Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 75
Текст из файла (страница 75)
о (12.26) Нт' при 0 <ч <1, (12.27) дч' ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗ«УЛЬТАТОВ 1 0 + — 0'= — и, при эу ' 1 Ч = О, (12.28а) Е + 04 и при 1 асу Ч = 1. (12,286) Подставляя (12.20) в уравнение энергии (12 17), получим дт Е1+ з,у ез) ~+Н=О при 0<т<то. (12.2» Это уравнение можно записать в виде д [й, (О) — „~ = — Нт, 'при 0 < Ч < 1 (12.22) при следующих граничных условиях: где новая независимая переменная Ч и эффективный коэффициент теплопроводности й,(0) определяются следующим образом; Уравнение (12.21) эквивалентно уравнению стационарной теплопроводности с зависящим от температуры коэффицнентом т еплопроводност н и постоянной объемной мощносз ьао внутренних источников.
Для решения уравнения (12 22) введем новую зависимую переменную и(0) [21] Тогда уравнение (12.22) и граничные условия (12.23) преобра- зуются к виду и= ~ й,(е')(е'= о е, и= $й,(е')с(Е'= 9 Теплопроводность и и«лу«ение в непрозрачнслх средах 497 Решение уравнения (12 27) с граничными условиями (12.28) имеет вид ГГт,з и = и,(1 — Ч)+ и~Ч+ —, Ч(1 — Ч) . = е,(1 — ч)+ е.ч+ —,',р! — ч) е',+ че1+ + 2 ч(1 ч)' После подстановки (12.25) в (12.26) получим выражение для перехода от и к 0: .=О+ —,',О, (!2.30) а из (12.296) и (12.30) соотношение для распределения температуры 0(ч) в слое е+ — е = 1 зу 1 ч), +Не, + —,~ ~(! — )е, +чеП+ —,'ч(1 — ч).
(12.3» Из (12.16) и (12.20) следует выражение для плотности результирующего теплового потока 41(т) в среде ~"', =-Г'+А'Ч "" Заменяя в качестве независимой переменной т на 41, получим поскольку то = 81,. Наконец, определив производную с(0/с(Ч из (12.3» и подставив ее в (12.33), найдем плотность результирующего теплового потока: =(е,— е,)+з! (е',— е,)+[ч — —,]и ,'. (12.34) Г Математическая формулировка одномерной задачи о совместном действии излучения и теплопроводности [уравнения (12.22) и (12.23)] такая же, как н задачи о переносе энергии при течении Куэтта с учетом излучения Член, учитывающий внутреннее тепловыделенне в данной задаче эквивалентен члену, обусловленному вязкой днссипацией энергии, в задаче о течении 499 Т 72 Теллолриппднпсго и излучение в непрозрачных средах 7,0 0,9 о,в и од О,б 0,5 0 0,2 0,4 о,б 0,8 7, 0 41=5 фнг.
!2.3. Сравнение распределений температуры в плоском слое, полученных в приближении оптически толстого слоя н в результате точного решения 1221, приближение оптически голсчого слоя: -- — точное решение, ч, 707 — — чочпое решение, ге=7. Куэтта. Поэтому мы представим ниже некоторые численные результаты, полученные Вискантой и Грошем [22] для случая, когда днссипацней можно пренебречь !т.
е. Н = 0). На фиг. !2.3 сравниваются распределения температуры в слое прн совместном действии теплопроводности и излучения, полученные в приближении оптически толстого слоя и в результате точного решения задачи при постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии тепловыделения (т, е. Н = 0). В качестве определяющей температуры используется температура Та границы т = то !т. е.
Т„= Т2). На этом графике приведены результаты для А7 = 0,01, 07 —— 0,5 и 02 — — 1,О. Значение А7 = 0,01 соответствует случаю, когда преобладает перенос энергии излучением. Точное решение для т, =!О больше соответствует приближению оптически толстого слоя, чем точное решение для то = 1; поэтому распределение температуры, полученное в предельном случае оптически толстого слоя, лучше согласуется с точныч решением для тс — — 10 Однако градиенты температуры на стенках, вычисленные в приближении оптически толстого слоя, значительно отличаются от результатов точиого расчета; это может 12.3.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕИ И ИЗЛУЧАЮЩЕИ СРЕДЫ, ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ Найдем точное решение сгационарной задачи о совместном переносе тепла теплопроводностыо и излучением в слое поглощающей, излучающей, нерассеивающей серой среды, оптическая толщина которого равна то, Будем считать, что теплофнзнческие свойства постоянны, а границы т = 0 и т = то поддерживаются при постоянных температурах Т, и Т, соответственно и являются чернымн. Геометрия задачи и система координат представлены на фиг.
!2.1. Стационарное одномериое уравнение энергии при постоянном коэффициенте теплопроводности и отсутствии внутренних источников энергии имеет вид а 91~) ! 4774 !ч! при 0< <т, !!2.35) 4722 57 47 с при следующих граничных условиях: Е(т)= — =Е, при Т7 Те 6 (т) = — ' = 1 при Т; !! 2.36а) (12.36б) т=О, т=тог где в качестве определяющей температуры выбраиа темпера- тура Т, и введеиы следующие безразмерные величииы; йн 2- З 4л аТ ч' !2) 2 — 4 4л дТ2 44т = 74 4!у, т, = йй. !12.37а) !!2.376) !12.37в) Член с!7;!г/с!т для поглощающего и излучающего слоя, на граиицах которого интеисивность излучения не зависит от направле- 7ривести к значительным погрешностям при расчете теплообпр мена на стенке. Такое расхождение следовало ожидать, п- оскольку приближение оптически толстого слоя несправедливо вблизи границ, что существенно ограничивает область применимости этого приближеиия, особенно когда влияние излучения значительно.
