Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Предполагается, что границы непрозрачные, являются диффузными отражателями н диффузными излучателями и имеют степени черноты е1 н вм н отражательные способности ре н ра. В данной задаче требуется определить распределение температуры н плотность потока результирующего излучения в среде. Рассмотрим вначале серую среду, а затем распространим наш анализ иа случай несерой среды.
Предположим, что среда н границы — серые. В равд. 8.2 было рассмотрено понятие радиационного равновесия и показано, что в случае плоского слоя н приближения серой среды условия радиационного равновесия записываются следующим образом [см. где т — оптическая толщина, т. е. 81т = 'р 218, а О(т) — пространственная плотность потока падающего излучения. Первое ич этих условий дает соотношение, с помощью которого находится распределение температуры в среде прн условии, что известно угловое распределение интенсивности излучения 11т, р).
Второе условие означает, что прн радиационном равновесии плотность потока результирующего излучения д" в любой точке среды постоянна. Заметим также, что величина д" связана с интенсивностью излучения соотношением [см. (8.77)] Это означает, что плотность потока результирующего излучения легко найти, если известна интенсивность излучения в среде. Теперь задача сводится к определению углового распределеИня ИНтЕНСИВНОСтИ ИЗЛуЧЕНИя 1(т, 18), КОтОрая усдОВЛЕтВОряот Зпз Гласа 8 уравнению переноса излучения: (8.
128) 1,(Т) = " ',™ (8.125г) (8.129а) (8.129б) (8.130 а) р д,'~ +1(т 9) =(1 — Яи) 1ь(Т(т)1+ Щ + — )1(т р')Ф 0<т~(то (8.125а) -Щ с граничными условиями 1сьп (8.99) для случая серой средьщ] 1 (0) =а)1ь(Т))+2ращ ~ 1 (О! 1я ) р е(12 т р > 0 (8 125б) о 1 (то) = а 1ь(Т2) + 2ра (1 (то, 1я') 12'е(1ь'2 1ь < О, (8.125в) о где т — оптическая толщина, а 1ь(Т) — интенсивность излучения черного тела, т. е.
Интегральный член в уравнении переноса излучения (8.125а) можно исключить с помощью соотношения (8.124а) В результате получим !щам +1(т 1Я) =1ь 1Т(т)1 пРи 0~(т~ (Яо (8.126) д! (т, П) Заметим, что для серой среды в условиях радиационного равновесия уравнение переноса излучения (8.126) эквивалентно соответствующему уравиеинщо для поглощающей, излучающей, но нерассеивающей серой среды Если уравнение (8.126) решить совместно с граничными условиями (8.1256) и (8.125в) относительно интенсивности 1(т, р), то, подставив полученное выражение для интенсивности в (8.124а) и (8,124в), получим необходимые соотношения для расчета распределения температуры н плотности потока результирующего излучения в среде.
Однако в настоящей главе мы уже рассматривалн формальное решение уравнения (8.126) с используемыми здесь граничными условиями и получили формулы для 6(т) и 717(т) Поэтому, избегая повторений, можно просто записать формальные соотношения для 6(т) н 717(т), вос- Соотношения для теплообмена излучением в непрозрочньщх средах ЗПУ пользовавшись соответственно (8.73) и (8,84): б(т) =2я 1+ (0)ЕЯ(т)+1 (то)ЕЯ(то — т) + .,'-1! )7) 'Де,)) — '))Е '1 ЩЯ )27) о и 2 Щ ) - 2, [)' Що) Я Щ ) ., 1 Т Щт Щ ')) Я Щ вЂ” ') е о — 2 [Г Щ 2 е)„-,) .,-1)!ЕЩЕ))Я Щ, —,)Е, ~. Чтобы получить эти соотношения, мы опустили индекс т для серой среды н заменили функцию источника 52(т) на интенсивность черного тела 1ь(Т). Здесь 1+(О) н 1-(то) — иитеисивностч излучения на граничных поверхностях, для которых формальные решения могут быть получены с помощью (8.110) в виде 1 (О) = а,1ь (Тщ) + 2Ращ (1 (то) Ез 1,то) + ., 1! )тщ:)Гя.)еще, ).
