Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Предположим, что интенсивность излучения не меняется в направлении г. Радиус-вектор может быть задан координатами г, ~р„, а направление переноса излучения й в данной точке координатами О и еро, где Π— полярг л между направлением 11 и осью г. Из условия цилииической симметрии следует, что интенсивность излуч ения индрическо" вариантиа относительно вращения вокруг оси г..огда и . Т нтенснвность излучения зависит от трех переменных радиального расстояния г от оси г, полярного угла О и разности азимутальных углов ер = еро — ер,.
— „. На фиг. 8.5 представлены рассматриваемые здесь координаты, Производная по направлению и)е)в связана с частными производными по этим переменным следующим соотношением: Производные ерг/е)в и отер7е(в можно вычислить. Перемещение на с(в вдоль пути в в направлении 1з приводит к увеличению ра- Глава 8 284 где (8.60б) гтг =С05ф, глр — = 5!и 1Р.
Лвжпя = (8.55) (8.56) (8.57) о=о е=п Фиг. 8.8. Система координат для задачи с цилиндрической симметрией. диальной координаты г на с(г, уменьшению угла ф на с(ф, а угол О остается неизменным. Запишем Подстановка (8.55) н (8.56) в (8.54) дает ст' д а!п611пф д — = 5!и О соз ф ае дг г дф' Тогда уравнение переноса излучения (8.47) в случае цилнн. дрической симметрии принимает вид Г даат(г,з,ф) Мпз д/чг-,з,ф)т 1 дг =мн1, (Т)+ — „и, ~ ~ 1,(г, О', ф')5!пО'с(0'с(ф'. (8.58) 1 8.6. ФОРМАЛЪНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЪНОГО СЛУЧАЯ ПРИ НАЛИЧИИ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ В настоящем разделе приводится формальное решение уравнения переноса излучения в плоском слое при наличии осевой симметрии.
Подход к решению задач при отсутствии осевой сим- Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 288 метрии рассматривается в конце главы, где показано, что в это;и общем случае уравнение переноса излучения можно преобразовать в систему уравнений, соответствующих случаю осевой симметрии. Рассмотрим уравнение переноса излучения, записанное в следующем виде [см. (8.4!)): р '(™ +1,(т, р) =Зч(т, р) при 0<с<то, — ! <р< (, (8.
59а) 1 + — ' ~ р(!х, !х')1т(т, р') с(!х', (8.59б) — 1 р(р, р') =— ~ а„Р„(р) Р„(р'), ао — — (, (8.60а) а Р— косинус угла между направлением переноса излучения и положительным направлением оси т. Граничные условия для уравнения (8.59) формально можно записать в виде 1,(т, р) (,,=1,'(О, р) при О < р< (, (8.6!а) 1,(т, р) ),, =1, (т„р) при — ! <р < О. (8.6(б) В общем случае интенсивности излучения на граничных поверхностях 1, (О, !х), р > 0 и 1, (тс, !х), р < 0 не обязательно известны заранее как исходные данные. Например, в случае отражающей непрозрачной граничной поверхности функции, стоящие в правой части уравнений (8.6!), будут содержать интенсивность излучения внутренних слоев среды, отражающегося от граничной поверхности; следовательно, они неизвестны. С другой стороны, в случае прозрачных границ с падающим извне осесимметричпым излучением или в случае черных границ с заданной температурой эти функции известны.
Прн отыскании формального решения уравнения (8.59а) обычяо разделяют интенсивность 1т(т, !х) на две составляющие: прямую 1,"(т, !х), р > О, н обратную 1, (т, !х), !х < О. Тогда уравнения для 1ч (т, !х) и 1, (т, !4) и соответствующие граничные условия 288 Глава 8 Соотношения длл теплообмена аэлученаем в нелроэрачнь~х средах 287 примут вид д1» (т, И) +1» (т, И) = о»(т, И) при 0<т<то, О < 9<1, (8.62а) 1» (т, И) ~»=О= 7,+ (О, И) Прн 0 < И~~1 (8,62б) и д1 (т, Р) И д +7, (т, И)=Я»(т, И) при С~~т~то, — 1(И<0. (8.63а) !» (т, И)!т=„=! (то, И) прн — 1<и<0.
