Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 74
Текст из файла (страница 74)
УР Ч'= — Ят(г, 1), (12.?) где й — коэффициент теплопроводности среды. Вектор плотносги потока излучения связан с интенсивностью излучения соотношением [см, 1-74 ] ( ) Ч = 1 И(г, а, 1) (а, (12.3а) 7(г, 4?, 1) = 1 7,(г, ьз, 1) ь(у, (12.36) и=в где спектральная интенсивность излучения 7,(г, 4?, 1) удовлетворяет уравнению переноса излучения. Уравнения энергии и пере- 12.1, ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ О СОВМЕСТНОМ ПЕРЕНОСЕ ТЕПЛА ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬЮ И ИЗЛУЧЕНИЕМ Уравнение сохранения энергии нри совместном действии те~- лопроводности и излучения в поглощающей, излучающей и рассеивающей среде записывается в виде у '(Ч +Ч')+ л(г 1) = рср д ' (12.1) где с„и р — удельная теплоемкость и плотность среды, й(г,()— объемная мощность внутренних источников энергии, Ч' и Ч"— векторы плотности кондуктивпого и радиационного тепловых потоков соответственно.
В случае однородной изотропной среды вектор плотности кондуктивного теплового потока описывается законом Ф ье: 491 Глава 12 490 у или т =1. илит=т (12.7) (12.8а) или Оно содержит следующие 77(~, $) =— безразмерные величины: (12.8 в) й! —= 4п дТ 4п Т с е(, р=— Т аь = инт! й рср 4(т =~04у или т=еу то=йй тг носа излучения взаимосвязаны, поскольку последнее содержит температуру Т(г, 1).
Следовательно, уравнение переноса излучения ие может быть решено, пока в результате решения уравнения энергии не будет получено распределение температуры в среде. Уравнение энергии содержит плотность потока результирующего излучения, которая должна быть найдена из реше! ния уравнения переноса излучения, Ниже будет сформулирована задача о совместном действии теплопроводности и излучения и получено ее решение для плоского слоя, поскольку общее решение трехмерной задачи чрезвычайно сложно.
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА Рассмотрим нестационарную задачу о совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в направлении оси у в плоском слое полупрозрачной среды. Предполагается, что слой расположен перпендикулярно оси у, Р!а фиг. 121 представлена геометрия задачи и система координат. Пусть 7, — толщина слоя, а й(у,1) — объемная мощность внутренних источников энергии, Уравнение (12,1) упрощается и принимает вид [й д ' 1 — д +й(у 1)=Рср д ', 0~(У~~7. (12.4) Предполагая теплофизические свойства среды постоянными, запишем это уравнение в безразмерном виде + 77(т, $) = ', 0 4=-т~(то. (12.5) д$ — безразмерная объемная мощ- (!2.6а) ность внутренних источников энергии; — коидуктивио-радиационный (12,66) параметр; — безразмерная плотность по- (12.6в) тока результирующего излучения; — безразмерная температура; (12.6г) — безразмерное время; (12.6д) — оптическая толщина; (12,6е) — оптическая толщина слоя; (12.6ж) — определяющая температура.
Теплппроеодность и излучение Е непрозрачньчх средах о Фиг. 12.1. Система координат при совместном переносе тепла теплопровод- ностью и излучением в плоском слое. Уравнение (12.5) можно записать в другом виде: — в[0'(т $)-6"(т 5)]+Н(т, $)= "" ', 0 ~ (т ~< то, используя соотношение [см, (8.87)] — = (1 — в) [4пздтч — Ц дд' дс 1 =(1 — в) [04(т 5) 6'(т 5)] (12 86) причем выражение для безразмерной пространственной плотности падающего излучения имеет вид О Ст' = 4пзагч ' Введенный выше кондуктивно-радиационный параметр характеризует относительный вклад теплопроводиости по сравнению с излучением. Этот параметр принимает большие значения, когда преобладает теплопроводность, и малые, когда преобладает излучение. При бесконечно большом значении 741 радиационный член в уравнениях (12.5) и (12.7) исчезает и они переходят в обычное уравнение теплопроводности.
