Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Некоторые приложения приближения Эддингтона можно найти в литературе, посвященной вопросам взаимодействия излучения с теплопроводностью и конвекцией. В работе [15[ это приближение использовано для решения задачи о совместном действии излучения и естественной конвекции в поглощающей и излучающей среде между двумя горизонтальными пластинами, подогреваемыми снизу, а в работе [16) — для решения задачи о совместном действии теплопроводности и излучения.
Для решения уравнения (9.736) необходимы два граничных условия Так как это уравнение аналогично уравнению, получаемому в Р(-приближении, отложим обсуждение вопроса о граничных условиях до равд. 9.7, в котором в более общей постановке рассматриваются граничные условия Марка и Маршака. Некоторые приложения приближения Эддингтоиа будут даны в гл. 11. 9.6. ПРИБЛИЖЕНИЕ ШУСТЕРА — ШВАРЦШИЛЬДА Интегродиффереициальиое уравнение переноса излучения для плоского слоя изотропно рассеивающей среды может быть преобразовано в систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи приближения, введенного Шустером [17! и Шварцшильдом [18) Это приближение обсуждалось в ряде работ, например в работах Вискаиты [1[, Чаидрасекара [2[ и Соболева [!9) Ниже приводится вывод этого приближения.
Выделим в поле излучения прямой и обратный потоки излучения: Гь для О < Р ( 1 и ! — для — 1 ( н < О соответственно, которые определяются следующим образом: 1 1+ — ~ 7+(т, Р')е!Р' для О < и<1, (9.75а) о о ! = — ~ ! (т, Р')а/Р' для — 1(Р <О. (9.756) — 1 Используя эти определения, можно записать уравнение переноса кзлученяя д/1я янтенсивности излучения в прямом и обратиоог Приближенные методы решения уравнения яереноеа излучения 339 (' Р)=(' — ~)~ь( )+ —,(!'+! ), Р>О, дУе (т, р) Я (9.76а) 7 дт + (т/ 11) = (1 — (о) 7ь(Т) + — 1! + ! )7 11 < О. (9.766) 1 Преобразуя уравнение (9.76а) с помощью оператора ~ а/Р, о о а (9.766) с помощью оператора ~ а/Р, получим соответственно -1 [[7/ ( 7)/7~ ( / () ")/ (7) ( — (/ -';/ ) (977 ) о р о — „[[ 7/ (, 7)/7)-';/ =(( — )/ (7)Ь" (/'-;/ ).
(777/) — 1 Уравнения (9.77) являются точными. На этом этапе вводится приближение Шустера — Шварцшильда: (т Р) 4' = 3 ) ! (т Р) а/Р = 3 ! (9.78а) о о о о Р) Р 3 ) ! (т Р)//Р= 3 ! (9.786) -1 Подставив эти выражения в (9 77), получаем ! д'ь +! =(1 )7ь(Т)+ 3 (! +! ) (9.79а) +! =(1 оь)7ь(Т)+ 3 0++! ) (9.796) Уравнения (9.79) образуют систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций 1+ и ! .
После определения [+ и !- можно рассчитать плотность потока результирую- Приближенные методы решения уравнения переноса излучения Зб! Глава у Зба ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Для решения системы уравнений (9.79) нужны два граничных условия. Для иллюстрации способа получения граничных условий рассмотрим плоский слой между двумя диффузно-отражающими и диффузно излучазощими непрозрачными границами т = 0 и т = то, поддерживаемыми при температурах Т~ и Тг и нмезощими степени черноты е! и ег соответственно. Граничные условия для такого случая уже были приведены выше [см, (8 99)): г — з о 7+(0) =е, — — 2(1 — е,) ~ ! (О, р')р'с!р', р > О, (9.82а) -! г — з ! (т,) = е,— „' +2(1 — ег) ~ ! (то, !з')р'з2!з' р < 0 (9.82б) о Здесь, по сравнению с выражениями (8.99), опущена зависимость от частоты и р заменено иа (1 — е).
Подставляя (9.78) в правые части уравнений (9.82), полу- чаем и аТ[ 7+(О) = е,— + (1 — е,) ! (О), и аТгз + ! (то) = е, „+ (1 — вг) ! (то) (9.83 а) (9.83б) ! Преобразуя уравнение (9.83а) с помощью оператора о о н уравнение (9.83б) с помощью оператора ~ с!!з, получаем со- 1 щего излучения ! с!' (т) = 2зз ~ р! (т, р) с!!з = -! Г' о е,[[чсо, щеч ч- [ чр о,,~е,~= о' — гх рлч> о -! Градиент.плотности потока излучения з2д"/з2т получается в результате сложения уравнений (9.79а) и (9.79б) с учетом (9.80): — — — (1 — оз) (27ь (Т) — (Г + ! )].
