Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(;) (О) = 1 — 2 ~ О (т') Е, (т') с/т', о 1,)е (О) = — 2 ~ О (т') Е, (т') с/т', (11.29) о а определение функций 0(т) и Ое(т) уже было дано ранее. Зная плотность потока результирующего излучения с/"(О) на стенке т = О, можно сразу же найти величину д'(то) на стенке т = то, проинтегрировав (11.21) от т = О до т = то.
В результате получим Хислет и Уорминг [15] показали, что функции 0(т) и Ое(т) можно выразить через табулированиые функции Х()л, то) и у()л, то) для изотропного рассеяния ч, и, следовательно их можно рассчитать с высокой степенью точности, Если через а„(то),и Ви(то) обозначить моменты и-го порядка функций Х и у, а именно то функции О, Ое, О и Ое для т = О можно рассчитать мулам [15] 1 1 0(О) =-;~~(~~) 0(то) = — 2~ (то) Е,(О)=Е,(,)=, ',, (ч) (О) =])о ( го) [аь (то) + Рь (то)] 1 1,)л (О) = 2 то В табл. 11 2 приведены численные значения ао, 1/4ро, а, + Р, н ~о(а~ + ~,) для значений то от 0,1 до 3,0.
При то ) 3 эти вели- чины можно рассчитать по асимптотическим выражениям, при- веденным в конце таблицы. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1,1419 1,2228 1,2838 1,3331 1,3746 1,4103 1,4692 1,5163 1,6024 1,6615 1,7051 1,7386 0,2914 0,3217 0,3491 0,3749 0,3998 0,4240 0,4711 0,5170 0,6289 0,7388 0,8480 0,9568 1,0672 1,0926 1,1080 1,1185 1,1259 1,1316 1,1392 1,1440 1,1501 1,1525 1,1538 1,1542 0,9157 0,8491 0,7934 0,7458 0,7040 0,6672 0,6046 0,5532 0,4572 0,3900 0,3401 0,3016 437 1,ОО модель Л а„ 1 ол и» 2 — О ага й» 2 =вы О,з Т(т) 72 0,7 0,6 где 2) 1,0 Т (с) 1= Т, » (11.37) 0,9 (11.38а) 0,8 (11.38б) Т(т) Т2 Цт (11.38в) йу 21 = —— 'пТ 0,8 О 0,2 0,4 0,6 Цз 1,О то олн О Цз Ц4 0,6 06 1,0 т то б Теплообмен излучением и непрозрачных средах Фиг. 11.4.
Сравнение распределений температуры, полученных для двух вариантов модели двух полос и модели серой среды 117], а †распределен температуры при тв= 1, тбт»=5,5» 6 †распределен температуры при т»-э, ТРТ,=О,5, модель А, — — — — молель В, — — — модель серой среды; а †д варианта модели леул полос и модель серой срелы.
ЗДЕСЬ 0(т) Н 06(т) — уННВЕрСаЛЬНЫЕ фуНКцИИ, Мт =аД, а ат Прнннмает только два значения: О и 1. При проведении расчетов функции 1(т), [1 и [2 удобно привести к безразмерному виду, отнеся их к 0Т2]ур. Тогда (11,34) принимает вид = 0 (т) +, Он (т), (11.36) Р (1,) — Р (1) [Р, (Т,) — Р (1)) 26Т2 «171 »111= — а)'.,( — '„', '[, *,н*), ('1 — 1)!1 и «1711 н,р,)— = »12 .,( 7— „'в [,,*', н*). '-1 (« — )Д /и »,Д1-~н(~ы ) ...н*).
1 1 причем 7) и 72 — постоянные. Планка и Больцмана, а ат — значе- НИЕ бт„В ИитЕРвале частот тт 1 — ть Уравнение (11.36) было реп)ено численно для нескольких различных вариантов модели двух полос [17] с помощью метода, описанного в работе [361 Полученные результаты были сопоставлены с результатами региения для случая серой среды без внутренних источников, т. е. при д = О. На фиг. 11.4 срав- Теплооомвн излучением в нвпрозра4нв4н срвдал 439 Глава П 438 пинаются распределения температуры в слоях с оптической толщиной то = 1 и то в оо для двух вариантов модели двух полос (модели А и В) и модели серой среды.
Заметим, что профиль температуры для модели А лежит ниже, чем для серой среды, и приближается к профилю температуры для серой среды, когда верхний предел интегрирования г, становится бесконечным. И наоборот, профиль температуры для модели В лежит выше, чем для серой среды, и приближается к профил4о температуры для серой среды, когда верхний предел интегрирования г, стремится к нулю.