Если среда только рассеивающая (в = 1), то излучение не взаимодействует с теплопроводностью, и поэтому профиль температуры в такой среде соответствует профилю температуры в случае чистой теплонроводности. Это следует из уравнения (12.7), в котором радиационный член исчезает, и при в = 1 оно сводится к уравнению для только теплопроводности. Для нерассеивающей среды Теалопроводносга и излучение в непрозрачных средах 493 492 Глава 12 оз = О, поэтому коэффициент ослабления [1 в выражениях для оптической толщины и параметра дг заменяется на коэффициент поглощения к. Физический смысл оптической толщины слоя та становится нагляднее, если ее представить в виде 1. Толгцнна слоя (12.9) 11']4 Средняя длноа саоболного пробега фотона (средняя плана проник юаення) Таким образом, т, определяет число средних длин свободного пробега фотона в среде, укладывающихся в толщине среды.
Безразмерный параметр У представляет собой отношение тепловых потоков вследствие теплопроводности и излучения в том смысле, что если 1 = 11'[1 означаег длину свободного пробега, то йг можно записать в виде йТ11 Кондуктнаный поток 4п'дТ' Радиационный поток ' (12.10а) Для оптически толстой среды (то » 1) плотность радиационного теплового потока равна !6и'оТ4)8то [см. (9.25)], а кондуктивного йТ)Е Тогда отиошение кондуктивного и радиационного тепловых потоков для оптически толстой среды будет равно ( Кондуктнапый поток ) Радиационный поток лонтяческн тояссая сааза й Т11. 3 й]4 3 1бп'дТ'(3то 4 4п-дТ' 4 пРи то » 1. (12.10б) ( Кондуктннный поток ') Раднацнонный поток / „„„„,„„„„„„,,„ ЙТ)1.
2 lг]4 2 йтоп оТ то 4п дТ то при то « 1. (!2.10в) Из полученных результатов видно, что, хотя в целом относительная роль теплопроводности и излучения характеризуется параметром дг, оптическая толщина то в этом смысле также играет важную роль. Для оптически тонкой среды существенно отношение йг,точ а не только один параметр дг. Например, в оптически Для оптически тонкой среды (то « 1) плотность радиационного теплового погока равна 2тои'бТ4 [это выражение можно получить из (8 84), если считать среду серой, не учитывать излучение от границ, припять !ь = избТ'!и = сопз1, г = го, а затем выполнить инзегрирование и произвести замену Ез(то) на (- 1 — — то) при то « 11, а плотность кондуктивного теплового по- 2 тока равна нТ!1 .
В эгом случае тоикой среде радиациоиный тепловой поток становится препебрежимым по сравнению с кондуктивиым даже при малых значениях У, поскольку то « 1- На фиг. !2.2, заимствованной из работы [20], ппиведены значения кондуктивно-радиационного параметра У в функции температуры для водяного пара, аммиака и углекислого газа при давлении 0,101 МН1'мз (1 атм).
При этом при расчете У полагали и = 1 и заменяли [1 на и, поскольку показатель преломления газов близок к единице, а рассеяние излучения молекулами газа несущественно, если газ не содержит рассеивающих частиц. Заметим, что параметр дг для газов является теплофизической характеристикой вещества и в сильной степени зависит от температуры, как это видно из фиг. 12.2. Безразмерная плотность потока результирующего излучения 1)" (т, й) и безразмерная пространственная плотность падающего излучения 6*(т, 9) в уравнениях (12.5) и (12.7) связаны с интенсивностью излучения Т(т, р, 9) соотношениями 1 2п ~ 1 (т, р, с) р др 44 (т, 9) = з 4 = — ~ чр(т, )з, $))заг)з, (12.11а) -1 ! 2п ~ 1(т,р,1)др б*(т, й)= з ч — = 2 ~ чр(т, )з, $) сз)з, (12.116) — ! где безразмерная интенсивность излучения ф(т, р, 9) определяется в виде (12.1!в) Для плоского слоя поглощающей, излучающей и рассеивающегз среды расположенного перпендикулярно оси От, функция ф(т, р, 9) удовлетворяет следующему уравнению переноса излучения: р 'ф (;.
