Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 62
Текст из файла (страница 62)
72) (10.73) Х( Ч) (! 0.74) а соотношения (10.64) прииима!от вид 1 1 рр(Ч,9)!9=0, — 1 ! ~ 9'ср(Ч; !3) с!9=0. — 1 б) Половина диапазона изменения 9 (О с 9 ( 1), Интегралы нормировки для дискретных собственных функций имеют вид 1 1 Ц7 (13) Ч'(Чо, 13) с!р = Л'(Чо), (!0.67) о 1 3у (!3) 43(Чо !3) с!14 = 2 вЧо о 1 1 ~ !3М!'(9) !р(Чо П) 119 = 2 о3Чоун! о 1 1 !3 3у (!3) 43(Чо 9) с!9 = 2 вЧоу о 1 ~ й!' (~) ~ ( ) 1113 = — Ъ 1 о 1 ~ 99~ (9) Ч'(Ч 9) с! = †, Ч [у"1 + Ч вЂ” Чо[, 1 о (10.75) (10.76) (!0.77) (10.78) (10.79) Ув3— = ~ У(9)Ф=1 о функция У(!3) связана с функциями Н(!3) н Х( — !3) соотношениями (10.29).
В табл. !0.5 приведены численные значения моментов у!"1 для некоторых различных значений в о3. Приведенные выше соотношения могут быть записаны в другой форме, если учесть, что М7(!3)03(Чо !3) = 'савЧоу(11) Например, выражения (! 0.70), (10.72) н (10.73) соответственно примут вид 1 у (р) Ч (Ч, 9) с! = О, о ! ~ у (9) Ч (~ Чо, 9) с!9 — ч- —,. вЧоХ (~ Ъ). ! о 1 ~ у(!3)Ч ( Ч 9)с!9 2 вЧХ( Ч) о (10.82) (!0.83) (10.84) 1 !33(Р (1с) 1Р (Ч' !3) с!!3 2 о3Ч [У! ! + (Ч Чо) (У! + Ч)]~ (10.80) о где моменты ув1 функции у(!3) определены следующим образом: 1 у!п! — ~ !3 у(!3)с!13, и=О, 1, 2, 3 ..., (!0.8!) о и [см.
уравнение (!0.37)! Решение уравнения неленива излучения .иетадои Кейса 401 ЧГЛГЧОНЛЛ ГЧОСО г а а '»а Гч нн Ф р ло~~л~й8 ОСЧС1'ГЧНГ111О 00 00 00 со о а н о 00 Г С ~ С ~ ГЧ Г'1 ГЧ СЧ СЧ -" о о о о о о о" о о о са При в=1 эти соотношения могут быть упрощены, если раз делить обе части равенств на Ч, и перейти к пределу в — 0 1' Например, из (10.67), учитывая, что при ш = 1 т!в -о аа, 1р(т!о, !1)-о'/1 и т!оХ( — Чв)-о 1, получаем 1 оо со Гч со осанн орсо о гчздогчз ч г- Б гс- г- а сч ~-~ л ю 00осоа с с чзосоо ГСЛЛО Г, 0000 СЧ „г-, нт 1.„1 сн сн сч ес Й с'4 о !! ~ У (44) Ф = ' о (10.85) оооооооооо Подобным же образом упрощается (10.69) 1 ~ у (р)р (Ч, р)р (Ч', р) е! Г у (Ч) „" б (Ч вЂ” Ч') в ОзкЧ Ч ек1 в1=! чзсчласскг-со со 8 3-. ~ .--.-.-.,-.
огс гчзчзаснн ~са нчас 000 со ос о + ас 'г Ф о а 00 00 ас са г "о" о о о о о" о" о о о О" 3 о к о о о о 0 а. аг~счсончсчзсонч 3 -. сч оа нчсчо, сч о со нъ са Г г 00 а а С,00ЧГО 00Л 1ЧГСЧСЧ ОГ ~ ~.ЛСЧ000ЧСЧОСО о г.. ~а 00 'г 'о ~ и с~ ~ сч "о о о о о о о о" о о" (10.86а) о о о а о а.
