Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(10.15а) Принимая, что в члене, содержащем 1/т1т, оз 1, получаем выражение 1 — = ~/3(1 — со), а-э1, (10.15б) которое позволяет определить 7!о при значениях оз, близких к единице. Выражение (10.15б) можно переписать в другом виде !(ш 4 (1 — ~) = 3 . (! 0.15в) Я-+1 В табл. 10.1 приведены дискретные собственные значения т1о при 0(оз(1.
0,15 0,16 О,!7 О,!8 0,19 0,20 0,21 0.22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 1,000003 1,000007 1,0000! б 1,000030 1,000054 1,000091 1,000146 1,000226 1,000336 1,000483 1,000675 1,000920 1,001225 1,00! 600 1,002053 1,002593 1,003227 1,003965 1,004815 1,005785 1,006883 1,008118 1,009498 1,011031 1,012724 1,014586 0,4! 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0.67 0,68 0,69 0,70 1,0!662 1,0!884 1,02126 1,02338 1,02671 1,02977 1,03305 1,03657 1,04034 1,04438 1,04868 1,05328 1,05817 1,06338 1,0689! 0,07479 1,08103 1,08765 1,09468 1,10213 1,1!003 1,11840 1,12729 1,13671 1,14670 1,15730 1,16857 1,18053 1,19326 1,20680 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,8! 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,22123 1,23662 1,25305 1,27063 1,28946 1,30967 1,33141 1,35485 1,38018 1,40763 1,43748 1,47006 1,50576 154506 1,58855 1,63697 1,69124 1,75256 1,82251 1,90320 1,99754 2,10969 2,24582 2,41560 2,63514 2,93402 3,37403 4,1 1552 5,79672 Глава 10 884 где А(Ч) = ! ' соЧ 1п ( !+Я) (10.176) (10.17в) нли где 8=Чо или э!~( — 1 1).
!3 заа эвб где 6(Ч вЂ” р) — дельта-функция Дирака, Х(р) — произвольная функция, которую нужно определить, а символ Р означает, что, когда (10.16) интегрируется по т! нли р, интеграл, включающий член 1/(Ч вЂ” р), должен браться в смысле главного значения Коши ') . Для определения функции Х(Ч) проинтегрируем (!0.16) по р от — 1 до 1, используя условие нормировки (10.6), что дает 1 Ч~р дп (10.17 а) -1 Это выражение определяет функцию Х(р), которую следует подставить в (10.16) Тогда любое значение Ч в интервале ( — 1, 1) является собственным значением, а функция су(Ч, р), определяемая выражением (10.16), называется непрерывной собственной функцией, так как Ч принимает непрерывно все значения между — 1 и 1.
Интегрирование в (10.17а) по Коши дает А(Ч) = 1 — сот! Агой т!. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ Полное решение однородного интегрального уравнения (10.3) представляет собой сумму двух дискретных решений для Чоф аа'- ( — 1, 1) и всех возможных непРеРывных Решений длЯ Ч ~ ~ ( — 1, 1). Рассмотрим отдельно случаи, когда со < 1 и аэ = 1. а) аэ < 1. Полное решение уравнения (10.3) можно записать в виде ф (~а р) = А (Чо) Ф (Ч„р) е-тпи + А ( Чю) Ч' ( — т),, р) еяч, + 1 + ~ А(Ч)Ф(Ч, 1с)е ЯчсГЧ пРи со < 1, (!0.18а) -1 (Чо) ( Чо) и А (Ч) — произвольные коэффициенты ложения.
