Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Общие соотношения. Условие радиационного равновесна записывается в виде где а, зависит только от частоты, а $(Т) — только от температуры. Определим переменную оптическую толщину т н полную оптическую толщину то в виде .= ~ 5(Т)[у, о то — = ~ ь(Т) "У. о (8.143 а) (8.1436) У авненне (8.140) н граничные условия (8.141) можно вы- Р разить через оптическую толщину )х ' ' +а 1 (т р)=а 1е[Т(т)] 0<я<то — 1(р(1 (8.
144) прн граничных условиях 1 1,+ (0) =ее»1,о(Т,)+ 2ра, (]1, (О, — р') р'с)р', р > О, (8.145а) о 1 1, (то) = ее»~»о(~з)+ 2ра» ']1,+(то, Р ) И'с)го', И < О. (8.1456) о Уравнение (8.144) с граничными условиями (8.145) можно формально решить относительно плотности монохроматнческого потока излучения с),'(т) [см. (8.84)]: , „,1 с)т (т) = 2и 1 1» (0) Ез (а т) + ~ а 1 е [Т(т')] Ез [а„(т — т')] с)т' ~— — е [ипчхи.п„—,и» [ш.нтыи е, ~„и —.ое" ~, (8.145) а производная от д',(т) по т определяется в виде [см, (8.95)] Г дт = 4иа»1»о[Т (т)] — 2а ~ а„1» (0) Ез(а»т) + + а»1» (то) Ее[а (то — т)] + + ~а»1»о[Т(т')]Е,(а [т — т'[)с!т'~. (8.147) о 314 Глава 8 Соотношения для теалообмена излучением в неарозрачнмх средах 313 Фо рмальные решения относительно интеиснвнос тей излучения вид [см.
(8.110)]: на граничных поверхностях 1т (0) и 1, (то) имеют след ю ий ч едующи 1, (0) = е, Аь (Т,) + 2Рв ~ 1, (т ) Е (а,т,) + + ~ ач1чь [Т(г')] Е,(а,т') дт' 5, ,] ч (то) =вач чь(Тх)+2рзч (1„+(0)Ез(а то)+ -5 ! ~Р, Чт~ 'не,ин,-"ее" ~. о (8.148а) (8.148б) а условие радиационного равновесия [см. (8.139)] записыва в виде ду" (т) ь(т = О. (8.! 49) ч=о Г!одставляя (8 147) в (8.149), получим 0 1 и 1 ь[Т (т)] ьь'е = 1 1' Š— а,1, (0)Е,(а,т)+ач1,„(то)Е,[ач(то т)1+ ч=о + ~ ахать [Т(т')]Е,(а ]т — т']) ат' ~ Йт.
(8.150) о Уравнение (8.150) совместно с выражениям (8.148 л ет собой интегральное уравнение дтя р 55 ь н . ) представля распределения температуры в слое, которос очень трудно ре б внснмости коэффнцненга поглощения шнгь в о щем случае замость коэффи нен а щения от частоты. Есл щения . Е н завнснсыва фф ц т поглощения от частоты прнблнж ется с помощью модели полосы нли модели узкой полосы, то уравнение (8 150) можно преобра в легче поддается расчетам. Ниже будет рассмот еёо п н 8 150 сканта [15 — 17]. ( .
) на основе подхода, принятого в работах К о б В.- рос и н и- а) Применение модели полосы. Рассмотрим спектр поглощения, состоящий из М полос шириной Лть с ценграмн т, (5 = = 1, 2,..., М). Предььоложнье, что параметр а, в пределах полос принимает значения 0 ( а, ( 1, а в интервалах между соседними полосами исчезающе мал. Заметив, что интегралы в (8.150) равны нулю, когда а, = О, запишем (8.150) в виде ~аь ~ 1чь[Т(т)]с(т= — ~~| аьЕа(а,т) ~ 1ч (0)ьЬ+ ач 5=! ач, м + 3 ~ аьЕз[а5(т,— т)] ~)1, (то)дт+ 1 ать (8.! 5! ) то Л5 + 3 ~ Х а',Е5 (аь] т — т' ] ) ~ 1чь [Т (т')] с(т ~ йт'.