1- о о О где !'!) =~(1 — т1АГс!)1Ч)'+ ( — ") ]= ! . (10.86б) Приведем еше ряд соотношений для в = 1, 0 (Ч, Ч' ~ (1: 1 ~ у (р)р(Ч, р) и' = О, о 1 ~ру(р)~(~, )Ф= — ~ о 1 ~ р'у (р) р (Ч р) Ф = — ~ (у!'! + Ч) о 1 1 у(р)1р( — Ч, р)Ф = ЬХ( — Ч), о 1 О 00— Онча Я-ко 3 г. а, о со а 00 ООО ои ч н .на со со Гч нъ а г сс ЧГ СК О О 00с000 г асчо ГСЛ ~ОЛОЧСК 00 'Г 'Г.'Г Сс ~ С ооооооо О з о 03 к о г а Со Г Г1 Ф 00 ',а 'Г со а с1 г -а го о О О 00 О Г О 00 Ф О Г'1 ЛЧ Г00 ГОЛ „СО Л„О„Ч 00 НЪ Г оооо ооо О ! з О 00 г-о ооо г О з О Со Л Со О Л Г О О О Г1 оогк~~оо Со ~ ~ Г, 00 С С О Г Со ЧГ 00 Со Г Г ~ О 0Ч Г ог- сас"1сон н о оооооо оооо (10.
89) о ОГ- 00 Н О 01' -с.с О о, оОо ~а о о о О О '1 С'1 О 00 ас чз а о о Г'1 Н' о о" О з (10.90) г н о о г.- г а о оо ~ у(!1)Ф( — Ч !1)1р(Ч г !1)Ф вЂ” ~ 1р( Ч Ч )Х( — Ч) = о чч ! 4 ч+ч' 8 Гссо г г со Со Г Со 00 О о 1 а г со о со ОО О О о а .о о, СС'ГОГ1Г1О ~ О, О Ш Ш 00 Ш оооооо ГЪ О 00 Л оа рс к а 00 о со а 1 оооо О з (10,91) нъ а Го 8 гчг н 6 00 О О г-о Г 00 а 01 о сн оооо 1 Оса Ф к 'Г О ~ г- н ~о о ао го с'1 о о а 00 а а о а 00 00 о о" о" о о о" о" !! з 10.7. ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ТЕПЛООБМЕНА ИЗЛУЧЕНИЕМ ПРИ в<1 Для иллюстрации применения метода разложения по собственным функциям при в(1 рассмотрим задачу теплообмена излучением в плоском полуограничснном (О ( т ( аа) слое по. глошающей, излучающей, нзотропио рассеивающей серой среды о счсксгнсчглсоасо 408 Глава !О 400 Решение уравнения переноса излучения методом Кейса Лля простоты примем, что граничная поверхность т = 0 прозрачна, и на нее извне падает излучение, облада1ощее осевой симметрией.
Уравнение переноса излучения имеет вид 1 я 2 — 1 0~(т < оо, — 1(~!1~(1, со < 1 (10.92) с граничными условиямн 1(т, !1) [, о — — Р(!1), и) О. (10.93) При т-1-оо решение стремится к частному решению 1р(т, !з) уравнения (10.92). Предположим, что распределение температуры Т(т) в среде задано н получено частное решение 1„(т, !з) уравнения (10.92). Полное решение уравнения (10.92) равно сумме собственных функций соответствующего однородного уравнения и частного решения [см.
(10.18б)) 1(с, !з) =.4(Чо)1р(Чо, !з)е-ття + А( — Чо)1р( — Ч,, !з)ет1чт+ 1 1 + ~А(Ч)р(Ч р) ""!Ч+ ~А( — Ч)р( — Ч р)вчч3Ч+1р(т, р), (! 0.94) где А(Чо), А( — Ч,), А(Ч) и А( — Ч) — пРоизвольные коэффициенты разложения, которые необходимо определить. Поскольку решение (10.94) должно удовлетворять граничному условию на бесконечности, из него необходимо исключить члены, неограниченно возрастающие на бесконечности, после чего выражение (10.94) упростится и примет вид 1 1(т, р) = А(Чо) р(Чо, р) е "" + ~ А(Ч) 4 (Ч, р) е '" с!Ч + 1, (т, р), о (10.95) который удовлетворяет и уравнению (10.92) и граничному условию на бесконечности.
