Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 5
Текст из файла (страница 5)
система может быть ограничена на N . Ноэто же решение удовлетворяет и данной системе в M .¥Наша система как векторное поле на группе, может быть записана в виде U(t)˙ = U(t)A(t).Запись V(t) = U(t)A(t), где U(t) – матрица репера (каждый столбец состоит из координат одного извекторов репера в канонических координатах), означает, что набор векторов-столбцов, составляющих матрицуV(t) при каждом t выражается в репере столбцов U(t) с помощью матрицы A(t).Эта же запись U(t)˙ = U(t)A(t) говорит, что при каждом t мы имеем векторное поле на всей группе GL(n, R ),2полученное левыми сдвигами вектора A(t) (∈ R n ) в единичном элементе E. (Умножение на матрицу есть2линейный оператор в R n !)В нашем случае вектор-производные репера Френе выражаются в этом репере при каждом t с помощьюматрицы Френе.
Она кососимметрическая в каждой точке.Мы выяснили в п.6 главы 8, что если вектор выражен в единичной точке E кососимметрической матрицей,то он касается ортогональной группы, являющейся подмногообразием в GL(n, R ). Наше переменное векторноеполе на группе GL(n, R ), полученное сдвигами в этой группе на ее элементы, касается O(n, R ) при каждом t вкаждой точке ортогональной группы.
Действительно, если матрица U ортогональна, то сдвиг на U переводит11ортогональную подгруппу в себя. Вектор касательный к O(n, R ) в E переводится этим сдвигом в векторкасательный к O(n, R ) в U, т.к. сдвиг в группе есть ее диффеоморфизм. В силу леммы, интегральные кривые,пересекающиеся с ортогональной группой, целиком лежат в ней.Значит, если хотя бы в одной точке решение нашей системы является ортонормированным репером, то оноцеликом состоит из ортонормированных реперов! Итак,Утверждение. Пусть даны векторная система линейных дифференциальных уравнений с кососимметрическойматрицей коэффициентов и ортонормированный репер в качестве начального значения.
Тогда решение этойсистемы существует и единственно и при каждом значении параметра решение является ортонормированнымрепером.¥4. Построение кривой по системе ФренеПредложение. Пусть дана точка r0 и репер ui0 в этой точке. Решение u(s) системы Френе с коэффициентамиki (s) > 0 , 1 ≤ 0 ≤ n−1, и с начальным значением u(s0 ) = ui0 определяет вместе с точкой r0 = r(s0 ) кривую r(s),для которой натуральным параметром служит параметр s этой системы, и при каждом значении параметракоэффициенты ki (s) оказываются последовательными кривизнами кривой r(s). Более того, само решение u(s),при каждом значении параметра s совпадает с соприкасающимся репером этой кривой в точке r(s).Доказательство. Пусть получено решение u(s). Оно является ортонормированным репером для каждогозначения параметра системы, обозначенного нами s.
При этом ui0 есть i-ый вектор репера u(s0 ). Кривая r(s)определяется интегрированием первого вектора решения-репера:Zsr(s) = r0 +u1 (s) ds.s0Обозначим через τ i векторы ее репера Френе и через k̂i ее кривизны.Поскольку ṙ = u1 и дано, что |u1 | = 1, мы получаем, что u1 – касательный орт нашей кривой, т.е. онсовпадает с τ 1 , и s – натуральный параметр.В таком случае, сравнивая первое уравнение u˙1 = k1 u2 данной системы с первым уравнением Френе τ̇ 1 =k̂1 τ 2 для полученной кривой, имеемk1 u2 = k̂1 τ 2 ,и, беря модули, – k1 = k̂1 . Тогда u2 = τ 2 .Далее рассуждаем по индукции. Производная вектора, для которого на предыдущем шаге было установленоего тождество с соответствующим вектором репера Френе, одинаково выражается через репер Френе кривойи репер-решение системы:u̇i = −ki−1 ui−1 + ki ui+1 == τ˙i = −k̂i−1 τ i−1 + k̂i τ i+1 .Вычитая одно выражение из другого, мы получим ki ui+1 = k̂i τ i+1 .
Так как эти векторы – орты, получаемравенство модулей коэффициентов |ki | = |k̂i |. Направление ортов также совпадает, если они были выбранытак, чтобы все коэффициенты были положительными. Значит, ui+1 = τ i+1 .¥Двумерный случай. Разберем подробнее для большей ясности вычисления в случае плоской кривой. Мыимеем здесь векторную системуτ 0 = kνν 0 = −kτ .Пусть (x(s), y(s)) – решение системы (s – параметр решения и автоматически натуральный параметркривой). Тогда τ (s) = (x0 (s), y 0 (s)) и ν(s) = (−y 0 (s), x0 (s)), т.к. (τ , ν) = 0.Имеем две одинаковые системы для первых и для вторых координат. Ограничимся первой:x00 (s)y 00 (s)222= −k(s)y 0 (s)= k(s)x0 (s).2Вектор τ единичный, т.е.
