Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 70
Текст из файла (страница 70)
решение однородного уравнении (10.206)] 7(с, )с) = А + В(т — )с)+ ~ А(т!) !р(т), )с) е — т!ос)т) + о 466 Глава (! ! ) у(р)Ф о (11.13 1) р(ч, — р)=ч( — ч, 9), р( — ч, — р)=р(ч, р) (11.130а) (11.130б) ~ 'т' ()т) )Р (Ч 1о) тт1". о (11.134) После того как найдены частное решение н коэффициенты разложения, рассчитывается угловое распределение интенсивности излучения 7(т, )т) по формуле (11.124), плотность потока результирующего излучения по формуле (11.117), которая принимает вид о) ) т!)=2 [ — — Вт )т,),~)рш~], )1).126) — ! а распределение температуры по формуле (11.121), которая при- нимает вид ! атьг! (т) е (т) 1 ! + — ~2А + 2В + ~ А(т1) е !ч )ТЧ + о ! )- (А! — и) "'ае-)- () ),~)а~]. )11Атт) о — ! Рассмотрим теперь способ определения коэффициентов разложения.
Подстановка решения (11.124) в граничные условия (11.123а) и (11.123б) дает соответственно (! — 7, (О, р) + рв — ~ А( — ч) Ф( — ч, р) тч = о ! =А+ ~ А(т1))р(ч, р))ТЧ, р >О, (11,128) о тр(то — р) — 1! — ~ А(Ч)е-тпч)р( — Ч р),уч о ! =(А+ Вто) + ~ А( — т1)е"~ч)р(Ч, р) )1Ч При этом использовались соотношения взаимности Заметим, что правые части уравнений (11.128) и (11129) имеют тот же внд, что и разложения (10 22б) в половине интервала для случая о) = 1; согласно теореме о разложении в пбло- вине интервала, сформулированной в гл. 10, это разложение носит достаточно общий характер, чтобы предсгавить произвольную функцию [т.
е. левую часть (11.128) и (11.129)], определенную в интервале р ~(0, 1). Используя свойство ортогональностн собственных функций н различные интегралы нормировки, приведенные в гл, 10 для о) = 1, с помощью уравнений (11.128) и (11.129) можно определить коэффициенты разложения; ниже будет описано, как это делается. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ КОЭФФФИЦИЕНТОВ Для определения дискретных коэффициентов А и В преобразуем обе части уравнений (11.128) н (11.129) с помощью опе- ратора Получим соответственно о) ! ! ~, — ~ 7, (О, р) у (р) Тр + Ву!') — ~ А ( — Ч') о о (11.132) ! ! ~7,(то, — р)у(р))ТП вЂ” Вун' — ~ А(Ч')е 1' " о " т(Ч о о = А + Вто.
(1! .133) Таким образом, нам удалось выделить коэффициенты А и А + + Вто в правую часть выражений (11,132) и (11.1ЗЗ) соответственно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Для определения непрерывных коэффициентов А(ч) и А( — Ч) преобразуем обе части уравнений (11.128) и (11.129) с помощью оператора Используя различные интегралы нормировки н меняя местами Ч и Ч' в результирующих выражениях, уравнения (11.128) пре- 469 образуем к виду 'о) щем виде: ~ та (0«)х) у ()х) )р (Ч )х) тт)х о (П.!36) Х( ) 3 ч«3 о (Ч) от=1« (11,138) (11.139) 3 ч)' 3 а у)п определяется в виде — В ~ — ~ А( — Ч )4,) Х( — Ч )ттч = А(Ч) ) ), (11.135) о ! — ~7,(» — р)у(р)р(ч, р) Т + о ! +  — — ~ А (Ч') е тнч' 4 ( +, Х( — т)') )ТЧ' = А( — т)) етнч о 4(в+Ч') ) 3(1, ч)' Т аким образом, нам удалось выделить коэффициенты А(ч) и А ( — т)) в правую часть выражений (11.135) и (11.136), Функция д(1, Ч) определяется уравнением [см, (10.86б)) — = (1 — т) Агс()) Ч)а + ( — ~) .
(11.137) Функция Х( — Ч) и у(ч) связаны с функцией Чандрасекара Н(р) [см. (10.38в) и (10.29в)) соотношениями ! ' — = ] М а( = —,3 1 гН ФФ=А Н«. ЦАЮ о о Уравнения (11.132), (П.133), (11.135) и (11.136) представляют собой систему с четырьмя неизвестными: А, В, А( ) А( — ). одытоживая результаты, перепишем эти уравнения в следую- Геплаабмен излечением в непрозрачных средах ! л — в = [), — 1 ),!«, «) «)«) л«) — —, 1 «х! — «) А ! — «) е«' о о (11.141) ! лв)т' а .)в — [),— () )н, — «)т)«)е«] о — — ~ т)'Х( — т)') е т«)ч'А (Ч') )ТЧ'«(11.142) а г ! А(ч) ~17,(0, м)у(р)р(ч м)ТН+ о .! «в.!.