11.3, ПЛОТНОСТЪ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛОЕ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ СРЕДЪ| ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЪ| В данном разделе будет рассмотрен теилообмен излучением в поглощающей, излучающей, но нерассеивающей серой среде, ограниченной двумя параллельными поверхностями, при заданном распределении температуры. Такая постановка задачи соответствует физической ситуации, когда теплообмен излучением происходит при течении вь4сокотемперазурного поглощающего и излучающего газа с высокой скоростью между двумя параллель,ными пластинами. На фиг.
11.5 представлена геометрия задачи и соответствующая система координат. Предположим, что границы т = 0 и т = то непрозрачные, серые, излучают и отражают диффузно, имеют степени черноты е4 и ез, отражательные спо-' собности р, и рз и поддерживаются при температурах Т4 и Тз со-,, ответственно.
Распределение температуры в среде между гра- ° ницами Т(т) задано. Требуется найти 44лотносзь потока резульл тирующего излучения в среде. Математически задача описывается следующим уравнением; (1|.89) прн 0<т<т,, — 1<14<1 с граничными условиямн [см. (8.99)1 4 и ЬТ, 1+(0)=в, „' +2р, )1 (О, — )4'))4'с(14', )4 >0 (11.40а) в 2- 4 4 и дт 1 (то) = аз „+ 2рз ~ 1+(т„)4'))4'с(14', )4 < О.
(! 1.40б) с Формальное решение уравнения (11.39) рассмотрено в гл. 8; плотность по4ока результирующего излучения с)'(т) опреде- О 4рнг, П 5. Плоский слой поглощающей н излучающей среды с температурой Т (т), заключенный между отражающими границами. ляется с помощью выражения (8.84), проинтегрированного по всем частотам: с)'(т)= 224(1 (0)Вз(т) — 1 (то) Вз(то — тЦ+ 4.2 у (Г,~т( 'ззн — чз ' — (Г,цт( 'зз,4н — )л '$.
(а (11. 41) где и'ЬТ' (т) Для расчета д" (т) по (11.41) необходимо знать интенсивности излучения на границах 1+(0) и 1-(то). Рассмотрим случаи а) черных границ, б) диффузно излучающих и диффузно отражающих границ. а) Черные границы. В случае черных границ интенсивность излучения на границах рассчитывается с помощью соотношений Подставляя (11.42) в (11.41), получим плотность потока результирующего излучения в слое. б) Днффузно излучающие н днффузно отражающие границы, В случае диффузнг отражаю4цих н диффузно излучающих границ уравнения для опредеаения 1н(0) и 1 (тв) можно полу- и' Т4 1 (0)="'„", 2- 4 и ОТ2 1 (то) = (11А2а) (11.42б) Глава 11 440 Теплообмен излучением а непрозрачнмк предок 44! чить, если проинтегрировать (8.110) по всем частотам.
В результате получим 1'(0) = е,1,(Т,) + -) гр [! ),)е )ч) щ. ] Г)т) '))л ) ')л ', )))43 ) о Решение системы уравнений (11.43) дает искомые выражения для интенсивностей излучения на границах. С другой стороны, этн же результаты можно получить нз уравнений (8 108), если опустить в ннх частотную зависимость и заменить для поглоща>ощнх н излучающих сред функцию источника В(т) на 1ь [Т(т)]: е,1ь(т,) + 2Р е.
(т.) е,1ь (т,) +2ш [А+2р,е, (т,) В[ „44 (11.44а) ! — 4Р)Р>Е3 (то) — ег!ь (Тг) + 2ргЕз (то) е)1ь (Т) ) + 2рг [В + 2р)Ез (то) А1 (то!— 4Р)рздз (то) где А = ~ 1ь (Т (т')] Ег(т') о(т', о (11.45а)  — = ~ 1ь(Т (т')] Ег(т — т') о(т'. (11.45б) о и дТз 1ь(Т,) = ', !'=1 или 2, (11. 45в) (11. 45г) 1ь[Т(т)] = " Подставляя (11.44) в (11.41), получим следующее выражение для плотности потока результирующего излучения д'(т) в слое поглощающей н излучающей среды с диффузно излучающими 1 (то) ег1ь(Тг)+ ( ° "...1 + 2р, ! 1 (О) Ез(то) + ~ 1ь[Т(т')] Ез(то т')а)т' > ° (11.43б) о н диффузно отражающими непрозрачными границами '>: е)1ь (Т)) + 2Р)Ез (то) ег>ь (Тг) + 2р) [А + 2ргЕз (тз) В! 1 — 4Р)ргдз (то) — — (Тг) + 2Р)Ез (т)) )!ь (Т ) + 2рг [В + 2 — 2пЕз (то — т) ! — 4Р)редз (то) +2>т ~ 1ь]Т(т)] Е,(т-т )о(т' — 2п ~ 1ь(Т(т)] Ее(т' — т) о(т'.
