Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. коэффициенты при ~о), получаем а! = — —, [, + [ — ') — 1~. (7,18а) Приравнивая коэффициенты при 9, получаем аг 4 е,'(о) ' Другие коэффициенты определяются аналогичным способом. Зная функции Е„(г!) и коэффициенты ап, егожио найти с помощью (7.12) распределение температуры в пограничном слое. 289 288 Глава 7 х дт Ни=в т — т„ду е=э (7.19) Х а„й„(9)1а веа (7.20а) Ве 7' ал1а вел и х Ке =— ч (7. 206) ('7 21а — = — 01 (О) — 4 1— (7.22) т — = 0,4059 — 0,6208— Гс еж (7,24) Р ЕЗУЛ ЬТА ТЫ В задачах конвективного теплообмена искомой величиной является число Нуссельта Локальное число Нуссельта определяется в виде Подставляя (7.16) и (7.17) в (7.19) и заменяя в полученном выражении едТ [и на з у'и„/чх в соответствии с (7.10а), полу- чим где число Рейнольдса определяется в виде Разделив один ряд на другой, можно записать (7.20а) следующим образом: ~", = — 0;(О) — — "[О;(О) — 0;(О)]2 — ...
Гсеы а, Подставляя а,/а, нз (7.186) в (7.21), получим Вычисленные значения 01(0) и 0](0) приведены в раооте [18] 01 (0) = — 0,4059 н 0~ (0) = — 0,4803. (7.23) Тогда локальное число Нуссельта можно представить в виде Первый член в правой части (7 24) представляет собой локальное число Нуссельта для ламинарного пограничного слоя на плоской пластине при постоянном тепловом потоке на стенке. Второй член учитывает в первом приближении влияние излучения на граничной поверхности на конвективный теплообмен Сесе [4] показал, что в таком приближении мало пользы из-за медленной сходимости ряда.
Излучение и коквекцил в прозрачных средах 7.2. ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ВНУТРИ КРУГЛОЙ ТРУБЫ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ С ИЗЛУЧЕНИЕМ Рассмотрим стационарное полностью развитое течение прозрачного газа внутри круглой трубы при равномерно распределенной плотности теплового потока на стенке с7,. Координата входного сечения трубы х = 0; газ во входном сечении имеет постояйну1о температуру Тес и нагревается до среднеи темпера. туры Тее на выходе (х = Т.). На фиг.
7 2 представлены схема течения для рассматриваемой задачи и система координат Подводимый к стенке тепловой поток отводится от внутренней по. верхности трубы конвекцнеи и излучением, а наружная поверхность теплоизолирована. Температура окружающей среды вблизи открытых концов трубы (х = 0 н х = Е) соответственно равна Т| и Тя. Внутренняя поверхность трубы непрозрачная, серая, диффузно излучающая и диффузно отражающая, имеет постоянную степень черноты е. Предполагается, что справедлив закон Кирхгофа Необходимо определить температуру поверхности трубы ч температуру газа в зависимости от расстояния вдоль оси трубы. Ниже будет предсчавлен приближенный метод решения этой задачи, когда рассматривается газ с осредненной по радиусу температурой и тем самым коэффициент теплоотдачи считается заданным заранее Следует иметь в виду, что такая постановка задачи является ограниченной, так как излучение на стенке, теплопроводность и конвекцня связаны между собой с помощью нелинейного граничного условия.
Пусть Те(х) — осредненная по радиусу температура газа, и — средняя скорость, д — коэффициент конвективной тепло- отдачи, который считается постоянным по всей длине трубы. Фиг. 7.2. Теплоотдача путем вынужденной коивекции внутри ируглой трубы при граничных условиях с излучением. 261 260 Глава 7 (7.30а) или 2А [Т (х) — Те (х)) Лге (х) (7.20а) с граничным условием Т (х)=Т, при х= О. (7. 206) (7.28) (7. 31) (7.32а) Рассмотрим элементарный цилиндрический объем длиной асх и радиусом а в окрестности координаты х (фиг. 7,2). Уравнение баланса энергии для этого объема имеет вид (х) ри с,па' асх =Ь[Т (х) — Т (х)) 2паасх, (7.25) Уравнение (7.20) содержит два неизвестных: температуру газа Те(х) и температуру стенки трубы Т„(х), Для получения дополнительного соотношения запишем уравнение баланса энергии иа поверхности трубы, приравняв тепло, подводимое извне, теплу, отводимому от поверхности трубы путем конвекции и излучения, т, е.
д„= д'" (х) + д' (х), (7.27) где д'ч(х) — плотность конвективного теплового потока с)" (х) = Ь [Т (х) — Те (х)), а коэффициент теплоотдачи Ь считается заданным. Плотность радиационного теплового потока д'(х) можно выразить с по- мощью уравнения (5,10а) следующим образом: ,'(ч=е() — [еиеи)->есСе[с — и; [ еы)ее,.-.....,,~.