«(" ) «А) — «')е«'] ° ))) )««) о р 1 А( ч) ет«)ч = — ' ~ ~ Тр(»о )х) У (Р) Ч) (Ч )х) о ! ч В ( "! [ ч л( Ч ) е-тбчА(Ч')т(Ч' . (П.144) 2 4 3 Ч+Ч о Если найдено частное решение Тр(», )х) уравнения (11.122) при заданном свободном члене этого уравнения, то уравнения (11,141) — (11.144) могут быть решены численно методом итерации, и коэффициенты разложения могут быть получены с любой требуемои точностью.
Зная коэффициенты разложения, по формулам (11.! 24), ( П.126) и (11.127) можно рассчитать интенсивность излучения г(», )х), плотность потока результирующего излучения с)"(т) и распределение температуры Т(») в среде. Для простоты мы в своем анализе ограничились лишь случаем черных границ. Примененный подход можно без труда распросгранить иа диффузно и зеркально отражающие границы. АНАЛИТИЧЕСКИЕ НРИЬЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Для решения системы уравнений (11.141) — (11.144) можно использовать также аналитические приближенные методы, которые позволяют получи)ь коэффициенты разложения с достаточной точностью. В работах [25, 28, 30] получены такие приближенные решения. Для только рассеивающей (консервативной) Теплввбмен излучением в непрозрачных средах 471 ! (11.145) А' ' (ч) = А'и (- ч) = о. Тогда дискретные коэффициенты легко найти из системы урав- нений у =1! ~ р(0, !О) у(!О) (()х, (11,146а) о + [у + то] В = (Π— ~ вр (то !О) у (!О)(т!х (11 1465) о где надстрочный индекс (1) при коэффициентах разложения означает порядок приолижения.
б) Приближеиие второго порядка, Выражения для непрерывных коэффициентов в приближении вгорого порядка получаются, если в уравнениях (11.143) и (! 1,144) пренебречь всеми интегралами, а для дискретных коэффициентов использовать приближение первого порядка: р 1 " '(") = — „,') [] ' (в в) в(в) ч(в, в) лв -~ ~ в~ ~]. б(1,ч) ' О (11.147а) ! []( (, — в)э(в)вь ч)лв — —," в )]. уч й(! ч) о (11.147б) Выражения для дискретных коэффициентов в приближении второго порядка получаются из уравнений (11.141) и (11.142) после подстановки в них непрерывных коэффициентов во втором при- среды (О) = 1) приближение самого низкого порядка дает лучшие результаты, чем классическое диффузионное приближение, а приближение второго порядка обеспечивает высокую точность.
В работе[29] показано, что для неконсервативной среды (О) ( 1) такие приближения не дают столь высокон точнссти; поэтому мы их не рассматривали в равд, 1!.6. а) Приближение первого порядка. Выражения для дискретных коэффициентов в приближении первого порядка получаются, если пренебречь в уравнениях (11,141) — (11.144) всеми непрерывными коэффициентами, г. е. ближении, что дает ! Агм — !' 'В"' =[(,— ]I (в, в)в(в)вв]— о ! — — ~ Ч'Х( — Ч') Асп ( — Ч') ЫЧ (11.148а) о А(') + [у("+ со] Всц = ! ="[Π— ~ 1р(то, — !О)'у(!О)4с! — — „~ ч'Х( — ч')е чиОА")(ч')(Тч'.
(11,148б) ОБСУЖДЕНИЕ Р ЕйУЛ ЬТАТОВ В большинстве практических приложений представляет интерес плотность потока результирующего излучения в среде. Если использовать приближение первого порядка, из выражений (11,126) и (11.!46) можно получить выражение для плотности потока результирующего излучения в первом приолижении: в" () — в, [ — -,'в' Ч ]((,, „)ввв], (!!!(в) — ! где ! ва»=, ' [(),— )).~]Р,(в, в) — (,(ч, — в))ч(в)лв], (11.149б) Принимая плоэпость потока объемного излучения внутренних источников энергии постоянной, т.
е. 9(т) = до = сопз1, получим частное решение уравнения (11,122), согласно табл. 10.6, в виде 7 ('с, )с) = — — ' [ — т' — т)с + !ОО) . (11.150) Тогда в (11.149) отдельные члены определяютсч следующим об азом: Р 7 (О, !О) — — — )с, ЗЯО ! ~ [1Р(0 !О) Р( О )х)]Т(!4) !х 4пр ! 2 О+ Оу О ! у (т) Р( ' ! )! ! 2п[) о (11.15!а) (11.151б) (11.151в) (11.151г) (11.15 1д) 472 Глана (! Подстановка (! 1.151) в (! 1.!49) дает выражение для плотности потока результирующего излучения при постоянной плотности потока обьемпого излучения внутренних источников энергии: 14(г(«) 4П (г — (Г (( («о «) (11 а при отсутствии внутреннего тепловыделения выражение (11,152) упрощается к виду П(г 4 4 л (ОТ, — ога) 3[27 '1-1- «О] 3(1,4209+ го) поскольку пзпс 34 и (=1 или 2 и ТО!=0,71044 ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
