Чернавский А.В. - Кривые и поверхности (1075682), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мы можем найти собственные числа и собственные векторы пары форм (G, Q) в даннойточке в данной локальной системе координат, решая сначала уравнение det(Q − λG) = 0 и затем уравнения(Q − λi G)ξ = 0.3. Вычисления в R 3 . Полная кривизна и средняя кривизна.¡ L−λE M −λF ¢Для поверхности в R 3 мы должны решить уравнение det M−λF N −λG = 0.Левая часть представляет собой многочлен, корнями которого служат главные кривизны поверхности k1 иk2 . Его записывают в видеλ2 − 2Hλ + K,2называется средней кривизной, а K = k1 k2 — полной кривизной (или просто кривизной)где H = k1 +k2поверхности в данной точке. Раскрывая определитель, мы получим:2H =EN − 2F M + GL,EG − F 2K=LN − M 2.EG − F 2Упражнение. Напишите выражение главных кривых для параметрического задания поверхности и заданияграфиком.Рассмотрим простейший случай: поверхность задана графиком функции z = f (x, y) в ортогональнойсистеме координат, причем координатная плоскость Oxy в точке O является касательной плоскостью к поверхности.В этой точке первая форма имеет вид x2 +y 2 , а вторая удвоенным вторым дифференциалом: fxx x2 +2fxy dx dy+2fyy dy 2 .
Таким образом, кривизна нашей поверхности есть определитель fxx fyy − fxy.Например, кривизна поверхности z = x2 ± y 2 в точке O есть ±4.Контрольный вопрос. Докажите, что кривизна сферы радиуса 1 равна 1 в каждой точке. Чему равнакривизна сферы радиуса r?Упражнение. Найти полную и среднюю кривизну развертывающейся поверхности с данным ребромвозврата и ее главные кривизны.4. Роль полной кривизны. Локальный анализ формы поверхностиПолная кривизна и теорема Гаусса. Теорема Гаусса, о которой мы упоминали в начале этой главы икоторую докажем в следующей главе, состоит в том, что полная кривизна имеет выражение через первуюквадратичную форму, т.е. ее коэффициенты и их производные. Из приведенного выше выражения видно, чтодля этого нам предстоит выразить через коэффициенты E, F, G первой формы определитель второй формы.На самом деле теорему Гаусса можно доказывать, идя разными путями, в том числе и указанным.
Но можнодать и доказательства, основанные не на вычислении K, а на прояснении ее геометрического смысла. Мыпознакомимся с обоими этими путями.Роль знака полной кривизны. Особое значение имеет знак полной кривизны K = k1 k2 . Если K > 0,то знаки k1 и k2 совпадают, если K < 0, то знаки k1 и k2 противоположны, если K = 0, то хотя быодна из главных кривизн нулевая. Как мы сейчас увидим, этого достаточно, чтобы в первом приближенииохарактеризовать форму поверхности в окрестности данной точки.
В частности, эта характеризация зависит38только от метрики. Сами знаки главных кривизн несущественны, т.к. мы можем поменять их, просто изменивориентацию поверхности.Индикатриса Дюпена в основных случаях. Указанные три возможности различаются типом индикатрисыДюпена как кривой второго порядка: она будет эллипсом в случае K > 0, парой гипербол в случае K < 0 ипарой прямых в случае K = 0, H 6= 0.Уравнения в нормальной системе координат соответственно будут: k1 ξ 2 +k2 η 2 = ±1, k1 ξ 2 −k2 η 2 = ±1, k1 ξ 2 =±1.
(Случай точки уплощения, когда обе главные кривизны и, значит, все нормальные кривизны равны нулю,мы оставим в стороне.)В эллиптической точке, где K > 0, знак нормальных кривизн постоянен и все нормальные сечения лежатпо одну сторону касательной плоскости, т.е. поверхность имеет окрестность данной точки, лежащую целикомпо одну сторону от касательной плоскости в этой точке. Это значит, что поверхность выпукла в данной точке.(Имеется два подхода к определению выпуклости: через отрезки, соединяющие точки множества, и локальный– через касательные “опорные” плоскости. Естественно, оба определения эквивалентны, но мы не задерживаемсяздесь на анализе этого важного понятия, см...
.)Если обе главные кривизны равны, то индикатриса Дюпена будет окружностью. Такая точка называетсяомбилической.Упражнения. Покажите, что в омбилической точке коэффициенты обеих форм пропорциональны, а H 2 =4K.Замечание. Поверхность, целиком состоящая из омбилических точек, есть сфера. Доказательство этогофакта требует дополнительных соображений (см. Норден, стр. 198-199).В гиперболической точке, где K < 0, индикатриса Дюпена состоит из двух гипербол.