x0 + y 0 = 1, отсюда x00 + y 00 =√k2 .0022 220Положим x (s) = u(s). Тогда u + k u = k , т.е. u = k 1 − u2 . Это уравнение интегрируется:µZ s¶u(s) = sink(s)ds .s0После этого можно найти x(s) и y(s).21Пусть, например, k(s) = s. Тогда u(s) = sin( s +c), и2Z ss2 + c1x(s) =sin()ds + c2 .2012Zsy(s) =cos(0s2 + c1)ds + c3 .2Докажем теперь основную теорему.5. Существование и единственность кривой с данным набором кривизнТеорема. Пусть заданы n − 1 непрерывных и положительных функций ki (s), s1 < s < s2 , 0 ∈ [s1 , s2 ],1 ≤ i ≤ n − 1, и ортонормированный репер в O ∈ R n .Тогда существует единственная кривая r(s) ⊂ R n , для которой s является натуральным параметром, этифункции служат кривизнами при каждом значении s, r(0) = O, и при этом сопровождающий репер в точке Oсовпадает с заданным репером.Докажем сначала две леммы и выведем из теоремы одно следствие.Лемма 1.
(Сохранение кривизн при сдвиге кривой). Если две кривые получаются друг из друга пространственнымдвижением, то в соответствующих точках кривизны у них одинаковые.Доказательство. Во-первых, соответствующие друг другу при движении дуги имеют одинаковые длины, ипоэтому соответствующие точки имеют одинаковое значение натурального параметра (если начальные точкиотсчета выбраны соответствующими). Векторы приращения ∆r при равных приращениях аргумента будутиметь одинаковую длину и, значит, в пределе касательный орт перейдет в касательный орт. Далее рассуждаемпо индукции.
Последовательность соприкасающихся пространств перейдет в такую же последовательностьдля кривой-образа: если векторное поле производных порядка p − 1 перейдет в такое же поле, то ясно, чтоэто будет верно и для производных порядка p. Процесс ортогонализации также инвариантен при движении и,значит, репер Френе переходит в репер Френе. Линейные соотношения сохраняются, т.к. движение – линейнаяоперация. Поскольку и производные векторов репера, как и выше, переходят в соответствующие производные,выражения производных векторов репера Френе через векторы этого репера должны быть в обоих случаяходинаковыми. Коэффициентами этих выражений служат кривизны, которые, таким образом, одинаковы у двухкривых в соответствующих точках.¥Лемма 2.
Для двух данных точек с данными в них ортонормированными и одинаково ориентированнымиреперами существует ровно одно движение пространства, сохраняющее ориентацию и переводящее точку вточку и репер в репер.Доказательство. Движение строится как композиция параллельного сдвига, совмещающего начальныеточки реперов и поворота с матрицей, выражающей векторы одного репера в другом. Оно единственно, т.к.только тождественное движение оставляет репер неподвижным.¥Следствие из теоремы.
Две кривые с равными кривизнами в точках с одинаковым значением натуральногопараметра переводятся друг в друга движением пространства.Доказательство. Для двух кривых мы всегда ровно одним движением можем совместить две их напередзаданные точки и при этом так, что совместятся их реперы Френе в этих точках (если они имеют одинаковуюориентацию, то движение будет сохраняющим ориентацию, если нет, то нужно перейти к зеркальному образуодной из кривых). Передвинем одну кривую так, чтобы совместились две точки данных кривых с однимзначением параметра, притом так, чтобы совместились реперы Френе. Значения кривизн при этом у перемещеннойкривой не изменятся. Но по теореме она тогда должна полностью совместиться с другой кривой.¥В этом смысле мы можем сказать, что набор кривизн как функций натурального параметра полностьюопределяет форму кривой.Доказательство теоремы.
Уравнения Френе представляют собой систему векторных линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений, которую в координатной записи можно представить как систему n2 обыкновенныхдифференциальных уравнений относительно n2 неизвестных скалярных функций (координат векторов репера).Мы можем применить к этой системе стандартную теорему существования и единственности для линейнойсистемы, по которой мы можем найти и притом единственным образом функции, удовлетворяющие даннойсистеме. Найденные функции однозначно определяют некоторую кривую r(s). Точнее, эта кривая однозначноRsопределяется уже векторной функцией τ (s) интегрированием: r(s) = r0 + τ (s) ds.s0Выше в п.4 показано, что полученная система решений в каждой точке определяет репер Френе найденнойкривой.Т.к.
любая кривая с теми же кривизнами и с тем же начальным репером служит решением этой же системыФрене с этими же начальными условиями, такая кривая только одна в силу теоремы единственности решениядифференциального уравнения. Наша теорема доказана.¥13Глава 11. Метрика поверхности (первая квадратичная форма)A. Длины, углы и площади1. Риманова метрикаПока мы пользуемся линейными системами координат, мы имеем простое соответствие между векторамии точками в R n и нам безразлично, в какой точке приложен координатный репер. С помощью операциипараллельного переноса мы устанавливаем изоморфизмы линейных пространств Vx с началами в точках x.Нелинейные координаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
