Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Если длина свободного пробега фотона стремится к иУлю, соответствУ>ощаЯ оптическаЯ толщина тз = Р!. стРемнтся к бесконечности и температура при переходе от стенки к среде меняется непрерывно. Это явление аналогично скачку температуры у стенки, имеющему место при теплообмене в разреженном газе. Ниже будет вкратце рассмотрен предложенный Дайслером метод расчета плотности потока результирующего излучения в плоском слое и между двумя коаксиальными цилиндрами в условиях радиационного равновесия.
Рассмотрим плоский слой несерой среды с оптической толщиной то, заключенный между двумя диффузно излуча>ощими и диффузно отражающими непрозрачными параллельными граничными поверхностями !фиг. 9 2) . Граничные поверхности г = 0 и т = то поддержива>отся при постоянных температурах Т~ и Тз и имеют спектральные степени черноты б1, и б„соответственно. Перенос энергии осуществляется только излучением (т. е. влияние теплопроводности и конвекции пренебрежимо мало), среда не содержит ни источников, ни стоков энергии; рассматривается установившееся состояние Получим уравнения для скачка температуры на границах и для плотности потока результирующего излучения в среде.
Плотность монохроматического потока излучения иг, (т) в плоском слое, интенсивности излучения на границах которого не зависят от направления, описывается выражением 18.83). Для т = 0 оно примет вид ь'(с1 — ! (О) — 2 [1 ( >в,(,>ч- ! 3 ( >в,( зз ']. (928) о Интенсивность излучения граничной поверхности 1, (О) определяется выражением (8.!07а) 1,+ (О) = е>~Тчз (Т>) + 2 (! — е,ч) Тч (то) Ез (то) + гь Ч- ! 3„( Зв,( Зз '], (9.291 о где р„заменено на 1 — еир Исключая 7, (О) из (9,28) с помощью (9.29), получаем ь',(ь)=,„[у„,(г> — зс (,>в(,> — 2! з„м)в,( Зл ']. (ьза о Фиг. 9.9. Система координат для модифицнронанного диффузионного приближения.
1 з! Т)риблиясенньсе ьсетодес реисения уравнения нервноеа ивлунения Э31 ЭЭО Глава у (9.31) (9.32) (9. 33) илн пт'ьс,ь(Тс) !»ь(0)] = [ — — 2) с)»(0). (9.396) Для оптически толстой среды (т. е. больших т,) имеем Еь (то) -ь О, а из (9.15) и (9.!6) следует 3» (т) = 7»ь [Т (тН вЂ” = 7»ь (т) 4а сСУ»е (т) 3 сгт»=о ' Подстановка выражений (9.31) — (9.33) в (9.30) дает 4и сг!»Е (т) 1 — = ивы Х»е (Тс) — 2 ) 1»ь (т') Е, (т') аст' .
(9.34) о Функция Планка У,ь(т') может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности т' = 0 Т е(т') = 7»е (0) + т' с( ) + 21 ~ ~л~~п ) + .... (9,35) Подставляя (9.35) в (9.34), получаем »а 4а сг!»Е(т) 1 Г 3 лт [ = ', 7„(Тс) — 21„(0) 3 Еп(т')с! '— о тс », о о (9.36) Прн больших то можно использовать для интегралов в (9.36) следующие оценки: ~ Еп(т')с(т 2 ' 1 тйп(т сст 3 ' ~ т' Еп(т)сст 2 ' (9.37) о о о В этом случае (9.36) упрощается: 4сс сьев»ь (т) 3 „=- [Т (Т)-У (О)- 2 сУ Е (т) 1 ! с(пТ»е (т) 1 Ч 3 сгт [о 2 сстп [о ' ' .
2 . (9.38) Пренебрегая членами второго и более высокого порядков, по- лучаем из (9.38) и[с»ь(Тс) с»ь(0)1= [ ) ~ (9.39а) Аналогично получается соответствующее выражение для гранич- ной поверхности т = то и[7»ь(то) — 7»ь(Тп)! = — ~ — — 2) 3 ',1 / (9.40а) нли Ь Ь(та)»ес, П)] С 2)»»(~ОГ (9. 406) так как ~ Т,е(т) с(» =Те (т) = и'оТ4(т)/и. »-о Здесь Т(0) и Т(то) — температуры среды у границ т = 0 и т = то соответственно; Тс и Тп — температуры граничных поверхностей, а плотность потока результирусощего излучения с)" всюду внутри среды постоянна, Далее выражения (9.41) и (9.42) будут использованы для определения плотности потока результирующего излучения с)".