Две общие асимптотыэтих гипербол разбивают касательную плоскость в окрестности начала на четыре угла, так что знак нормальныхкривизн для нормальных сечений, проведенных через одну пару противоположных углов, положительный, ачерез другую – отрицательный. Значит, поверхность в окрестности данной точки изогнута в одну сторону откасательной плоскости в углах одной пары и в другую сторону в углах другой пары. Это строение окрестностиописывают названием седловая точка. Заметьте, что модули главных кривизн совпадают в точности в техточках поверхности, где H = 0.
Индикатриса Дюпена в этих точках состоит из равнобочных гипербол, вчастности, для них направления асимптот ортогональны.В параболической точке, где K = 0, k1 6= 0, индикатриса Дюпена состоит из двух несовпадающих параллельныхпрямых. В направлении этих прямых (асимптотическом) нормальная кривизна нулевая, она достигает максимумав ортогональном направлении, между этими направлениями изменяется монотонно, в частности, сохраняетзнак.Поэтому все нормальные сечения, исключая асимптотическое, имеют направление выпуклости в однусторону нормали, но сечение асимптотического направления может иметь сложное строение, требующее особогоанализа.
В простейшем случае оно имеет в данной точке точку перегиба и тогда поверхность в ее окрестностиимеет полуседло.Мы оставляем в стороне анализ особого случая точки уплощения, в которых обе главные кривизны и,значит, все нормальные кривизны равны нулю. Ограничимся примером “обезьяньего седла”, заданного с помощьюкомплексного переменного уравнением f (x, y) = <(x + iy)3 = x3 − 3xy 2 .
График этой функции имеет в началеиндикатрису с тремя прямыми в качестве асимптот. Поэтому график имеет три вдавленности вниз (для ног ихвоста) и три других – вверх.Взгляд на поверхность в целом. Если теперь от локального рассмотрения строения поверхности в однойточке обратиться ко всей поверхности, то можно заметить, что эллиптические и гиперболические точки образуютобласти (т.к. выделяются строгими неравенствами), а параболические точки, вообще говоря, образуют линии,как правило, разделяющие эти области. Уравнением такой линии служит условие K = 0, которое эквивалентноравенству LN − M 2 = 0.Упражнение. Найдите линии K = 0 на торе, образованном вращением окружности вокруг вертикальнойоси.[Воспользуйтесь, например, теоремой Менье.]5.
Частные случаи. Развертывающиеся поверхности, минимальные поверхности и поверхностивращения.Случай развертывающихся поверхностей. Конечно, поверхность может иметь и области, целиком состоящиеиз параболических точек. Для такой поверхности мы имеем rt − s2 = 0 в обозначениях Монжа. Мы ужевидели в п.3 гл.11 Б, что этому дифференциальному уравнению в частных производных удовлетворяют все39развертывающиеся поверхности, исключая те, которые неудачно расположены по отношению к системе координат:имеют направления, параллельные оси аппликат.Теперь мы видим, что для решений этого уравнения K = 0.
Как мы увидим в следующей главе, условиеK = 0 характеризует развертывающиеся поверхности.Упражнение. Покажите, что если развертывающаяся поверхность имеет ребро возврата с кривизной k иκкручением κ, то 2H = − vk= k1 (v – параметр вдоль касательной к ребру возврата, k1 – ненулевая главнаякривизна поверхности).Средняя кривизна, оператор Лапласа и минимальные поверхности.В ортогональной системе координат (с ортогональной координатной сеткой) удвоенная средняя кривизна∂2 f∂2fоказывается равной r + t = ∂u2 + ∂v 2 = ∆f , т.е. значению оператора Лапласа для функции f .Отсюда получаем, что поверхности, целиком состоящие из точек с нулевой средней кривизной, служатграфиками решений уравнения Лапласа ∆f = 0, т.е.
гармонических функций. Условие равенства нулю среднейкривизны имеет вариационное значение: при заданном граничном контуре это поверхности с минимальнойплощадью (во всяком случае относительно их малых деформаций). Физически такие поверхности представляются мыльными пленками, которые стремятся уменьшить свою площадь из-за сил поверхностного натяжения.(Понятно, что для равновесия сил две главные кривизны должны быть равны по модулю и противоположныпо знаку.)Соответствие между минимальностью поверхности и гармоничностью задающей ее векторной функциинеинвариантно. Можно утверждать его справедливость только в изотермических координатах на поверхности.Поверхности вращения.Ясно, что направление меридиана в каждой точке, не лежащей на оси вращения, есть одно из двух главныхнаправлений: меридиан лежит в плоскости, проходящей через ось, значит, в плоскости симметрии поверхности,а тогда и симметрии индикатрисы Дюпена.Главные направления это как раз направления симметрии индикатрисы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
