Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 43
Текст из файла (страница 43)
кондуктивная и конвективная составляющие пренебрежимо малы), дивергенция Ч ц" должна быть равна д, т. е, уравнение энергии принимает видц (8.! 8 а) где д может бь4ть функцией координат и времени. В одномер- ном случае, например, это уравнение можно записать в виде (8.! 86) = й(у) ду 8.2. РАДИАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ Рассмотрим среду, в которой отсутствуют внутренние источники или стоки энергии, а перенос энергии происходит исключительно излучением (т. е. кондуктивная и конвективная составляющие пренебрежимо малы) и в которой устанавливается стационарное распределение температуры. В любой точке такой среды энергия поглощаемого излучения должна быть равна энергии испускаемого излучения. Это условие эквиваленгно требованию, чтобы результирующее испускание (илц результирующее поглощение) излучения повсюду было равно 44улю, и называется радиационным равновесием.
Уравнение, характеризую- Глава З илн в другом видел) т( Ч'=О. (8.20) 7,(т)= — , '~7(, ~) (Р (8.22) илн птот! 1 я 2 -! (8.23) Фиг. В 2. Координаты, используемые прн формальпом интегрировании уравнения переноса излучения. !ч в 3 щее состояние радиационного равновесия, получае)ся приравни- ванием нулю правой части уравнения (817а): Г вн 1 4 ( ( (т)з ( „( 1 ( („(, в, ч)зчзч]з (8.(9) ч-о ч=о о-о и--( Уравнения (8 !9) и (8 20) представляют собой математическое определение радиационного равновесия Если интенсивность излучения не зависит от азимутального угла (р, уравнение (8 19) упрощается н принимает вид г 1 (и( (т)з.= —,' ),„[ ( )„(,, ч)з„]з..
(ззз ч-о ч-о Для серой среды при наличии осевой симметрии уравнение (8.!9) преобразуется к виду В случае одномерной задачи, когда в качестве оси координат выбрана ось оу, условие радиационного равновесия (820) принимает йид (8.24) Из этого соотношения следует, что плотность потока результирующего излучения в направлении у постоянна иа любом расстоянии вдоль оси оу Однако из постоянства плотности потока результирующего излучения д" никоим образом не следует постоянство плотности мовохроматического потока результирующего излучения д'„которая может изменяться с расстоянием даже если величина дт остается постоянной Соотношения для теплообмена излучением е непрозрачных средах 2 ВЗ. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ Рассмотрим уравнение переноса излучения в виде В () аз +7 (з где спектральная функция источника З,(з, П) определяется следующим образом: оч(з ье) = — (1 озч) Тчь(Т) + ля озч ~ Р(ьл' ° ьл) Тч(з~ ьз') сИ'.
(8.26) Уравнение (825) является нитегродифференциальным уравнением в частных производных, поскольку производная с(/с(з содержит частные производные по пространственным координатам, если записать ее в явном виде для данной системы координата), а интенсивность 7„(з, П) входит под знак иитеграла в функции источника. Поэтому решение уравнения (825) — задача очень сложная даже для одномерного случая. Однако весьма полезно проследить за формальным интегрированием уравнения (825) вдоль пути з в направлении П при формальном граничном усло- вии 7,(з, ьл) =То, при з=я,. (8.27) На фиг. 8 2 схематически представлена рассматриваемая задача. Интегрирование уравнения (825) вдоль пути з при граничном условии (8 27) дает (,(, а)=),.
[ — (т,(')зе]ч. Б Г е -т(т,(')3,(',а)»р( — (т(ш)з "]з'. (828) е ет Уравнение (828) называется интегральной формой уравнения переноса излучения, но оно не является решением в под- 278 Глава 8 о'=о и'= — 1 СЛУЧАЙ ОСЕВОЙ СИММЕТРИЙ (8.31б) е' о и'=-г линном смысле, поскольку функция источника 5,(ч', П) зависит от интенсивности. Однако эта интегральная форма дает возможность выявить роль различных физических фак1оров, влияющих на интенсивность в любой точке вдоль пути з. Первый член в правой части уравнения (8.28) представляет собой вклад интенсивности излучения, исходящего от границы з = з,. Интенсивность Го, излучения, испускаемого граничной поверхностью, ослабляется в результате поглощения и рассея-.