Для оптически толстой среды плотность потока результирующего излучения в диффузионном приближении описывается выражением [см. (9.22)) с 4а сСТЕ(т) 3 се (9.43) Интегрируя (9.43) от т = 0 до т = то при постоянном с)", получаем тес) = [Ть (то) Ть (0)) = — — ип[оТ' (со) оТс (ОЦ. (9.44) Из (9.41) и (9.42) следует и~ [оТ (то) оТ (0)] = и (йТг оТсс) + ( + 1) с), (9.45) а из (9.44) и (9.45) получаем выражение для плотности потока результирующего излучения с)' в виде ап (оТ4 — оТ) Э вЂ” то (- (1ссес) (- (1ссеп) — 1 4 (9.46) Выражения (9.39) и (9.40) получены для частоты т; интегрирование их по всему спектру при постоянных радиационных свойствах поверхности дает соответственно и [йтс отс(0)[ (' . )д ! 1т (9.4!) и~ [бТ (т ) — оТс] = ( — — — ) с)', 1 1 (9.42) Глава у 334 аТ4 — Тт (9.56) 1,4 т ь 1 1,О ь ь.
или Зная 1,)', с помощью (9.48) и (9.49) можно определить величины скачков температуры на границах т = т1 и г = та соогветственио. Плотность потока результирующего излучения на внутренней граничной поверхности получим, подставив в (9.47) г = т1, 1,)' = 2птгд' (тг), (9.54) и затем, подставив (9.54) в (9.53), получим т, 1п( — ')+( — — — )+ — ( — — — ). (9.55) При использовании обычного диффузионного приближения выражение для плотности потока результирующего излучения иа внутренней граничной поверхности дт(т,) получается из (9.516) и 954: ( ) дТ1 (тг) — аТ1 (тг) Зон / тг т т, 1и 1к — л1.
бт(тг) - 4 ' [тт л' На фиг. 9.4 приведено сравнение величин г)т(г,'[~(оТ41 — оТ4~, рассчитанных для поглоща1ощей и излучающей среды с помощью модифицированного диффузионного приближения [по формуле (9.55)] и обычного диффузионного приближения [по формуле (9.56)), с решением Перлмуттера и Хауэлла [12[, полученным о 0 1 2 3 4 б б 7 б Э 10 1! ге 1пг-гг) Фнг. 9.4. Сравнение обычного н моднфнцнрованного диффузионных нрнблн. женив с решением методом Монте-Карло для случая концентрических цнлнндров [7]. и 1т, — т,1 — апти ческая тол ща а а.
модафаппроеепное дяффуенонное праблпженяе 1фармула В.бзя: — — обычное дпффуепоаное арнблпжеаае [формула 1р.бб)]; — — — -рещенае методом моле-Карло 112). Приближенные методы решения уравнения переноса излучения збб методом Монте-Карло. Модифицированное диффузионное приближение дает достаточно хорошо согласующиеся с точным решением результаты при больших значениях м(тг — тт); согласие является достаточно хорошим и при малых м(та — тт), если отношение туггт1 ие слишком велико. Во всех случаях имеет место значптельное повышение точности расчета плотности потока излучения по сравнению с обычным диффузионным приближе.
нием. В случае когда среда между цилиндрами прозрачная, 6 = 0 и выражение (9 55) упрощается Это выражение дает правильный предельный переход для теп- лообмена излучением между двумя коаксиальными цилиндрами, разделеннымн прозрачной средой, толвко при т1/тг = 1 9.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭДДИНГТОНА Эддингтон [13) разработал одно из самых первых приближений для решения уравнения переноса излучения. В основе этого приближения лежит такое представление углового распределе. ния интенсивности излучения, что интегродифференциальное уравнение переноса излучения преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение. Вывод приближения Эддингтона можно найти также в работах [1 и 4[.