(9.81) ответственно я~йТ~~ ! (0) = е, + (1 — е,) ! (0), (9.84 а) — з и аТ ! (то) = е, „+ (1 — е,) ! (т,). (9.84б) Выражения (9.84) предс|авлязот собой граничные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9.79). Приближение Шустера — Шварцшнльда использовалось для решения задач теплообмена излучением в работах [20, 21[, 9 8 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЯДРА В гл. 8 были приведены формальные решения относительно плотности потока результирующего излучения и ее производной для плоского слоя Эти выражения можно значительно упростить, если заменигь входящие в них интегроэкспоненциальные функции экспонентами. В работе [22[ дано общее описание процедуры приближенного представления функции Ез(т) в виде Е (т)=Хазе з!' (9.85) где коэффициенты а, и Ь! определяются методом моментов.
Рассмотрим представление Е,(т) в виде одночлеиа Е (т) ае Тогда Е,(т) запишется так Ез (т) = — ~ Е, (т') з2т' = — е з' Ь (9.87) (9.86) з 3 — — 'с Е,(т) ж — е 4 (9.88) з ! Ез(т) т-е 2 (9.89) I В работе [24[ предложена следующая аппроксимация Ез(т): Е,(т) =0,813е ' '"' (9.90) Другое представление Ег(т) имеет вид Е (т) е з'з Я, (9.91) Лнк [23) нашел коэффициенты а и Ь из условия, чтобы площади и первые моменты экспонент и иитегроэкспоненциальных функций в интервале от т = 0 до т = оо были равны. Он полу- чил Глава 9 362 йо (9.94) (9.95) о о о,в йо 56 Фиг. 9.6.
Сравнение точных в приближенных значений Е, (т) Легко убедиться в том, что (9.91) соответствует приближению Эддингтона. Для доказательства рассмотрим выражение (8.84) для плотности потока резульгнру)ощего излучения в случае поглощающей и испускающей среды: д' (т) = 2зо [7 (О) Ез (т) — 7 (то) Ез (то — т)) + ')о -',.2 [[),)')е,) — ')и ' — [),) ')е) ' — )и ']. )992) о Подставив в (9.92) выражения (9 86) и (9.87), получаем д'(т) = 2зо — [7+ (0) е — 7 (т,) е ) ' ]+ ч и ч.е, [[),)") -' -" и ' — [),) ')*-' '-*л ']. )99)) о Продифференцируем (9.93) дважды по т и исключим из получившегося выражения интегральные члены и интенсивности на граничных поверхностях с помощью исходного выражения Приближсннь)е л)стобы решения уравнения переноса излучения 663 (9.93).
В результате получим с))Ч (т) "1Ь(т) = 4заа + Ь'д'(т). Приближение Эддингтона (9.73) при н) = 0 имеет вид ~ д (т) а~ь(т) — = 4л + Зд'(т). Уравнение (9.94) совпадает с (9.95), если принять а=1 и Ь=~УЗ, (9.96) что соответствует козффицнентаи в выражении (9.91). В работе [25) предложена двучленная зкспоненциальная аппроксимация функции Ез(т) вида Е,(т) 0,348е ' 'а'"+ 0,652е 'о4)ч (9.97) На фиг.
9.5 приведено сравнение различных аппроксимаций функции Е,(т) с ее точным значением. 97. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК Метод сферических гармоник дает возможность получить приближенное решение уравнения переноса излучения более высокого порядка ценой дополнительных трудоемких расчетов. Этот метод был впервые предложен Джинсом [26) в связи с проблемой переноса излучения в звездных атмосферах. Общее описание метода сферических гармоник применительно к переносу излучения можно найти в работе [3), а применительно к переносу нейтронов — в работах [27) и [28). Рассмотрим уравнение переноса излучения длв плоского слоя серой среды в условиях осевой симметрии: р"",,'"'+7(т, р)=(1 — Ф)7,(7)+ + — ~ р(р, (х')1(т, р') а)(х', (9.98) где предполагается, что индикатриса рассеяния р(р, р') может быть представлена в виде разложения по полиномам Лежандра'): р(р р') = Е (2п+ 1) 1лРа(р) Рн((х')ю [о=1 (9.99) Предположим также, что и интенсивность излучения 7(т, р) может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра: 7( Р) =~ 4 Р-( ) ч'-(т) (9 100) ш=о Глава 9 364 т=о а после упрощений получаем т о при тМл, (9.102) при т=п.