" $) + Ф (т, И, $) = (1 — ы) В4(т, $) + 1 + — ~р(м, м)ф(т, р, $)ЫР, при 0(та',то, — 1()з(1, (12.12) где 0(т, й) — безразмерное распределение температуры в среде, которое должно быть найдено из решения уравнения энергии. Заметим, что уравнение переноса излучения (12.!2) является Глава !2 494 о,! (12,15) з о,о! о,оо! О ШО гоО ЗОО 400 ЗОО Т,'С (12.17) О()= — '— = О, при Т Т Т О( ) = — *=О, при (12.
18 а) (12.186) я=О, т = то или Я'= — — 0 (т) — „ 4 з д9(т) В (12. 20) фиг. 12,2. Значения параметра йГ для аммиака, углекислого газа и водяного пара при давлении 0,101 МН/м' [! атм) [20[. стационарным, хотя уравнение энергии (12.5) [или (12.7)] зависит от времени. Как отмечалось в гл. 8, это связано с тем, что излучение распространяется со скоростью света, и потому связанные с переносом излучения нестациоиарные эффекты пренебрежимо малы, Интенсивность зр(т, )х, $) зависит от $, поскольку температура 0(т, $) зависит от $; следовательно, время входит в уравнение переноса излучения просто как параметр.
При стационарном распределении температуры 0(т) уравнение энергии в виде (12.5) или (12.7) упрощается и сводится соответственно к виду дд9(т) 1 НО (т) [ Н( ) О (12.13) дть — м [О (т) — б*(т)] + Н(т) = О. (12 14) пи 9 (т) 1 — гз ПЛОТНОСТЬ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА В большиистве практических случаев представляет интерес плотность результирующего теплового потока. После того как путем совместного решения уравнений энергии и переноса излучеиия найдено распределеиие температуры, можио получить Теплаираваднасть и излучение в непрозрачных средах 499 плотность результирующего теплового потока д путем сложения кондуктивной и радиациоииой составляющих: дТ д = — /г — + д'.
ду Это же выражеиие в безразмерном виде записывается следующим образом: (](. ~)= — „', = — ",","+ —,'б]'(. Д. (12И6) При больших значениях Аг (т. е. при Аг- оо) радиационный член исчезает и уравнение (12.16) сводится к уравнению только теплопроводности. 12.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТОМ СЛОЕ В настоящем разделе будет рассмотрен метод определения стационариого распределения температуры и плотности результирующего теплового потока при совместном действии теплопроводности и излучеиия в приближении оптически толстого слоя. Предположим, что слой является оптически толстым (т е [)1, = = то'»'!) и серым, имеет черные границы т = 0 н т = то, которые поддерживаются при постоянных температурах Т! и Тг соответственно, и что объемная мощность внутренних источников эиергни постоянна и равна Й.
Уравнение сохранения энергии записывается в виде [см. (12.13)] — — — Я'(т)~+Н=О при 0(~т(~то Ы Гд9(т) 1 дт ! дт ЗГ при следующих граничных условиях: где ҄— определяющая температура, а выражения для безразмериых величин приведены выше [см. (12.6)]. Плотность потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя равиа [см. (9.25)] (12. 19) Глава /2 49В (12.29а) (12.296) е=е, е=е, (12.23а) (12.236) при Ч= О, при «1=1, (12. 24) (О) 4 (12,25) (12. 32) д(ч)е ! 4 з 1 де (ч) УГ, ( ВЗС Ч 1 дч (12.33) и (е) = ~ й,(е')(е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