Такая запись решения полезна при решении задач для среды бескоиечнои протяженности (т. е. при — оо <т < оо), которые требуют разложения по собственным функциям во всем диапазоне изменения р (т. е. — 1< 9<1). Однако в задачах для полупространства или слоя конечной толщины, как правило, требуется разложение произвольной функции по собственным функциям в половине диапазона изменения р. Для таких Рвшвнив уравнвиия аврвноса иэлуавния матовом Кейс "а 885 случаев удобно разбить интеграл на две части и записать (10.18а) в другом виде: ф(т, Р) = А(Чо)сР(т!ь Р) е чч + А( — т!э)сР( — т!ь Р) е'" + 1 1 + ~ А(Ч)су(Ч, р)е я" с(Ч+ ~ А( — Ч)су( — Ч, р)ея" с(Ч при со < 1, (10.18б) где А (т1,), А ( — т1,), А (т!) и А ( — т!) — пРоизвольные коэффициенты разложения. Для удобства выпишем еще раз полученные выше собственные функции: ( 10.18в) ср(Ч, р) = —, + Х(Ч) б(т! — 9), т! ~( — 1, 1), (10.18г) ч !с Х(т!) = 1 — оаЧ Агой Ч, (10.18д) а дискретные значения Чо представляют собой два корня дисперсионного соотношения Л (Чо) =1 — сот!„Агсй— (10.18е) Ча Отметим следующие свонства симметрии собственных функций: Ча(а 1с) = ~Р( ь Р) (10.19а) Р( — Ь, 9)=Р(8, — Р), (10.196) б) оэ = 1.
Полное решение уравнения (10.3) равно сумме дискретных решений, определяемых выражениями (10.13), и непрерывных решений. Получаем ф (т, р) = А — +  — (т — р) + 1 1 1 ! + ~ А(Ч)~р(Ч р)е ™с!Ч, со=1, (10.20а) — 1 где А, В н А(Ч) — произвольные коэффициенты разложения. Решение, записанное в такой форме, полезно в случае неограниченной среды. В случае полупространства или слоя конечной толщины произвольные функции обычно раскладываются по собственным функциям в половине диапазона изменения р. Глава 10 Збб 13Я В таких слтчаях полезно разбить область интегрирования на две части и записать уравнение (10 20а) в виде ф(т, 1с) = А ~ + В ~ (т р) + ~ А(т1)Ч!(т1, 1с)е 'чссЧ-+ 1 1 о ! + ~ А( — Ч)Ч!( — Ч, 1с)е'чс(Ч, со=1, (10 20б) о где А, В, А (Ч) и А ( — Ч) — произвольные коэффициенты разложения Собственную функцию ср(Ч, р) можно получить из (1018г) и (10 18д), подставив со = 1 10.2.
РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ При решении уравнения переноса излучения с помощью метода разложения по собственным функциям возникает задача разложения произвольной функции по собственным функциям однородного уравнения во всем диапазоне изменения р (т е — 1 = И<1) или в половине диапазона (т е 0< И<1) Теоремы о полноте таких разложений доказаны Кеисом как для полного диапазона изменения 1с, так и для его половины Здесь будут приведены формулировки этих теорем, за их доказательством читателю следует обратиться к первоисточникам (1, 2) ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛНОГО ДИАПАЗОНА Достаточно гладкая функция') 1(1с), определенная во всем диапазоне изменения И( — 1 < р < 1), может быть разложена по собственным функциям однородного уравнения (10 3): 1 (р) = А (Чо) Ч (Чо, р) + А ( — Чо) Ч! ( — Чо, р) + ! + ~ А(Ч) Ч!(Ч, р)с!Ч при р ~( — 1, 1), со < 1, (10.21а) — 1 и ! 1(р) = А —, +  —, р+ ~ А (Ч) Ч!(Ч, р) 1Ч вЂ” ! при р ~( — 1, 1), от=1, (10.21б) где А(т1,), А( — т1,), А(т!), А и  — коэффициенты разложения.
Решение уравнения яереноса ивлунения метадон Кейса 387 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ПОЛОВИНЫ ДИАПАЗОНА Достаточно гладкая функция ) (1с), определенная в положительной половине диапазона изменения р(0 < р < 1), может быть разложена по собственным функциям следующим образом 1(р)=А(Чо)Р(Чо, р)+ ! + ~ А(т1) !Р(Ч, р) с(т! при р ее(0, 1), со < 1 (10.22а) о )(ц)=А — + ~А(Ч)Ч!(Ч, !с)с!Ч при !с~(0, 1), от=1. (10.22б) о Если функция 1(1с) определена в отрицательной половине диа- пазона изменения р (т. е.