! 0 Рп()С )Рт!СС)аС)С =~ 2 -с 2т+ 1 Ч", + (1 — со) Ч', = 4п (1 — со) 1 (Т), 2Ч'о + Чсо + 3 (! — со!с) Ч', = О, ЗЧ'3+ 2Ч", + 5(! — со~,) Ч', = О, (9.107) (9.103) где 1 при т= О, ~ 0 при тФО. Если функции Ч' (т) известны, то интенсивность излучения можно найти из (9.!00). Поэтому остановимся более подробно на определении функций Ч' (т).
Подстановка разложений (9.99) и (9.100) в уравнение (9.98) дает Р Ь)[р „, +Ч' ()~— = (1 со) ~» (Т) + — ~ ~ (2л+ 1) спРп ()с) 4а Ч'т (т) Х -оп о ! Х ~ Р„()с') Р (!с') с()с', (9.10!а) Х 4а т()с)[~ дт + т( )1 т=о = (1 со) сь (Т) + со л) 4 7тРт()с)Чт(т). (9.101б) При этом мы воспользовались свойством ортогоиальиости поли- номов Лежандра Рассмотрим рекурреитную формулу для полииомов Лежандра [29) тРт — с (Сс) + (т + !) Рт+с (Сс) )С~ т С)С) 2т+ ! Подстановка рР (р) из (9.!03) в (9,10!б) дает ~ [т „Р,()с)+(т+1) Р ос(т)+ т=о + (2лс + 1) (1 — соРт) Чст (т) Рт (!с) — 4л (1 — со) Ть (Т) йот~ = Ое (9.! 04) Придлиаеенные методы решения уравнения переноса иелунения 366 Ряды в уравнении (9.104) можно перегруппировать.
1 ( + 1) сс ! ы+ 1 (т) 1 ссчст- 1 (т) [Ш ас т=о +(2ас+1) (1 — 1 )Ч' (т) — 4 (1 — со)Т»(Т) йо ~Р (Р)=О. (9.105) Чтобы уравнение (9.105) выполнялось при всех р, все коэффициенты при Р (р) должны быть равны нулю. Это условие приводит к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Ч' (т), т = О, 1, 2, ...: (т+1)Ч", +тЧ" с+(2т+1)(! — со! )Ч' = 4л (1 — со) 1» (Т) бо т = О, 1, 2, ..., (9.106) где 1о = 1, а штрих означает дифференцирование по т.
Для изотропного рассеяния примем в уравнении (9.106) все функции 1 равными нулю, кроме 1», которая равна единице. Уравнения (9.!06) образуют бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечным числом неизвестных функций Ч" (т). На практике, однако, рассматриваются системы с конечным числом уравнений т = йс; при этом членом Ч'ул.с пренебрегают. В результате получается следующая система уравнений: дс Ч'»с + (дс — 1) Ч'„', + (2 Лс — 1) (1 — ~)„,) Ч', = О, 97 Чаи с + (2 йС + !) (1 — со! ) Чси = О, которая представляет собой систему дс+ 1 линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с дс+! неизвестной функцией Чсо, сРс, ..., Чсн и называется Рн-приближением. с Решение системы (9.107) можно записать в виде суммы решения соответствующей системы однородных уравнений и частного решения; последнее, однако, не может быть точно определено до тех пор, пока не известна функция интенсивности излучения черного тела !»(Т) = лсоТс(т)1п.
Найдем решение си- г"лава у стемы однородных уравнений в виде Ч'н(т)=д ее', т=0, 1, 2, ..., й(, (9.108) где К~ — произвольные постоянные, а (г — искомые показатели экспоненты. Подстановка (9.108) в систему однородных уравнений, полученную из (9.107) [нли (9.106)], дает следующую систему из Н+1 однородного алгебраического уравнения относительно коэффициентов К /г[(т+1)д „+ту,]+(2т+1)(1 — со( )д =О, (9.109а) где т =О, 1, 2... 71(. )о= ! и снег =О. В случае изотропного рассеяния полагаем 1 при т=О, ( 0 при т~О.
Тогда (9.109а) упрощается и принимает вид lг[(т+1)д ~, +тЕ -,]+(2т+1)(1 — сабо )д =О, (9.109б) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 — гв (г 0 0 0... 0 (г 3 2(г 0 0... О 0 2(г3 3(гО... 0 003(г74(г...О О. (9.110) 0 0 0 0 0... (М вЂ” 2)(г (2М вЂ” 3) (М вЂ” 1)(г 0 0 0 0 0 0... 0 (М вЂ” 1))г (2М вЂ” 1) М(г 0 0 0 0 0... 0 0 М(г (2М+ 1) Из решения уравнения (9.110) получаем допустимые значения (г1 для каждого значения со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