Глава !р т,о б(о' (т) 0,9 о,в 51.1 или б((2' (т) дт О,т 0,6 О,в о 0,5 т тб ),о т,о 0,9 о,в 5(т) 0,7 0,6 0,5 о 0,5 2 то ,о ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ния, согласно (8,95), определяется в виде = 4пгоТ' (т) — 2 [и гаТВ)Ег (и) + игоТ42ЕЕ (то — т) + -Щ- [ 'Вг'Щ ')Е,(٠— 'Щ)б '] ((2.22 ) о -84(,) —,' ~ЕЕ,( )+ Е,ГТ, — ~+ .Ю-[В'(В)Е,(٠— 'Цб '], П22221 о где показатель преломления п считается постоянным, Теперь мы имеем полное математическое описание задачи, Распределение температуры в среде получается из решения уравнения энергии (12.35) с использованием граничных условий (12,36) и выражения (12.385) для ([(,17(([т. После отыскания распределения температуры плотность результирующего теплового потока определяется из выражения О (т) ДО (т) йиг, д + й( 'с (т)' (12. 39) где плотность потока результирующего излучения может быть определена из выражения (8.84), а именно т В'( ) =-2~ *Вгл().Щ-[ Вбг(,)Е( — )б ]— о т — 2 [,'Вг(е,(,— )-щ-[Фбг( '1е,щ ' —,)б,] 02АВв т ил и о()= —,[Ве,()-,-12'(В)е( — ')б,]— о — 2 1Š٠— ) Щ-[В ('12 ( ' — )б '].
()2АВб) Получение аналитического решения рассмотренной задачи о совместном действии теплопроводностн и излучения весьма маловероятно. Однако с помощью быстродействующих элек- фиг 12 4 РаспРеделениЯ темпеРатУРы в плоском слое поглоп(ающей и излУ- чающей среды при совместном переносе тепла теплопровопяостыо и излучением, 9) = 9,9, 92 = 1,О, е) = е, = 1,О [1).
502 Глава !2 ЗОЗ (! 2. 42 а) (12.426) тронных вычислительиых машии оиа может быть решена численно. Висканта и Грош [1), проинтегрировав иитегродифференциальные уравнения (12.35) и (12 386) по т от 0 до т, преоб азовали их в нелинейное интегральное уравиение Фредгольма относительно 0(т). Постоянные иитегрироваиия были определены с помощью граничных условий (12.36). Полученное интегральное уравнеиие решалось численно итерациоиным методом.
а фиг. 124 показаны распределения температуры 0(т) в слое для оптических толщин то = 0,1 и 1,0 и ряда значений параметра Ас. В качестве граничных условий для этих расчетов принимались 0~ = 0,5 и 0с — — 1,0. На обеих фигурах кривые, соответствующие Ас ) !О, совпадают с распределением темпера- С туры в случае одной только теплопроводности (т. е. при Ас=оо). уменьшеиием Ас возрастает различие в профилях температ ы при наличии излучеиия и без него Для заданного Ас различие больше при то = 1,0, чем при то = 0„1. Например, при Ас = 0,0! максимальное Расхождение составлЯет всего около Зоьо п и то — — 0,1.
Сл чай ьу = о = , . Случай ьу = 0 соответствует переносу энергии только ол ььо при излучением. Градиенты температуры на холодиой стенке при наличии излучения больше, чем в случае одной только теплопроводности; однако на горячей стенке они могут быгь и больше и меньше в зависимости ог величины параметра Ас. 12.4. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ИЗЛУЧЕНИЕ В СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ.
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ Р ассмотрим методы получеиия точиого решеиия стационарной задачи о совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в слое поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей серой среды, оптическая толщина которо о в рог равна то. раницы т = 0 и т = то являются непрозрачиыми, серыми, диффузно излучающими и диффузно отражающими и поддерживаются при постоянных температурах Т~ и Те соответственно.
На ф . представлены геометрия рассматриваемои задачи и сифиг. 12 1 стема координат. В настоящем разделе будут рассмотрены двз различных подхода к решению радиационной части задачи. В методе ! используется подход, описанный в гл. 8; в м 2 использ гл.; в методе 2 в гл. 10. уется разложение по собственным фуикциям, о писанное МЕТОД 1 Стационариое уравнение эиергии при совместном переносе тепла теплопроводностью и излучением в предположении постоянного значения коэффициента теплопроводности и отсут- Теплопроводноссь и иэлуненас в нспроэрачныл срсдал ствия внутренних источииков эиергии записывается в виде [см.
(!2.14)] — [04(т) — 6'(т)) при 0<т<то (!2.41) при следующих граничиых условиях: 0()=1 при т= О, 0(т)= — '=О, ри =т,, Т, где 0(т) и У описываются выражениями (12.6), в которых Безразмериая простраиствениая плотность падающего излучения 6*(т) связаиа с иитенсивносгью излучеиия Т(,т ц) соот- иошеиием 2я ~ ! (т, 1ь') д!ь' 6'(т) =,, = — — ~ ф (т, 1ь') с(1ь'. (12.43) оп дг~ 2 Фуикция ф(т, 1ь) удовлетворяет уравиеиию переноса излучеиия 1 +ф( '(ь) ( ) () 2 дт при 0<т<т, (12.44) при следующих граиичиых условиях: ! ф+(0) =е, + 2(1 — е ) ~ ф (О, — цс)1ь'аь1ь', 1ь > О, (!2 45а) о 1 ф (т,)=ест~+ 2(1 — ес) ~ ф~(то, р')р'с(Р', 1ь < 0; (!2.456) о при этом предполагается, что справедлив закон Кирхгофа, а отражательная способность р заменена на (! — е), поскольку граиицы непрозрачиые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
