Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Для простоты предположим, что отсутству!от как внутренние источники энергии, так и внешнее излучение на границе т = то. Уравнение переноса излучения записывается в виде зя ! — ~ ~(,)~(, ', ')~ '~~' о'=о и'= — ! при 0(т(то, — 1((р~(1 (8.211а) и следующих граничных условиях. 1 (т, р, ср) ! о = Р! (р, ср), р ) О, 1(, р, р)(,, =О, „<О, (8.211б) (8.21!в) где Р!(р, !Р) — заданная функция, р(ро) — индикатриса рассеяния, а ро — косинус угла между падасощим и рассеянным лучами ро = рр' + Ъ~1 — р' А/! — р'з соз (ср — ср'). (8.212) то — 1(„(! (8 н следующих граничных условиях: (8.213б) (8.213в) 1о(т, р, р)~,=О=Р!(р, р), р) О, 1,(., р, ~)1, „ = О, р < О.
Функция 1,(т, р, !Р) характеризует нерассеянную часть интенсивности излучения 1(т, р, !Р) в решении задачи, описываемой уравнениями (8.211), Решения уравнения (8.213а) для прямой Рассмотрим вспомогательную задачу, описываемую следующим уравнением 1, (т, р, ср) и обратной 1о (т, р, !Р) составляю!цих интенсивности име!от вид 1о (с, р, !Р)=Р!(р, !Р)е 1о (с, р, !Р) = О, р < О. р ) О, (8.214а) (8.214б) Тогда величина зя Г Р(ро)1о('с, р, ср') с1р'с1!р' о'=о и = — ! записывается в виде оя сх(т) = ~ ~ Р(ро)1о(т~ р, Ф)стр сТР р =оп зя ! 1о(р,) Р, (р', ср') е и" с1р' Жр'. (8.215) о'=ои =-! и следующих граничных условиях; 1,(, р, р)~,,=0, р)О, 1,(, р, р)1,, =О, р<о. (8.217б) (8.217в) В общем случае учитывающую зависимость от азимутального угла задачу, которая описывается уравнением (8,217а), можно Предположим, что решение 1(т, р, !Р) уравнения (8.21!а) можно представить суммой рассеянной и нерассеянной составля!ощих 1(с, р, !р) =1о(т, р, !Р)+1,(с, р, ср), (8.216) где 1о(т, р, !Р) — решение уравнения (8.213а) .
Подставив (8 216) в (8.211) и используя (8.213) и (8.215), можно показать, что функция 1!(т, р, !Р) представляет собой решение следующего уравнения: д'с д1! ('с, и, 8!) оя ! =л ~ ~ Р(ро)Р (р, р)в "" трпр+ о =си =о зя + —,. ~ ~ Иро)1 ( р' ~') Тр' йр' е =си=- ! при 0 ( т ~( со, — 1 ( р ( 1 (8.217а) Соотношения для геллообмена ивлучением в непроврачнык ередак 335 Глава 8 334 свести к последовательности осесиммегричных задач в предположении, что инднкатрнса рассеянии р(11О) может быть разложена по полиномам Лежандра, как в (8,39), а интенсивность может быть разложена в ряд Фурье в виде 7!(т, 11, !р) = ~ [7~(т, 11) в)пйф+ 7~(т, 11)созЬр1.
(8.218) й-! Подставляя эти разложения в (8.217а) н объединяя коэффициенты при сов нф и в1п нф, получим последовательность уравнений с' однородными граничными условиями для функций 7,(т, 11) и 7 (и, 9). Для простоты анализа рассмотрим представление уравнения (8.217а) последовательностью осесимметричных задач в частном случае, когда функцию Р)(11, ф) можно представить дельта- функцией. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЪНЫЙ ПУЧОК НАКЛОННО ПАДАЮЩИХ ЛУЧЕЙ Рассмотрим функцию Р)(р, ф) в виде Р (П, ф) =)б(рй — рй)б(ф! — ф) (8.
219) где б(х) — дельта-функция, а )! — константа Граничное условие (8.219) характеризует плоскопараллельный пучок лучей интенсивностью )1, падающий ва граничную поверхность т = 0 под углом 8! = агссоз 11) к оси т и под азимутальным углом ф!. Предположим, что индикатрису рассеяния р(1йО) можно разложить в ряд по полиномам Лежандра [см, (8.37)]: Р (ПО) - Х илР (ПО) пи = 1. (8.220) п=О Если рйа описывается выражением (8.212), то индикатрису рассеяния можно представить в виде и и Р(ПО) = Х Х (2 бет)ап Рл (р)Рл (11 ) совщ(ф — ф'), (8,221а) т=О л=т где а! )— = а, п=п), ..., А), 0<)п<М, (8,221б) л л(п1 т)! 1 1 при т=О, (8. 221в) 1.