— 1 < р < 0), разложение принимает вид Р(Р) = А( — Чо) Ч ( — Чо Р) + о + ~ А(Ч)Ч!(Ч, Р)с!Ч пРВ Р~( — 1, 0), со < 1. (10.22в) -! 10.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ Ортогональность собственных функций лежит в основе способа определения неизвестных коэффициентов в разложении произвольных функций по собственным функциям Эта методика аналогична использованию свойства ортогональпости собственных функций в классическом методе разложения по ортогональным функциям В данном разделе рассмотрена ортогональность собственных функций при разложениях в полном и половинном диапазонах ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ В ПОЛНОМ ДИАПАЗОНЕ Дискретные собственные функции Ч!(-+Чо, р) и непрерывные собственные функции ср(Ч, р) ортогоиальны в полном диапазоне изменения р (т е — 1 < р < 1), если они взяты с весом р. Условие ортогональности имеет вид ! ~ 1с!Р($, !с)Ч!й', р)с!И=О при $Ф$', (10.23) -! Глава !О 388 Решение уравнении переноса излучения метадон Кейса 389 где 9 и 9' могут быть как дискретными собственными значениями е-цо, так н непрерывными собственнымн значениями, лежащими между — 1 и 1.
Для доказательства приведенного выше условия ортогональности запишем выражение (10.7) для $ и $': (' Е)'~('~ 1) — 2 (10.24а) (1 — йФ(Г Р)=Ф (10.246) Умножйм первое выражение на Чг($', р), а второе на Чг(Ч, )2), затем вычтем из первого второе и проинтегрируем полученное выражение по р в пределах от — 1 до 1; используя условие нормировки (10.6), получим ! (р — ~) ~ )»Ч)(Г )2)Ч»Д, )2)(Г)2=0. (10.25) — ! Для того чтобы соотношение (10.25) выполнялось при необходимо, чтобы ~ )»Ч) Й )2) Ч»(ь., )») (Г)2 = 0 при Г Ф ~, (10.26) — ! где Ч и 9' принимают все собственные значения, т. е.
Ч, ~' = т)о или») ~ ( — 1, 1). Соотношение (10.26) и является искомым условием ортогоиальностн собственных функций в полном диапазоне изменения р. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ В ПОЛОВИННОМ ДИАПАЗОНЕ В работе (6] показано, что дискретные Чг()-цо, р) и непрерывные собственные функции Чг(т), р) ортогопальиы с весовой функцией ))'()2) в половинном диапазоне изменения р. Доказательство этого условия ортогональности и определение весовой функции приведено также в (2].
Здесь будут представлены только окончательные выражения для условия ортогональцости. Для положительной половицы диапазона изменения )2 (т. е 0 ( )2 ( 1) условие ортогональности имеет вид 1 ~ ]]7()2) Чг(й, р)Ч»($', )2)(Г!» =0 при $Ф$', о» < 1, (10,278) о где з, з'= По нли »! ~(0, 1), (10.276) а весовая функция ))т(р) определяется вырагкением4) ))7 ()2) = (»)о — )2) у ()2), со < 1. (10.28) Прп о» 1 »)о -н оо. В этом случае, разделив обе части (10.27а) на По и пеРехоДЯ к пРеДелУ пРн Па†+ оо, полУчаем, что весоваЯ функция ))т()2) преврагцается в у (р).
Функция у ()2) связана с введенной Чандрасекаром [19] функцией изотропного рассеяния Н(р) соотношением (7] У()2) = М, 0~ ()2 ~ (1, о» < 1, (10.29а) 2 (1 — о»)'(Чо — Р) или с функцией Х(г), введенной Кейсом (2], "т' ()2) О (()2 ((1, о» < 1. (10.296) 2 (Чог Р~) В о») Х( )2) При (о=! »!о — +со и т),'(1 — (о) =(/з. Тогда (10.29а) и (10.296) упрощаются и принимают вид у (р) = рН (р) 0 ~1)2 ~ 11, о» = 1, (10.29в) зуз "2()») = 2 х, 0~()2~(1, (о=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