(11 46) о Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Среда с постоянной температурой. Для среды с постоянной температурой То 2- з и дТо 1ь]Т(т)] = 1ь(Т,) = — = сопз1. (1 1.47) ~ 1ь(То) Ег(т — т') о(т' =1ь(То) ~ 2 Ез(т)~, (11.48а) о г, ~ 1ь (То) Ег (т' — т) о(т' = 1ь (7 о) ~ 2 — Ез(то т)~, (11. 48б) А =- В = 1ь(То) ~ 2 — Ез (то)~. (11,48в) после чего выражение (11.46) принимает вид г)'(т) = 2"Ез(т) Х е)1ь (Т)) + 2р)Ез(то) ег!ь(Тг) — 1ь (То) Н! Р)) +2р) (! — Рг Ез(то)) х ! — 4Р) Радз ('о) 2 — 2>тЕ~(то т) Х е,(ь (Т, + 2ргЕз (то) е)1ь (Т)) — 1ь (То) Н ! — Рг) + 2рз (! — Р)) Ез (то ) ! — 4Р,Р,Ез( о) (11.49) Если теперь предположить, что границы черные (т.
е. р, = рг = = 0 и е) = ез = 1), то выражение (11.49) упрощается и при- нимает вид г)'(т) = 2>тЕз(т) [1ь(Т)) — 1ь(Т,)]— — 2зоЕз (то т) [1ь (Тг) 1ь (7 а)] (11 50) Тогда интегралы, входящие в выражение (11А6), можно определить следующим образом: 443 Теплвпбнен иэлунениезз п непрозранны е вредин 442 Глава !! Прозрачная среда. В случае прозрачной среды, заключенной между двумя непрозрачными, диффузно отража!ощими и диффузно излучающими параллельными границами, выполняется условие к = О.
Тогда т = то — — О, Ез (т) = Ез (го) = Ез (0) = — ° (11 51) 1 Подставляя (11.51) в (11.45) и заменяя р, и р, ьа 1 — е, и 1 — е соответственно, получим 11.52 я[!з(Т!) — !з(Тз)] аТ, — дТ,' (1(е1) + (1/вз) — 1 (1(ей+ (1)ез) — 1 ' Это выражение для плотности результирующего потока излучения между двумя параллельными серыми днффузно отражающими н диффузно излучающими бесконечнымн пластинами, разделеннычи прозрачной средой, можно найти в любом учебнике по теплообмену, 11.4. СЛОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ, ИЗЛУЧАЮЩЕЙ И ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЫ С ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТЕМПЕРАТУРЫ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ Р1-ПРИБЛИЖЕНИЯ В настоящем разделе будет использовано Р,-приближение метода сферических гармоник для нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения для плоского слоя поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей серой среды с постоянной температурой То.
Граничные поверхности 1 и 2 с координатами т = 0 и т = то поддерживаются при постоянных температурах Т, и Т, соответственно. Предполагается, что поверхности серые, диффузно излучающие, имеют степени черноты, равные е! и ез, а их отражательные способности выражаются как сумма диффузной и зеркальной составляющих р, = р,'. + рв, ! = 1 или 2. Математически рассматриваемая задача может быть описана уравнением д!1(т, !з) дТ4 ео дт ('1") ( ) я +2 ~ ( (з)а(з — 1 при 0(т(т,, — 1<ц <1 (11.53а) где Ко=3(1 — оз), оз < 1. Используя метод Маршака, можно преобразовать )словия (1153б) и (11.53в) к виду' ! ° 1.— — 4 а,6 (т) — Т! Ь! б ] = 4е,йТ!, где а — = 1 — р' — ра, ! = 1 или 2, ! (' Ь вЂ” = 1 + р,' + ра, ! = 1 или 2. (11.55б) граничные (11.55в) (11.55г) (11.55д) (1 1.55е) с граничными условиями з 1 1(0, (з) = е, — ' + рв! (О, — (з) + 2р", ~ Т(0, — (з) (з' а!)з', )з ) О, о (11.53б) ! Т(то )з) =аз ' +Раб!зете (зх!+2Рз ~ еехто (з'хт(з'Ф', (з ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