0 в остальных случаях. Здесь (8.221а) получено нз (8.39а) путем замены порядка суммирования в правой части этого выражения. Теперь разложим интенсивность 7!(т, р, ф) в ряд Фурье [2)! 7!(т, 11, !р) = ~ 7" (т, р)совй(!р, — !р). (8.222) й-О Подстановка (8.221) и (8.222) в (8.217а) дает ~ сов й (ф — ф) [П, ' " + 7'(, П)] = М и = л, ° !л,— л)[ —;), -"" л, )1 — 1, )."'е."!л)е."1„)~)лт=о !.
л=!л и и ! +~~',,5,,5, 4„п ~Р (рй) ~ Р (р')7 (т рй')еррй'Х и=О т=О л т йл М[)1 — 1, ) [ 1)л,— ф) !ф — Л)еф~. !1221) В'=О Интеграл по ф' в правой части можно преобразовать к виду йл соз й (!р, — ф') соз пй (ф — !р') ерф' = р'=О = б,!1 [б, -[- соз пй (ф! — ф)), (8.224) где 1 1 при !п=н, бтй 4 0 в остальных случаях. После подстановки (8.224) в (8.223) суммирование по й в правой части (8.223) исчезает.
Для удобства в голученном выражении заменим верхний индекс пй на !е, а сумму в левой части представим двумя слагаемыми: от й = 0 до А!', и от )е = М+ 1 до оо. В результате получим ;5; ° й(ф! — ф) [р "," "'+ 7'(., М]+ + '5' сов й (!р, — !р) [, "'(' Р) [ 7й (, ,)] = йй мн! =л.'"'1)Л Е[г,!' "'й !1 1.)""Е')л)Е'!л))Л- и=о п=й и М 1 ли '"' " !л 1) ! т й ""е. )л) [ е! )л') !' ! л') лл'1 . й О л=й и' -! (8.226) Глаза 8 336 ПРИМЕЧАНИЯ 1 4я П'=4л«=0 (2) 1 — о«(з) ~ р(й 'й)1«(5 Й Г)дй О'=4л — р (й' й) 44Й' =1. 1 4я 1 (т, [4)[,,=О, [4)О, 1ь(т, [4)[,, =О, [4(О. (4) (8.229а) (8.229б) (8) Ц=4л «'Ч =8 и'= -4 При записи (8.225) было использовано следующее соотношение: (2 — бое) (бее + соз й (Ч44 — Чз)1 = =2созй(Ч44 — 4р), й=О, 1, 2, ...
(8.226) Уравнение (8.225) можно представить последовательностью более простых уравнений относительно функций 1я(т, [4), поскольку члены, содержащие соз й(Ч44 — Ч4), являются линейно независимыми. Объединяя коэффициенты при соз й(4р4 — )р), по- лучим +1ь(т, ) =О, и 144, (8.227) д1" (х ) и Р д'" +1" (т Ф= 4 74~ ""' ~~',(2 — ась)а'„"Р'„(Р)рв1',[44)+ и + 2 ) о,"~15~ ([4) ~ Р~ ([4 ) 1ь (т, [ь') 4[[4', й ~ (.Ч, (8.228) где й = О, 1, ..., Аг, а п = й, й+ 1, ..., Аг. Граничные условия для этих уравнений записываются в виде Уравнения (8.227) и (8.228) имеют тривиальные решения, поскольку оба эти уравнения и граничные условия являются однородными. Путем решения уравнений (8.228) совместно с граничными условиями (8.229) получены функции 1Я(т, р), й = = О, 1,2, ..., Аг.
Такнх4 образом, уравнение (8.217), учитывающее осеву4о асимметрию, преобразуется в систему (Аг -1- 1) интегродифференпнальных уравнений для случая осевой симметрии. Случай Лг = О соответствует изотропному рассеянию, и уравнение (8.228) сводится к уравнению д +1(' Р) 4 1" йм+ —, ~ 1(, Р) с[[4 (8.2ЗО) д1(т,р) м т м где для простоты индекс О опущен. Этот результат можно получить также из уравнения (8.210а), если принять в этом уравнении д(т) = О, гсз( — [4,4р) = О и гс4([ь,йз) = 1'4 6([44 — [4). Соотношения дяя теляообмена излучением в непрозрачных средах 337 ') Уравнение (84в) можно также вьсвестн непосредственна нз определения субстанциальной производной, а именно Й1«д1«Ж д1«4[5 д1«д1« — = — « — + — « — — «+с — «, ЙГ ду дГ дз Ж дГ дх ' поскольку с = дз[ш.