о [ ач, Это достаточно общая запись уравнения. Рассмотрим его применение в некоторых частных случаях. Модель двух полос. Уравнение (8.151) можно упрощать и далее, если предположить, что спектр поглощения состоит нз двух областей: области поглощения н области прозрачности, н что параметр а, равен 1 в области поглощения в пределах полосы частот Ьт и нулю за пределами этой области, а именно 1 для т в пределах полосы частот Лт а (8. 152) 55 0 для т за пределами полосы частот Лт. ~ а 1 ь [Т (т)] йт = — Е, (т) ~ а,1, (0) дт + я~5 ч=о 0 1 + Е, („- т) ! ач1ч (то) дт + ч=о % 0 .>ф ! е,5~,— сь~ ! ~5, <т("и~гг]е" [ я=о (8.! 53) где параметр а, описывдется условиями (8.152). С использованием такой модели двух полос уравнение (8.151) преобразуется к виду 31б Глава 8 Введем теперь новые функции (8.154а) (8.1546) (8.154в) (8.158а) (8.
158 6) нлн после преобразований аа пределами Ьп 1 (т) — 12 /! /2 (8.156) Тогда (81556) примет внд (8. 160) (8.161а) 0 /р (т) — = ~ а,1,з (Т (т)) дд), 0 — ~ а,1~ (0)//и, п=о 0 /2 = ~ ач/и (тп)(тр. ч=о Тогда уравнение (8.153) примет вид 1 22 /() г )/ е()-( / е(,— ).(. 1 /( )е, () ()л (8. 155 а) 1(е) )2 1 — * е ()' — е))ле~ (2.2222) Р (т') — 12 2=О По уравненн!о (81556) можно найти распределение температуры в среде, причем его внд аналогичен виду.
уравнения (8,1306) Введем безразмерную функцию 0(т) Че 2(.) - — 2(е, (.) -«12(") е, ((, — е О ие~. (2 дат) 1 о Полученное уравнение представляет собой интегральное уравнение относительно функции 0(т) н имеет точно такой же внд, как уравнение (8 132 1 для серой среды Выведем теперь соотношение для плотности потока результирующего излучения (1".
Интегрируя (8 146) по всем частотам н используя приближение двух полос, описываемое условнямн Спорном/ение длл теплообмена излучением в непрозрачных ередак 317 (8.152), получим искомое соотношение е'= 1 1 //(2)л.— 1 /;(.,)2.1л ) аа пределами аа пределами Ьи Ьч -~2 (е,() 1//(а) и — е,(,— ) 1/„(,)и Ьп Ьи + )Е2( ) ()1 р[т(т ))/и/лт о Ьч 22 -1"-'1'"""" "1 Ьч Это соотношение можно записать в более компактном виде (и/! /;] + 2п ( /!Ез (т) — /2Ез (то т) + 22 .) ')/(е)е(,—;)л,'-1/(,) е,("-,)и, ~, о 2 где Г!, Гг н Г(т') описываются выражениями (8.154), а Г; и ~; определяются в виде 0 — 1й(0) /(п = ~ (1 — ач) 1и (О) /(п, (8.159а) аа пределами п~) 0 — 1 (то) /(п = ~ (1 — ач) гч (то) (тр (8.1596) Уравнение (8.1586) можно записать в виде Г1 /'') и д ! 2т = 2~Ее(т) + ~ Е,(т — т')//т'— о 22 е ) (. ) — 2 е (..
.) 2,,1 1! — /г Подставляя (8 156) в (8 160), можно получить следующее выражение для плотности потока результирующего излучения, — =Я у" — (1; — 12) д 11! — 12) Соотношения для тенлообнена иалуаенисм в ненровранных средах 319 318 Глава 8 где безразмерная плотность теплового потока Я определяется в виде а=с[сна-~ (енсе,н —,ьее — (е ньен — ал, ~.