° Ее~ — )ЕЛ И ] з вдоль пути интегрирования. Второй член в правой части уравнения (8.28) соответствует вкладу функции источника 5,(з, П) на участке пути зо — з. 8.4. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛУЧАЯ Поскольку решение уравнения переноса для общего трехмерного случая представляет собой очень сложную задачу, в большинстве практических случаев рассматривается одномерная задача Ниже будет выведено уравнение переноса излучения для плоскопараллельного случая. Рассмотрим среду, состоящую из плоских слоев, перпендикулярных оси од, причем в каждом слое радиационные свойства постоянны.
Пусть з — длина, измеренная вдоль произвольного направления П, а 0 — полярный угол между направлением П и положительным направлением оси оу (фиг. 83) Производнач по направлению иссс(з может быть выражена через производные по пространственной координате у в виде д ду д =Ив дз ду дз ду ' где ц — косинус угла 0 между направлением распространения излучения П и осью оу, т. е. м= оз0, (8.30) а частные производные по х и г для плоскопараллельного случая равны нулю, Тогда уравненне переноса излучения (8.!Оа) принимает следующий вид: дгт (у, Р %) — -(- 1, (у, ц, гр) = 5ч(у, )г, Ф), (8.31а) где 5ч(У, 14, гР) - =(1 — из,)1, [Т(У)1+ зи ! + Чтс ~ ~ Р(1"о) ч(-'~ 1г 'Р )с(Р "'Р с Соотносиення для теплообмени излучением в непрозрачных средах 279 Фиг.
8.8. Система координат для плоского слоя. а )го — косинус угла Оо между направлениями падающего 'и рассеянного лучей, т. е. а .а= 0,= — Р,. (8. 32) )го определяется соотношением [см (1.66)] Ро = РР'+ У71 — Ри Ус1 — 1г" соз йр — Ф'). (8.33) В задачах теплообмена излучением удобно определять оптическую толщину т в виде Й с(т— = ~,е(у или т= ~~,с(у'. (8.34) о Тогда уравнение переноса излучения (8.31) принимает вид Р ' д' ' +1,(т, Р, ср) = 5,(т, Р, Ф), (8,388) где 5 (т, )г, гр) — = (1 — изч)Г и [Г(т)) + сп ! + — „' ~ ~ р(мо)рч(т, )г', Ф') с(Р'с(гр', (8.35б) Если граничные условия для уравнения переноса излучения характеризуются осевой симметрией, то интенсивность излучения в среде не зависит от угла гр и уравнение (8 35) упро- Глава 8 280 ща ется а о Р(Ра) = ~ а Р (Ро) аа = 1, (8.37) н=о (8.43) (8.39а) +~и(~, Р) — (1 — м,)~„(7(т)]+ еп + 4п ~ еч(тю Р ) ~ Р(Ро) с(ерееР'.
(8,36) Чтобы выполнить интегрирование по ~р', разложим иидикатрису рассеяния р(но) по полииомам Лежандра' ) [см. (2.55)]: где Ра(ца) полииом Лежандра и-го порядка от аргумента Ро, Заметим, что если аргумент Ра полинома Лежандра Р„(Ро) связан с !е и Р' соотношением (8.33), то для полнномов Лежандра справедливо следующее соотношение (10]: Р.(Р~) =Р (Р) Р. (Р')+ + 2 5 ", Р„"(Р) Р"„(Р') соз т йр — <р'), (8.38) ~н ! где Р"„(Р) — присоединенные функции Лежандра.
Тогда (8,37) принимает вид Р(Ро) = 2, а„Р„(Р) Р,(Р') + и + 2 Е ~., а„Р„(Р) Р„(Р') сов т(~р — ~р'), Соотношения для теплоодмена излучением в непрозрачнмя ередал 28! уравнение переноса излучения в случае осевой симметрии: де + (8.