Коэффициенты разложения А(Чю) н А(Ч) можцо определить, потребовав, чтобы решение (!0.95) удовлетворяло граничному условию (10.93), а также использовав свойство ортогональиости собственных функций н различные интегралы нормировки, Из граничного условия (10.93) получаем 1 1(О, !з)=А(Чо)1р(Чо, !1)+ ~ А(Ч)1р(Ч, !з)с!Ч, !1~(0, 1), (10.96а) о где [(О, !1) — = Г(!1) — 1р(0, !1), !1~ (О, 1). (10,96б) А(Чю) = —, ~ 'йт (!я) 41(Чз !з)1(0 !з)с!!з (10.97а) о где Ат(Чо) — — ( ~ [ А'(Чо), Ят Ь) =(Чо !з) У(!1) (10.97б) (10. 97в) а А(Ч) равен 1 А (Ч) = п ~ 'й7(!я),р(Ч и) ! (О !4) с(!1 (10 98а) о где = [(1 — соЧ Агс!!1 Ч)'+ ( — ~) ~ — ( . (10.98б) После определения коэффициентов разложения А(Чо) и А(Ч) с помощью соотношения (10.95) можно найти распределение интенсивности излучения 1(т, !з).
Затем могут быть вычислены другие физические величины, такие, как пространственная плотность падающего излучения сл(т) н плотность потока результирующего излучения дт(т). Пространственная плотность падающего излучения определяется из выражения 1 6(т) =2я ~ 1(т, !1)с!!з = — 1 1 1 -т [Л(ч1 "'Ч)Л(ч1 ' ЕчЧ [П1 ч)сч~.
(рте, о — 1 Функция [(О, !з) предполагается известной, так как Г(!з) и частное решение уравнения (10.92) счнта1отся заданиымн. Функция [(О, !з), определенная в положительной половине диапазона изменения !з, представлена в (10.96а) в виде разложения по собственным функциям; законность такого представления основана иа приведенной выше теореме полноты для половинного диапазона. Коэффициенты разложения А(Чо) и А(Ч) могут быть определены с помощью соотношений ортогоиальиости собственных функций в половине диапазона !з и различных интегралов нормировки.
Отметим, что выражение (10.96а) имеет точно такой же вид, что и (10.53), в силу чего коэффициенты А(Чз) и А(Ч) можно получить, используя соответственно формулы (10.54) и (10.56), Коэффициент А(Чо) равен Решение уравнении переноса излупенин л(етодол Кейса 4!! 4!О Глава !О ~ Ч'Й, Р)1!н=! при ~=ча или Ч ~(0,!). Плотность — ! потока результируюшего излучення равна ! <'! ( )=2 ~ !(т(т !!)((!с= — ! ! ! и () — п)[л(п)п '"'-п[л(п)п '~пп-и — )п(,(,п)пп] ! и — ! (10.100) так как ~ !муй, р) с( = ~(1 — .) прн ~ = Ча нли Ч~(0, 1).
— ! Другой физической характеристикой, представляющей интерес, является угловое распределение интенсивности выходящего излучения 7„(0, !н) [)с я ( — 1, 0)] на границе т = О. Эта величина может быть определена из выражения (10.95), если в нем принять т = 0 и !с < О. Получаем ! 7,(0 !н) А(Ча)(р(Ча, !н)+ ~ А(Ч)ф(Ч, !с)с(Ч+7,(0, !с), !н С О, а (10 10!а) нли, в другой форме, ! 7е (О, р) = А(Ча) ф (Чъ !с) + ~ А(Ч) Ч) (Ч !с) с(ч + а +1р(0, — (!), !! > О. (10.10!б) Функция, характеризу(ошая распределение вЫходяшего излучения, 1,(0, !с) [Н е— : ( — 1, 0)), отличается от функции 7(0, !с) [!с я ~ (О, 1)), описыва(ошей граничные условия.
Отметим, что интеграл, входяший в (10.101), является несингулярным. ПРОСТОЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕНСИВНОСТИ ВЫХОДЯЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ Интенсивность выходяшего излучения на границе можно определить по формуле (10.101), если описанным выше способом найдены коэффициенты разложения А(Ча) и А(ч). В работе [7) предложен другой, простой метод расчета интенсивности выходящего излучения без предварительного определения коэффициентов разложения. Ниже приводится изложение этого метода.