о (8.161б) Безразмерная плотность теплового потока 1,1 не зависит от т, поскольку в условиях радиационного равновесия плогность потока результирующего излучения дт в среде постоянна. Выражения (8.161) имеют тот же вид, что и (8.134) для серов среды. Для черных границ интенсивности излучения 1,+(О) н 1, (то) известны, и поэтому функции )п 1„1, и 1,, можно определить непосредственно. Таким образом, после определения функции 6(т) путем решения интегрального уравнения (8.157) плотность потока результирующего излучения может быть рассчитана с помощью (8.161).
Для получения распределения температуры в среде необходимо решить трансцендентное уравнение (8,156), в котором функция 1(т) зависит от температуры. б) Применение модели узкой полосы. Уравнение (8 150) можно упростить, если использовать модель узкой полосы. Рассмотрим спектр поглощения, состоящий нз М узких полос (или линий) шириной Лт, каждая, с центром, соответствующим частоте т, (1 = 1, 2, ..., М).
Для упрощения анализа предположим, что границы слоя представляют собой черные поверхности, т. е. 1,+; (О) = 1м (Т,) и 1 (то) =1м (Тт) Если преобразовать уравнение (8.150) с учетом приближения узкой полосы (8.138), то получим ~н1ы )Т(т)1 ~ а,е)т= 3 ~~', 1м(Т,) ~ ачЕт(ачт)ьгч+ "'т + у ~~',1ьь (Тт) ~ а,Ет [ач (то — т)) ь)т+ 1 т=! Ьч — 11! ~т( Е( ( еЬ ~ — '(1е )е ' (8 162) о ь ю и Ьч~ где а, =1 (т'= 1, 2, ..., М) в пределах каждой полосы, а функцня ПЛаНКа 1гн раССЧИтЫВаЕтСя В цЕнтрЕ 1-й ПОЛОСЫ ИЛН Липин. Уравнение (8.162) можно записать в виде м м м ~',1ьь(Т(т))ут= ~1ь (Т)уК (т)+-~1ь (Т,)у,Ка(то — т)+ тсм т, м + — ~ ~1ьт (Т (т')) у,К', ((т — т'() еИ', (8.163) 0 ь=! где (8.164а) (8.164б) (8.
164в) Если предположить также, что коэффициенты поглощения для каждой полосы (илн линии) имеют одинаковые профили и величины, причем эти профили не перекрываются, то величины ум К'(г) и Кь(г) становятся не зависящими от 1 и уравнение 2 (8.163) упрощается: то ю-фх м,-ттх,ь,— иь( них,и — тон"]. (8.165) где м Е(т) — = Е 1ьЛТ( Ь ь=! Г, = ~'. 1„(Т,), ге == л 1ьь (Тт) К, (г) =— — ~ а',Е, (а,г) ь)т, Кг (г) = — ~ ачЕа (ачг) е)т~ 1 у ач Ч— = 1., 1' ач уь — = ~ ач ЕЬть, ач,. К', (г) — = — ~ а',Е, (а,г) е)ч, у, Ьч. К' (г) — = — ~ а,Е, (а,г) еЬ.
1 а ' ьчт (8.166 а) (8.166б) (8. 166в) (8. 167 а) (8. 167 б) (8,167 в) Соотношения для геплообмена излучениен в непрозрачных средах 321 Глава д 320 Удобно ввести безразмерную функцию 0*(т) Р (с) Р2 0 (т) = (8.!68) Подставляя (8.168) в (8.165), получим следующее интегральное уравнение относительно функции 0*(т): 2, е()=-,'[к()-~[2(.')к() ° — "))кс]. (2(22) о .( 2 7 "[К( ')К ( — ')К ' — ! К( ')К ( ' — )К '], Е (72) ьо где Т(, Тг н Т(т) определяются согласно (8.!66), у и Кг(г)— согласно (8.! 67), а функция К, (г) определяется следующим образом: Кз(в) = — — ~ [Е ((г,з) — ~]с( (8.! 7! ) Заметим, что уравнение (8.170) имеет такой же вид, что и (8.1586), следовательно, его можно преобразовать, как это сделано в (8.161), н ввести функцию 0'(т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