Остановимся вкратце иа этом приближении. Рассмотрим уравнение переноса излучения для плоского слоя 1 )р д' +1(т, )е) (1 — в))ь(т)+ й ~ Т(т, )е')бг)е'. (9.58) -1 Преобразуя обе части этого уравнения с помощью оператора 2п ~ атРо полУчим -1 + О (т) = 4п (1 — в) Ть (т) + вб (т), — — (1 — в) [4пуь (т) — бу (т)), (9.59) Глава у 4(ридлиясеннь)е методы решения уравнения переноса излучения Збт збб где плотность потока результирующего излучения и простран- ственная плотность падающего излучения определяются выра- жениями д'(т) = 2л ~ р/(т, р) а(12, 1 6(т) = 2л ~ /(т, р) а(12. (9.60) (9.61) ((РР (с (9.62) где радиационное давление Р'(т) определяется выражением Р'(т) = — 2л ~ 12Ч(т, р) а(124 -1 (9.63) а с — скорость распространения излучения в среде.
До настоящего момента анализ был точным; уравнения (9.59) и (9.62) представляют собой систему двух уравнений с тремя неизвестными: (/"(т), 6(т) и Р" (т). Дополнительное соотношение Эддингтои получил, введя некоторое приближение для углового распределения интенсивности излучения. Разделив интенсивность на прямую !~ (т, р), р ~ (О, 1) и обратную / (т, р), р~( — 1, 0) составляющие, можно записать р о а() = 2 [14 (, 9) 4 Р ) 'и, 9) 49] (9л() о Г о д' (т) = 222 ~ ~ р/ (т, р) с/р + ~ 12/+ (т, р) с/12), (9.65) о о 1 Р ( )= —,2 [1 9! (, 9)69 )-19('(, 9)49~ (966) — 1 о Если предположить, что составляющие интенсивности /+ (т, р) и ! (т, р) не зависят от направления, т.
е. /+ (т, р) = /+ (т), 0 < р ( 1, / (т, р) = / (т), — 1 я р < О, (9.67 а) (9. 67 5) Преобразуя теперь обе части уравнения (9.58) с помощью опе- 1 ратора 2то ~ рс/р, получим Любые два из этих трех соотношений могут быть использованы для получения недостающего уравнения к системе уравнений (9.59) и (9.62). Например, из (9.68) и (9.70) получаем Р'(т) = з 6(т). (9.71) Уравнения (9.59), (9,62) и (9.71) образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными (/Р(т), 6(т) и РР(т); комбинируя эти уравнения, можно получить обычное дифференциальное уравнение для любого из этих неизвестных. Например, можно исключить Р'(т) из уравнений (9.62) и (9.71), что дает 3 а, = — д() 1 а0 (т) (9.72) Продифференцировав уравнение (9.59) и исключив из него с помощью (9.72) член а(6/с/т, получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для плотности потока результирующего излучения (/Р(т) ( "О (т) " "~з(т) = (1 — оз) ~4л з + 3(/' (т)~, (9.73а) которое и называется приближением Эддингтона.
Можно исклю- чить а((/Р/а(т из уравнения (9.59), используя для этого выражение (9.72), после чего получим следующее обыкновенное дифферен- циальное уравнение для 6(т): (9.73б) Эти уравнения справедливы внутри оптически толстой среды, но недостаточно точны вблизи ее границ. Ниже будет показано, что приближение Эддингтона, определяемое уравнениями (9.73), в точности совпадает с Р)-приближением [см. уравнения (9.120) и (9,121)). Действительно, (9.73а) сводится к обычному диффузионному приближению (9.43), если пренебречь в нем членом то соотношения (9.64) — (9.66) примут более простой вид 6 (т) = 2л (/+ (т) + Г (т)], Р'() — / (.)], Р'(.) - — ',, ~/'(.)+/-(.)]. с(20 (т) = 3 (1 — оз) 16 (т) — 4то/з (т)]. (9.68) (9.69) (9.70) Глава у 338 второго порядка направлениях: (9.74) Помранинг [14) несколько модифицировал приближение Эддингтона. Его численные расчеты для простых задач с известными точными решениями показали, что модифицированное приближение имеет существенные преимущества перед исходным приближением Эддингтона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
