Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 67
Текст из файла (страница 67)
о (11.53 в) Для простоты принимается а = 1. При такой общей постановке задачи можно рассмотреть несколько частных случаев. Например, ре= рв = 0 — только зеркально отражающие границы; р,'= р! з = р, '= 0 — только диффузно отражающие границы; р,' = р,' = =р! = =ре=р,"=е =е =0 — прозрачные границы и т. д.
Данная задача будет решена с помощью Рпприближения метода сферических гармоник, в результаге чего будут определены угловое распределение интенсивности излучения и плотность потока результирующего излучения в среде. Согласно (9.1195) и (9.123), плотность потока результирующего излучения д'(т) и интенсивность излучения Т(т, (з) в рамках Рппрнближения определяются следующим образом: 1 (11.54 а) 4я ] 6 (т) (з лт 1 (11.54б) где 6(т) — пространственная плотность падающего излучения.
Уравнение переноса излучения (11.53а) преобразуется к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно 6(т) [см. (9.120) и (9.150б)]: , ) — Кз6(т) = — Кз4оТ4 при 0~(т(т, (11,55а) Глава !) 444 Теплообмен излучением в ненрозрачнвсх средах 445 (11.59в) ~'1, ! Б ( О, с~/. После того как в результате решения уравнений (11.59) получены функции 4!с(т) (1 О, 1 или 2), можно рассчитать пространственную плотность падающего излучения 6(т), интенсивность излучения 7(т, р) и плотность потока результирующего излучения с)" (т) в среде по формулам 2 6 (т) = 4 ~ е,дтл!у, (т), (11.60а) с-о 2 Т(т, р)= — ~~~ егдт4[$,(т) — р ' 1, (11.605) г-о 2 ~е(т) 4 ~ дт дзр! (т) (11.60в) с-о гдее, 1и! О, 1или2.
Удобно разбить общую задачу, описываемую системой уравнений (11.55), на более простые задачи путем введения новых зависимых переменных: 6(т)=6о(т)+6 (т)+6 (т), (11.56) где функции 6е(т) (! = О, 1, 2) представляют собой решения трех простых задач Кз6, (т) = — Б„Кз4дтео при 0~ (г ~(т„(11.57а) [аз6! (т) + — Б, „' ~ = Б,.4е, дТ4 (11.57в) где!=0,1или2.
Теперь введем новые безразмерные функции !р,(т) (! = О, 1 или 2), определяемые следующим образом: 6(т) = 4дт4гр (т) + 4есдт!ну!(т) + 4е дт4чР (т), (11.58) Тогда вспомогательные задачи, описываемые уравнениями (11.57), замеиятся тремя другими простыми задачамн: ~ '(!с (с) 2 2 К 4!с(т) = — до!К при 0~(т~(то, (11.59а) где !' ° О, 1 или 2 н Физический смысл функций 4!с(т) следующий. Функция 4!о(т) соответствует простой задаче для случая серой среды с постоянной температурой и граничными поверхностями, имеющими нулевую температуру.
Функция !рс(т) соответствует простой задаче, когда граница т = 0 поддерживается при постоянной температуре, а граница т = то и сама среда имеют нулевую температуру. Функция !рз(т) имеет тот же смысл, что н !рс(т) с той лишь разницей, что температуры границ меняются местамн. гольгсг) рдбббивд)ошдя (гсоибервдг)!видя) брбдА В случае чисто рассеивающей (т, е. консервативной) среды со = 1; тогда К=О и задачи, описываемые уравнениями (11.59), упрощаются: д'чр! (т) с!те =0 прн 0(т(т„ — 1.— а!о! (т)1 и!~ (т)- з Б! [ 2 а!)!! (т) 1 пз$ (т) + з Бз ] Б (11.61а) (11.615) (11.61 в) где ! = 1 нли 2.
После того как в результате решения уравнений (11.61) получены функции !ус(т) (! = 1 или 2), пространственную плотность падающего излучения 6(т), интенсивность излучения 7(т, р) н плотность потока результирующего излучения с)" в среде можно рассчитать по формулам 6 (,) = 4 ',Т е,дтл,Р, (т), (11.62а) ! ! 2 Т (т, р) = — „~ еедт,'~ ~, (т) — р,,', ~, (11.62б) ! ! 2 с)'= — — т е дТ' — ~! 3сч ! ! Нт (11.62в) г ! Плотность потока результирующего излучения с)" в только рассеивающей среде ие зависит от т. Это легко показать, если обратить внимание на то, что решение уравнения (11.61) имеет вид !рс(т) = с! + гот, а с)" пропорциональна с!!рс/с!т.