з) При некогерентном рассеянии происходит перераспределение рассеянного излучения по частотам, и член, соответствующий приращению энергии пучка ва счет рассеяния излучения, запишется в виде — о , (5) р («' -ь «; Й' Й) ум (5, Й', 4) 44«' 4[й", (1) а'=4л «'=Ю где индикатриса рассеяния нормирована таким образом, что Уравнения (1) и (2) сводятся к уравнениям для чисто когерентного рассеяния, если р( '- «ой' Й)=р[й' й)б(«' — «), (3) где б — дельта-функция Днрака Подставляя (3) в (1) и (2) соответственно получаем Более подробный анализ некогерентного рассеяния можно найти в книге Ам- барцух4яна [81 4) Уравнение (8 18) аналогично уравнению стационарной теплопроводности с внутренними источниками, т. е где Ч' — вектор плотности кондуктивпого теплового потока.
4) Уравнение (8 20) аналогично уравнению стационарной теплопроводности без внутренних источников, т. е. «Ч'=б, где Ч' — вектор плотности кондуктивного теплового потока, ') В прямоугольной системе координат, например, уравнение (8.28) можно записать в виде 1 1 г д д д 4 1 +и +и )1«(х у з 1 я4 л)+1«л Б«(х у и 1 4п и), дх ду дг) Соотношения для теплообмена излучением в иепрозрачнык средах 339 338 Глава 8 1 Р, (х) = — (Зх' — 1), 2 1 Рг (х) = — (35х« — ЗОх' -|- 3), 8 Ро(х) =1, Р, (х).=х, Р» (х) = — (5х» — Зг) 1 2 и т.д У анне ) равнение, определяющее спентральную функцию источника (8122), имеет оч (т) = (! ыч) 7»ь (7 ) + | | + 2' ~ 7ч (О, р) в ю~г((з+ ~ Тч (го, — р) в |т' ~Рис(р+ Ео о то »)»~ Вл,~~ о ») Уравнение (8.139а) означ ает, что в условиях радиационного равновесия плотность потока результирующего излучения всюду постоянна в среде, т. е.
у = ~ у'(у)дн=сопз1, ч=о но плотность монохроматического потока излучения ( ) д (у) при этом не обязательно постоянна. ЛИТЕРАТУРА 1. Сампсон Д., Уравнения переноса энергии и количества движения в газах с учетом излучения, М., изд-во «Мир», 1970. 2. Чандрасекар С., Перенос лучистой энергии, ИЛ, М., 1953 Л(ечл Уогй, 1963. 3. Коигйапо(1 У» Вая|с Ме|йодя |п Тгапя|ег РгоЫегпя, 0оч Р Ы' очес и |са |опя, 4. Соболев В.
В., Пе енос Гостехиздат, М., |956. р лучистой энергии в атмосферах звезд и плане, т, 5. '1« . У|я ап|а К, Неа1 Тгапя|ег Ы ТЬеппа| КайаИоп АЬяогЫпи апй ЗсаИег!пня Мед!а, АЛ(Ь-6170, А!ионне Л(аИопа! ЬаЬога!огу, Агиоппе, И!., |960 6. тйякап!а К., Кад|аИоп Тгапя1ег апд |п1егасцоп о1 Сопнес1юп ыИЬ Кад(аИоп Неа1 Тгапя1ег, |п «Адчапсез |п Неа1 Тгапз1ег», Т. Р. 1гн|пе, 3. Р.
Наг1- пеИ (ейз), Асадет!с Ргсяя, Л(ечл уогй, 1966. 7. Луе!пЬегй А. М, ЛУ!цпег Е. Р., ТЬе РЬуйса! ТЬеогу о1 Л(еи(гоп СЬа|п КеасИопя, ТЬе Пп!чегяИу о1 СЫсзио Ргеяя, СЫсаао, 1И., 1958. 8. Миггау К. Ь., Л(ис!еаг Кеас1ог РЬуя|ся, РгепИсе-НаИ, Епи!еыоод С1|н, 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