(8.63б) Эти уравнения взаимосвязаны, так как содержат функцию источника З»(т, и) о ( . И) = (! — то») 1»ь (7 (т)! + р ! о г „,, ( ~на, »ч ее']. (е.эч) о -1 Система координаг для рассматриваемой задачи показана на фиг. 8 6 Уравнения (8 62) и (8.63) представляют собой систему ингегродифференциальных уравнении, непосредсгвенное решение которых в общем случае невозможно. Поэтому, прежде чем приступить к изложению подробностей решения системы этик уравнений, опишем общий ход анализа, чтобы создать представление о методике решения, которая будет приведена в последующих разделах данйой главы. Сначала уравнения (8.62) и (8.63) будут формально решены относительно интенсивностей 7," (т, и), и > 0 и 7, (т, и), и < 0 т и> н< о Фнг.
8.8. Система координат прн формальном решении уравнения переноса излучения в плоском слое. В большинстве приложений представляют интерес такие величины, как пространственная плотность потока падающего излучения 6(т), плотность потока результирующего излучения д'(т) и его производная е(д (т)1е(т. Следовательно, с использованием формальных решений относительно 1,+(т, и) и 1, (т, и) будут получены общие соотношения для 6(т), д'(т) и е(д'(т)(е(т. Как будет видно из дальнейшего, все эти выражения содержат интенсивность излучения на границах (1, (О, И), И .м О, н 1» (то И) и < 0), а также функцию источника З»(т, и), которые в общем случае неизвестны. Следующим шагом анализа будет отыскание соотношений для интенсивносгсй на границах и функции источника.
В равд. 8.7 рассматриваю гся граничные условия, соответствующие задачам теплообмена излучением, а в равд. 8.8— формальные решения для интенсивностей на граничных поверхностях. Однако для определения с помощью этих соотношений интенсивностей ва границах необходимо знать функцию источника З»(т, И).
Чтобы завершить анализ, в равд. 89 представлено интегральное уравнение, определэцощее функцию источника. Заметим, что формальные соотношения для 6(т), д" (т) и е(д'(т)!е(т, а также интенсивностей на граничных поверхностях, которые будут получены в настоящем анализе, часто используются при расчетах теплообмсна излучением в различных приложениях, которые рассмотрены в гл. 1! — 14 Поэтому, чтобы иметь готовые соотношения для таких расчетов, мы выведем сначала общие формулы, а затем найдем выражения для 6(т), д" (т), е(д" (т)1е(т н интенсивностей на границах для некоторых частных случаев Перейдем теперь к подробному описанию анализа. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ Формальное решение относительно прямой составляющей 1," (т, и) находится с помощью уравнений (8.62): 1,"(т, И) = 1„+ (О, И)Е ЧВ+ ~ — З»(т', И)Е " тзаг(т' При И > О, 3 и (8.65) а для обратной составляющей !» (т, И) — с помощью уравнений (8.63): 1» (т, (х)=! (т, И) ом т — ~ — 3 (т', Н)е Н томе(т' при И <0 (8.66а) 1 [8.69) а=о т=х где 6 [т) — 2п ()7,[т, 1х) д1х.
-! [8.67) с=о Е [г) — ~ 7[п-ае — х(п д 1 о [8. 72) 10 зак, 7оо В этих соотношениях, например в [8.65), первый член в правой части представляет собой в явном виде вклад излучения ог г аничной поверхности т = О, которое проникло на глубину т, ' р не рассеиваясь; второй член — вклад функции источника в интервале значений от т = О до т в интенсивность излучения на глубине т.
Простой физический смысл имеют также члены соотношения [8.66). Формальные выражения [8.65) и [8.66) не являются решениями в подлинном смысле, поскольку в общем случае функция источника и интенсивности на границах зависят от интенсивности излучения, испускаемого средой; следовательно, они не могут быть непосредственно использованы в качестве исходных выражений при решении рассматриваемой задачи. ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОИ ПЛОТНОСГИ ПАДАЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ Пространственная плотность падающего л(онокроматического излучения 6,[т) в случае осевой симметрии определяется в виде Разделив интенсивность иа прямую и обратную составляющие, можно переписать [8.67) в виде ! о а.(')=е'[[и( ч)хч-~ [(7(, ч)еч]- о ! ! = 2п ~ ~ 7," [т, р) др + ~ 7ч [т( — м) др [8 68) Ео о Сов!ношения для геплообмена излучением в непрозрачньн средах ВВЭ Подставляя [8.65) н [8.66) в [8.68), получим формальное выражение для 6,[т) р 1 ! 6,[т) = 2п ~~ 7„+ [О, 1х) е '7" д1х+ ~ 7ч [то, — 1х) е (" ')з'д1х+ о о + ~ ~ — Еч[т', Р)е (ч'-ч)М дт'д1х+ а=о ( =о ! (, + ~ ~ — Е [т', — р) е-1'-"(а дт'др.