Решения уравнений (11.59) и (11,61) находятся просто, н нет необходимости их здесь приводить. Однако для иллюстрации -применения Р,-приближения рассмотрим задачу с прозрачнымн 'границами. 447 Глава 11 446 (11. 67 а) (11.67б) (11.64а) (11.64б) (11.64в) дгло К Г2 1(О, и) = — ' — ( — — И), н 2 [,3 1+ — К 3 (11.68 а) д'(О) = — дТ', К+— 3 (11.68б) гдв Оо (с) о]оо (т) = — 4 4дТо (11.64г) (11.65) ПЛОСКИЙ СЛОЙ С ПРОЗРАЧНЫМИ ГРАНИЦАМИ Рассмотрим слой поглощающей, излучающей и изотропно рассеивающей среды с постоянной температурой То, прозрачными границами т = 0 и т = то при отсутствии падающего извне излучения. Используя Рпприближение, найдем угловое распределение интенсивности излучения и плотность потока результирующего излучения. В случае прозрачных границ уравнения (11.57) упрощаются вследствие того, что р'=р"=в =О, где /=1 или 2 (т.
с. 1 1 1 а„=а,= (о, = (о,= 1). В результате получим — — Кхххо (т) = — К246Т~~ при 0 ~ (т ~ (т, (11.63а) (11.63в) Уравнения для 6~(т) и Оо(т) имеют тривиальные решения и поэтому здесь ие приводятся Задача, описываемая системой уравнений (11.63), симметрична относительно т = т,/2, поэтому проще рассмотреть решение в области О ( т ( то/2 с условием симметрии в качестве граничного условия при т = то/2. Заменим уравнение и граничные условия (1!.63) следующей системой: — "~'-~~' — — К'о3с(т) = — К' при 0 ~ (т ~ (-~, дт =о, дт 1т-тра Решение системы уравнений (11.64) имеет вид сь К ((то/2) — с) 47о(т) — 2 сь (Кто)2) + — К вЬ (Кто/2) 3 Тогда выражения для интенсивности излучения 1(т, )о) и плотиостн потока результирующего излучения о/"(т) примут вид [см.
Теллообмен ивлунением а неправраонмх средах (11.606) и (11.60в)] дго 1(., И)= „""[Фо(т)-,'",,"~= аТо Г сь К [(то/2) — с]+ РК оь К [(то/2) — т] , (11.66а) сь (Кто/2) + К вк (Кто/2) 3 4 4 ао(оо (т) 4 -74 К оь К((то/2) — т) 3 о дт 3 2 с)о (Кто/2) + — К о)о (Кто/2) 3 ( 11.66б) Для границы т = 0 соотношения (11.66) упрощаются: дТ„К1Ь (Кто/2) Г 2 1 + —, К 1Ь (Кто/2) 3 е/'(0) = — оТо К+ — с! Ь (Кт,/2) Выражение (11.67б) для плотности потока результирующего излучения характеризует также плотность потока выходящего излучения на границе т = О, поскольку в данном случае отсутствует падающее извне излучение.
Угловое распределение интенсивности выходящего излучения можно определить с помощью (11.67а). Для полубескоиечной среды (то — со) выражения (11.67) упрощаются Выражения (11.67а) и (11.68а) для углового распределения интенсивности выходящего излучения имеют ограничения. Согласно этим выражениям, на границе т = 0 интенсивность направленного внутрь излучения имеет конечное значение, несмотря на то что на этои границе отсутствует падающее извне излучение в направлениях 0 ( )х ( 1. Эдвардс и Бобко [13] сопоставили распределение интенсивности выходящего излучения, полученное с помощью метода моментов самого Низкого порядка (т.е метода, эквивалентного Рсприближению), с точным решением Чандрасекара [1] для полубескоиечной среды.
Расхож- Глава 11 448 Таила!|а 71Л Точность расчета плотности потока излучения с помощью Р|-приближения длн слоя с прозрачными границами 1291 а) Излучающая, поглощающая н изотроппо рассеивающая среда, ш ч 1 — о |о! Оигибл Отечи х|оо что и> Ргнриб- лиженне точнее решение о~ рв где Ргнриб- нижеине точное Решение б) Только рассеппающая среда, ш = 1, р' = р = 0 Онрибл Оточн) !х>о> О!очи Ргнриб- ннжение те шее решение 0,1 0,1 1,0 1,0 10,0 10,0 0,5 0 0,6 0 0,5 0 0,4819 0,9302 0,3636 0,5714 0,1062 0,1176 0,4780 0,9!6>'1 0,3662 0,6534 0,1015 0,11г>7 0,82 1,69 2,07 0,26 0,69 0,77 15 заи, гов денис точного и приближепиого решений для углового распре- деления интенсивности выходящего излучения оказалось значи- тельным, однако результаты для плотности потока выходящего излучения хорошо согласу|отся друг с другом.
ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТА ПЛОТНОСТИ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ Р|-ПРИБЛИЖЕНИЯ Чтобы продемонстрировать точность расчета плотности потока результирующего излучения с помощью Р|-приближеиия, рассмотрим плотности потоков результирующего излучения |70 'о(0) и 474!О) иа границе т = О, полученные в результате решения уравнений !11.59) для | = 0 и | = 1 соответственно при ю ~ 1. При этом получим !ео!О) — = = — — 1 — аз+аз с)|Кто+ — Ь,К 81|Кто), !11.69а) 47' !0) 4К 2 дгт 3!) о 3 ' 0 !е! 10) — = 4 — — — — а, с)| Кто+ — Ь>К а)| Кто), (11.69б) 0= ~а,+ 459"70') зЬКт,+ —',К (Ь.„+ — "т) ей Кто.
В случае только рассеивающей среды !т. е. ю = 1) выражение для плотности потока результирующего излучеиия с)г>, получениое путем решения уравнений !11.61) при | = 1, записывается следующим образом: (11.69в) "7 ! а,т, + — 1Ь, 4. !а,Ь,Га,)) ! — 4 3 1 Заметим, что в только рассеива|ощей среде плотность потока результиру|ощего излучения постоянна по толщине среды. В табл. 1!.3 сравниваются значения безразмерной плотиости потока излучения вычислеииые по формулам !11.69) 1т.
е. в Ргприближеиии), с результатами точного решения, получепиын|и в работе [29]. Р -прибоя>кение, по-видимому, приводит к завышению плотности потока результирующего излучеиия во всех рассмотренных здесь случаях, хотя для только рассеивающих сред точность достаточно хороша. Однако для излучающих, поглощающих и рассеивающих сред точность ие столь хороша; величина ошибки зависит о! оптической толщины, зиачеиия ю и отражательной способности граиичиых поверхностей. 06 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,6 0 0 0 0,5 0,5 0,6 0,5 О,б 0,6 0,5 Об 0,1 0,1 0,1 1,0 1,0 1,0 10,0 10,0 0,1 1,0 10,0 0,1 0,1 О,! 1,0 1,0 1,0 10,0 10,0 1 0,6 0 1 0,5 0 1 0,6 0 0 0 1 0,6 0 1 0,5 0 1 0,5 0,1810 О, 1376 0,0951 0,8142 0,7106 0,6166 0,8989 0,8989 0,1814 0,8935 1,072 0,1810 0,6839 0,9779 0,8142 0,8632 0,9076 0,8989 0,8989 0,1736 0,1316 0,0911 0,7572 0 6510 0 5591 0,8535 0,8531 0,1674 0,7806 1 0000 0,1736 0,5763 0,9616 0 7572 0,8154 0,8658 0,8636 0,8535 4,3 4,6 4,4 7,5 9,2 10,2 5,3 5,4 8,3 14,4 7,2 4,3 1,5 1,7 7,5 5,9 4,8 6,3 5,3 Глава 1! 452 Теплообмен получением в непроврачных ереван 45Э (! = 1, 2, , Ж).
В результате получаем ЛГ(т, И,) р, , ' + Т (т р ) = (1 (о) Ть [Т(т)] + 2 Х а! [р(!ь ! !) Т (т ! !) + ! ! „) Т(т, — 1ь,.)], р, ев (О, !), (!1.75а) бг(т, — гп) — И „' +Т(т, — р!)= и — (1 оо)Ть[Т(т)]+ — ~ а![р(1ь„— 1ь!)Т(т, 1ь!)+ 1=! + р(р„р!) Т(т, — р!)], р! еп (О, 1), (11.75б) где ! = 1, 2, ..., й(, Предполагая, что граничные условия (1! .71) удовлетворяются для каждого дискретного значения рп и применяя формулу гауссовых квадратур для перехода от интегрирования к суммированию, получим вместо (11.71) следующую систему 2(() граничных условий; Т(0, р,) =е(Ть(Т()+2р, ~ а!1ь!(О, — 1! ), р, еп (О, 1), (1!.76а) 1=! Т(то, — р() =е.Ть(Тг)+ 2р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