Рассмотрим выражение (10.96а) ! 1(0 !с) =А(Ча)Ч (Чв Р)+ ~ А(Ч)Ч (Ч, !с)(1Ч !с > О, О<Ч< 1. (10.102) Преобразуя обе части этого равенства с помошью оператора ~))Г( )ф( — !с' !с)10 а (1о.(оз) р'>о, получим ~ йГ(р),р( „,р)[(О,Н)(И=А(Ча) ~ йГ(р)Ч ( — р',р)4 (Ч„р) (И+ а а ! Р ! -( [А(п)[[в(п)п( — и', п)п(п п)пп]пп, и >и.
((аппп) а а Интегрирование по р в правой части (10.104) может быть прове- дено с помощью соотношений (10.73) и (10.74), нмеюших внд Подстановка соотношений (10.105) н (10.106) в (10.104) дает 1 ))Г(!(,) ф( — !с', !с)1(0, !с) с(!с = а — (Ча+ !с ) Х ( !с ) [А(ча) ф(Ча, !! ) + ! +~А(ч) (ч — р) (Ч1, р'>о. (10.107) а ! ~ ))' (!с) Ч)( !с !с)Ч)(Ча !с)((!с = 4 а! !с ЧаХ( !с ) = а = 2 (а!с'(Ча + р ) Х( — !!')(Р(Ча, — !!'), (10.105) ~ йу(р)ф( рп р)ф(Ч, !с)((р, мч(ча+!с)Х( !с)4)( !н, Ч) а — ~ аЧс (Ча + !с') Х ( — !н )(Р(Ч, !с ). (10,106) Решение уравнения переноса полупения методом Кейса 4|3 Глава !О 4|2 Меняя местами р» и р»', получаем 2 .„О, „ж И 1ЦТ(р')р( — р р')[(О р')Ф'= о ! = А (Чо) Ч» (Чо — р») + ~ А (Ч) ф (Ч, — р») с(Ч, )» ) О, о (10.108) и, заменяд р» на — р, приходим к выражению ! „„(„И,И 1 ЦТ(р')р(р | ')[(О р')Ф'= о ! А(чо)4Р(Чо, Р») + ~ А(Ч) 4Р(Ч, Р») с!Ч, |» < О. (10.109) о Соотношение (10.109) является искомым выражением, позволяюшим исключить коэффициенты разложения из правой части (10.10! а).
Подставляя (1О.!09) в (10.101а), получаем 7,(о, р) = 7,(о, р)- ! ( ) ( ~ ))Т(р»')4р(р», р»') ! (О, р»)4»', р» < О. (10.1!Оа) о Выражение (10110а) позволяет довольно просто определить интенсивность выходяшего излучения при т=О Интеграл в (10.110а) не является сингулярным. Для удобства вычислений целесообразно представить (1О.!!Оа) в виде так как йТ (р»') = (Чо — |»') у (р»'), ! | 4р (р», р» ) = — »о(» Че — Н' | + ! (Че Н) (Н 44 ) Че — 44 Н 44 (!0.111) (! 0.112) (10.113) Рассмотрим теперь некоторые частные случаи описанной выше задачи. 7„(о, р) = 7, (о, р) — ',, ~ у (р') [ ' + — '„,) [(о, р') (р', р < о, о (10.110б) д((е, Н) ато4,о д + ('|») ( ) +2 для 0(т < аа, — 1()»(1, о» < 1 (10.114) с граничными условиямн ! (о, р) = 7„р ) о.
При т-4-аа решение стремится к частному решению !р(т, р») уравнения переноса излучения. Частное решение уравнения (! 0.114) имеет вид (см. табл. 8.1) дт ! (т, )»)= —, (!О.!15) Тогда полное решение задачи можно записать [см. (10.95)), как 1 7(т, )») = А(Чо)ф(Чм )»)е "" + ~ А(Ч) ф(Ч, )») е т»ос(Ч ! о (10.1 16) Коэффициенты разложения А (Ч,) и А (Ч) легко определяются из выражений (10.97) и (10.98) соответственно, в которые !(О, (») подставляется в виде [см. (10.96б)] дТ4 44 (О) = 7о — = сопя!. (10.1!7) Тогда дискретный коэффициент разложения А (Чо) можно запи- сать следуюшим образом: 4(Чо)=.— (.ч,) х(ч) ~)р(р)~(чо |)"~= чх(') ('О!!8) о Здесь для определейия интеграла в (!0.1!8) мы воспользова лись формулой (!0.75).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