4! ) где 1 Вч (т, Р) — = (1 — озч) 7 ь (7 (т)1+ —,' ~ Р Ь, Р ) )ч (т, Р') д!л', (8.42 а) р(!л, Р') — = г а„Р„(1и) Р„(Р'), аз= 1, (8.42б) н=о а иидикатриса рассеяния Р(Р, Р') не зависит от азимутального угла. Уравнение (8.425) имеет ряд часгиых случаев. Случай Гу = О соответствует изотропному рассеянию, Гу =! — индикатрисе линейно анизотропного рассеяния, т. е. Р(Р, Р') =! +а,РР', а Л' = 2 — индикатрисе анизотропного рассеяния второго порядка: р(Р Р ) 1+ а1РР~+ 4 аз(ЗР~ !) (ЗР" — 1). (8.44) Индикатриса рэлеевского рассеяния получается из уравнения (8,44) при а,=О и а,=1/2, т, е.
р (Р Р ) 1+ — (ЗР— 1) (ЗР— 1) — (3 — Р + (Зн — 1) „], (8.45) Можно доказать эквивалентность этого выражения нидикатрисе рэлеевского рассеяния, описываемой уравнением (2.89), если осреднить последнюю по ~р: Р(Р, 1 ) — —,„~ —,(1+ Р,) д р, (8,46 а) а где Ра —— !л!л' -]- ~11 — !лл УгТ вЂ” Р'а соз (~р — ~р'). (8,46б) После интегрирования член, содержащий соз(~р — ~р'), исчезает и получается результат, описываемый формулой (8.45). 8.5.
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЯХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ В данном разделе будет представлено уравнение переноса излучения при изотропиом рассеянии в цилиндрической и сферической системах координат. Эти уравнения можно получить из Глава 8 282 к фиг. 8.4, можно записать дт — =сов О в = )з, дз (8 Л9) дй Май (8.50а) или ди М тЕ (8.50б) дз г Г поскольку (8.51) е) !т = е( (сов О) = — в1п О е10. (8.52) СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ нч)чь (Т) + — пч ~ 7ч (г, !т ) ер!т . -1 (8.58) д дт д ли дз дг аз ди аз (8.48) д дт д дФ дз дг дз дФ дз (8.54) уравнения переноса излучения для изотропного рассеяния (8.10а), т.
е. + (1ч)ч (в 11) = тсч)чз(7') + 4 пч ~ )ч (з 11 ) !111 ю (8 47) если производную по направлению е!/е!в выразить через частные производные по пространственным координатам рассматриваемой системы. Такое преобразование е1/е)з в сферических и цилиндрических координатах было описано Вайнбергом и Вигиером [7] при выводе аналогичного уравнения в теории переноса нейтронов, В системе, обладающей сферической симметрией, интенсивность излучения в любой точке зависит от двух переменных: г — радиального расстояния от источника излучения и )т — косинуса угла между направлением пучка У. и направлением радиус-вектора г.
Производную по направлению ет)е)в можно связать с производнымн по г и )т следующим соотношением; Производные е!г/е!в и е!)т)е!в определим с помощью геометрических построений (фиг. 8.4). При перемещении иа е)з вдоль пути в в направлении Я происходит увеличение радиальной координаты г иа е)г и уменьшение угла 0 на е)0. Тогда, обращаясь Фкг. 8.4. Системз координат для задачи со сферической симметрией, Соотношения для теплоодмена излучением в непрозрачных средах 283 Подставляя (8.49) и (8.506) в (8.48), получим д ! — Р' д дз ! дг г ди ' Тогда уравнение переноса излучения (8.47) в случае сферической симметрии принимает вид дгч(е, Р) + ! — и' д7ч (б Р) де т ди ИИЛИИДРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ Рассмотрим цилиндрическую систему координат, в которой ось г является осью цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