х'=О (7.29) где /7(х) — плотность потока эффективного излучения с цилиндрической поверхности; Г (х) — диффузный угловой коэффициент между полосой (а, асх) в окрестности координаты х и входным сечением х = 0; г (Ь вЂ” х) — диффузный угловой коэффициент между полосой (а, асх) в окрестности координаты х и выходным сечением х = 1., расположенным на расстоянии Ь вЂ” х; ссгл -ех, ~ -х ) — диффузный элементарный угловой коэффициент между полосой (и, асх) в окрестности координаты х и полосой (а, с/х) в окрестности координаты х', отстоящими друг от друга на расстояние ~х — х'[.
В уравнении (7.29) первый, второй н третий члены в квадратных скобках представляют собой соответственно излучение от входного (х = 0), выходного (х = Ь) сечений и от внутренней поверхности трубы, падающее на полосу (а, сСх) в окрестности координаты х. Излучение и конвекцип в прозрачных средах Наконец, из уравнения (5.106) можно получить выражение для плотности потока эффективного излучения з) /7 (х) = йТе (х) — 1 ' д' (х) или, подставляя с/'(х) из (7.27) и (7.28) в (7.30а), /7(х) = дТ„(х) [д — Ь[7' (х) — Те(х))). (7.306) Уравнения (7.20) — (7.30) дают полное математическое описание задачи.
УРАВНЕНИЯ В БЕЗРАЗМЕРНОМ ВИДЕ Предыдущие уравнения можно представить в безразмерном виде с помощью следующих безразмерных величин: О = (й/д )ч< Т вЂ” безразмерная температура, '1 5= — /7/д — безразмерный поток эффективного излучения, 3 = 4Ь/ри ср — число Стантона, Ь"=(Ь/д ) (с) /й)' — безразмерный коэффициент теплоотдачи; х, х' е — — = — и $ь = — —,.
2а Тогда уравнение (7.20) преобразуется к виду Ле,(В) = 8 [О. (Б) — О, (Е)[ с граничным условием 0,(Е) =О„прн Е= О. (7.326) При совместном рассмотрении уравнений (7.27) — (7.29) получаем 1= Ь'[О. (В) — О,Д)[+5(Д вЂ” ГО',Р (Р+ О~Р (Б,— Б) + $ еь + ~ [)(чь')с/Рве-~ д 1)+ ~ 5(еь')Иле — еу, Н'-М[ (7.33) м — е ч а уравнение (7.306) преобразуется к виду Р (Е) = 0'„(Р ' ' [1 — Ь* [О. (Е) — О, (Е) [).
(7.34) Уравнения (7.32) — (7.34) представляют собой систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями 0„(з), Ое($) и 5ф). Глаеа 7 262 //елучение и конеекиия е проерачнмз средах х63 Угловые коэффициенты Р(в) и Е(эс — я) в приведенных выше уравнениях могут быть получены из (5.84) г/ +ег Е(г) = — г, ч/Т+ е' где г = $ или ~с — $. Элементарный угловой коэффициент е(/'д-ег, ц -з(, согласно (5,85), записывается в виде его з/ с/гез-ег, (г( = г[ 1 [ з 1,, ~ с/зь', (7.36) где г = $ — ~'.
ЦИЛИНДР С ЧЕРНЫМИ СТЕНКАМИ При последующем анализе внутренняя поверхность цилиндра предполагается серой, диффузно излучающей и диффузно отражающей Если же предположить, что поверхность цилиндра черная, то в приведенных выше уравнениях надо принять е = 1, Тогда уравнение (7.34) упрощается 8 (Е) = О'. (Е). (7.37) Уравнения (7.32) остаются без изменений, т. е. две (!1 „' = 8 [О. (Е) — О, (Е)], (7. 38 а) 0,(Е)=О„при Е=о. (7. 386) Подставляя (7.37) в (7,33), получим ! =й'[О. (5) — О, Д -[-О'. (5) — ~0(Г(Д+ О,'Г(Д,— Р-[- $ зь ч- ] з'.(згзз„., „„Ч- ] з'.(згззд ы,,з, з]. Елзг е'-о з' з Неизвестные распределения температуры 0 Я) и Ое(~) определяются путем совместного решения уравнений (738) и (7.39). Хотя эти уравнения и ие имеют аналитического решения, их, несомненно, можно решить численно, используя быстродействующие ЭВМ.
Уравнения (7.38) и (7.39) были решены в работе [8] прямым численным интегрированием для случая цилиндра с черными стенками. Однако область применимости этого метода ограничена короткими трубами Дь = 5 —; 1О), поскольку для приближенного вычисления интеграла в случае длинных труб необходимо делить длину иа очень большое число отрезков, что приводит к системе из очень большого числа уравнений, котору(о невозможно точно решить стандартным матричным методом. Поэтому, чтобы включить в рассмотрение и дчинные трубы, было использовано приближение экспоненциального ядра [8, 9]; точность была проверена путем сопоставления результатов для коротких труб с результатамн, полученными прямым численным интегрированием Метод экспоненциального ядра основан на приближенном представлении диффузных угловых коэффициентов экспоненциальными функциями. Для иллюстрации рассмотрим применение этого метода в задаче для цилиндра с черными стенками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
