ds=¥(Иными словами в этом случае нарушено условие независимости производных и n-ая производная линейновыражается через предыдущие.)7. Плоский случай. ФормулыКривизна плоской кривой. На плоскости R 2 репер Френе состоит из двух векторов – орта касательнойτ 1 = τ и орта нормали τ 2 = ν, причем dτ= kν и dν= −kτ , k – единственный коэффициент кривизны,dsdsкоторый называется просто кривизной.Т.к.
кривизна k неотрицательна, поворот τ (т.е. отклонение от касательной) происходит в сторону, указываемуювектором ν. Иными словами, направление орта нормали выбирается в сторону изгиба кривой.Произвольный параметр. Полезно уметь вычислять кривизну в случае, если параметр не обязательнонатуральный. Для получения соответствующей формулы проведем следующие выкладки (напомним, что производнаяпо s обозначается штрихом, а по t – точкой).τ = r0 = ṙt0 ,t0 =1|ṙ|kν = τ 0 = r̈(t0 )2 + ṙt00k[τ , ν] = [τ , τ 0 ] = [ṙ, r̈]t03 .Отсюдаk=и в координатах (r = (x(t), y(t)))k=|[ṙ, r̈]||ṙ|3ẋÿ − ẏẍ3(ẋ2 + ẏ 2 ) 26.В п.14 главы 5 мы получили это выражение для 1/R, где R – радиус соприкасающейся окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