1 Рассмотрим некоторые частные случаи этого выражения. а) Изотропное рассеянно. Функция источника Е,[т, р) при нзотропном рассеянии не зависит от 1х, и уравнение [8.69) упрощается: р ! ! 6т[т) = 2п ~~ 7ч [О, 1х) е '(ад1х+ ~ 7, [то, — р) е "' 'а" др+ о о [ 3,(')Е,(( — 'Ох '], (!70) !'=о Е,[т') Е [[т — т'[) дт'= ('=о чч чч — о~[т') Е, [т — т') дт'+ ~ Еч[т ) Е( [т' — т)дал( [8 7!) а Е„[г) — интегрозкспоненциальная функция, определяемая в виде В приложении содержится сводка свойств ннтегроэкспонен. циальных функций. Для более детального ознакомления с ними читатель может обратиться к книгам Чандрасекара [2) и Курганова [3).
б) Изотропное рассеяние; интенсивности излучения на граничных поверхностях не зависят от направления. Если интеп- Глава а 290 (8.73) д', (т) = с(," (т) — с(, (т). (8.79) (8.75) (8.80а) (8.806) дс (т) = — ~ вт, (т) а!у, (8.76) ч=о 4: (') = 2 ~ 1 (' р) р (р (8.77) (8.81) сивносги излучения на границах не зависят от направления, уравнение (8.70) упрощается и принимает вид 6„(т) = 2п [1," (О) Ез (т) + 1 (то) Ез (то — т) + ч [ з, !с! е ! ~. — " П е'].
о в) Нерассеивающая среда; интенсивности излучения на граничных пОверхностях ие зависят от направления. Для нерасссивающей среды оо, = 0 и спектральная функция источника [вы. ражение (8.596)] принимает внд Яч (т) 1чь [7 (т)] (8.74) Подставляя (8.74) в (8.69) и учитывая, что интенсивности излу. чения на граничных поверхностях не зависят от направления, получим 6,(т) = 2тс[1ч" (О) Ее (т) + 1, (то) Ее (то — т) + ч [ !.,!ть!!е, !~.— "ое']. о ФОРМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ ПОТОКА РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ Плотность потока результирующего излучения с!" (т) в плоском слое при наличии осевой симметрии описывается выраже- нием где плотность монохроматического потока связана с интенсивностью излучения соотношением ! Плочность потока результирующего излучения а" (т) представляет собой результирующий поток энергии излучения в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси т.
Величина в" (т) считается положительной, если перепое энергии излучения происходит в положительном направлении оси т. Соотношения для теилоодмена излрчением в непрозрачно!х средах 291 Разделив интенсивность излучения на прямую и обратную составляющие, можем записать (8.77) в виде Г ! о ч„! !=! [ [ и!,ь!ьегч- [ с,оь!ьеь]= и-о и=-! г ! ! =2 [[ П(,ь)ьеь — [ ! (,— Ыьеь].
(87ь! и о ич=О Иногда удобно представить плотность моиохроматнческого по- тока излучения а',(т) в виде алгебраической суммы двух про- тивоположно направленных потоков: Сравнивая (8.78) и (8.79), можно заметить, что противоположно направленные потоки определяются как 9," (т) = 2п ~ 1. (т, и) р ср, и=о ! с(-(т) =2л ~ 1 (т, — р) 1хс(р.
ич=О Подставляя в (8.78) выражения для прямой н обратной интен- сивностей (865) и (8.66), получим формальное соотношение для плотности монохроматического потока результирующего излу- чения: Г ! ! Е! ! =2 [[сс(ьь! "'ье~~[ [зи',ь! ц ст е 'е~]— о о о р ! — 2тс~~1 (т, — р)е 1х' ™ра! -[- о хо .«[ [ з.! ', — ь! -ш'-* е"еь], о Рассмотрим теперь некоторые частные случаи уравнения (881).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