о 1 (то) = а21ь(ТЯ) 1 2ра ! 1 (0) Ез (то) + ..щ. 1),щт! зщ е,щ,— ')е '), о где Тщ и Тз — температуры границ т = 0 и т = то соответственно. 'Теперь получим аналитические выражения для распределения температуры и плотности потока результирующего излучения в среде. Рассматривая соотношение (8,127) совместно с условием радиационного равновесия (8.124а), получим л'йТ4 (т) = ~ ~л1 (О) Е, (т) + п1 (т,) Е, (т, — т) + 22 .).1 '87'Щ;) Я,Щ٠— '))8, 1. о 308 Глава д Тогда получим п оТ ('с) — л! (то) 1 Е ) лТ~ (О) — л! (т,) 2 ~ иа Те т' — л! л! (О) — л! (то) 9 =1 — 2 ~ 0(т') Е,(т') е(т'. о (8.1346) (8.130 б) О ° и оТ (т) л! (то) (т) = л! ' (О) — л! (т,) (8.131) (8. ! 35) Это выражение можно представить в виде Введем теперь безразмерную функцию 0(т) Подставляя (8131) в (8.1306), получаем е( )= —,'( е ( )-(-1 е(,') е (щ,—, щ) е,'~, (е 1ее) о Уравнение (8.132) представляет собой сингулярное интегральное уравнение Фредгольма второго рода для безразмерной универсальной функции 0(т), Уравнение (8,128) для плотности потока результирующего излучения е!"(т) можно записать в виде Ч'(т) 2 ~ Е + ( и'дТ'(с') — лТ-(т,) л!" (О) — л! (то) ~ 3 3 лТч (О) лТ-(т,) 2 т т ) о едго ( — 0 — ' Е (" — т)(т' (8 Г33) лге (О) — л! (то) где величина 7о(Т(т)1 зао)еиена величиной и'оТ4(т)/л.
Подстановка (8.131) в (8.133) дает = е ( е, <.е -~ 1 е не е, н — "е е"— л! ' (О) — л! (то) о че — !енес с ' — е е '~ — = о, (ееее ) где Я вЂ” безразмерная плотность потока излучения. В условиях радиационного равновесия плотность потока излучения дт в среде ие зависит от т; следовательно, Я вЂ” константа, и соотношение, определяющее Я, можно получить, задавшись т = О. Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 309 После того как безразмерная универсальная функция 6(т) найдена путем решения уравнения (8.132), безразмерная константа Я может быть рассчитана с помощью (8.1346). Способ определения действительного распределения темперазуры Т(т) н плотности потока результирующего излучения е!' зависит ог типа граничных условий. В простейшем случае это черные границы, для которых 7е(0) и 7-(то) известны, т.
е. 2— 7'(0) = ""' ° 7-(.,) = ". '' В этом случае распределение Т(т) можно непосредственно получить из (8.131), а е!' — из (8.134а), Для диффузно отражающих и диффузно излучающих границ интенсивности излучения иа границах ! (то) н (Те(0) — ! (то)), входящие в выражения (8.131) и (8,134а), могут быть связаны простыми соотношениями с температурами, степенями черноты граничных поверхностей и плотностью потока излучения е!", Этот вопрос будет рассмотрен в гл. 11 на примере некоторых частных случаев; будут также обсуждены полученные численные результаты, Другой подход для случая серой среды.
Другой подход к решению уравнения переноса излучения в условиях радиационного равновесия состоит в исключении из уравнения (8.125а) члена То(Т(т)1 с помощью соотношения (8,124а). При этом получаем е )т ~ +7(т, )о) = — ~ 7(т, )т')е((е'. (8.136) — 1 Граничные условия (8,1256) и (8,125в) можно записать в виде 7 (0) = в, — ' + 2р" ,~ ! (О, — )т') )т' е((е', )т > О, (8.137 а) о 7(то) = ве — '+ 2р'~ ~ 1(то, )т') )т' е((е', )т ( О.
(8.1376) о После решения интегрального уравнения (8.136) с граничными условиями (8 137) и определения 7(т, р) можно найти соответственно распределение температуры и плотности потока резуль. 8!О Глаза 8 НЕСЕРАЯ СРЕДА ч а »» лд »'д р Фиг. 8.8. Модель полосы. тирующего излучения в среде с помощью (8.124а) и (8.124в). Если плотность потока постоянна [см. (8,124б)], то ее следует рассчитать лишь в одной точке. Применение такого подхода и полученные с его помощью результаты рассмотрены в гл, 1!. Если радиацнонные свойства сильно зависят от частоты, нри расчете переноса излучения необходимо учитывать несерост».
среды. К сожалению, в общем случае учет селективности представляет собой очень сложную задачу. Хауэлл и Перлмуттер [11] использовали метод Монте-Карло для решения задачи переноса излучения в плоском слое несерой среды. Для упрощенного описания зависимости радиационных свойств среды от частоты были -предложены различные модели. Например, поглощение излучения углекислым газом, водяным паром и стеклом происходит в ограниченных областях спектра, за пределами которых поглощение практически равно нулю. В таких случаях для описания зависимости коэффициента поглощения х, от частоты можег быть использована модель полосы (фиг.
8.8), Согласно этой модели, коэффициент х; предполагается постоянным в пределах каждой полосы Лр, и раиным нулю в интервалах между соседними полоса»н. Такая модель рассматривается в работах [12, 13]. Спэрроу и Сесс [14] использовали модель трех полос для описания зависимости коэффициента поглощения углекислого газа от частогы, а Кросби и Висканта [15] применили модель двух полос для решения задачи переноса излучения в несерой среде, Если спектр поглощения состоит из узких полос или спектральных линий, для упрощения задачи переноса излучения в иесерой среде может быть использована модель узкой полосы Согласно этой модели, ширина полосы предполагается достаточно Соотношения для тепяообмена излучением е непрозрачных средах 3!1 Фпг.
8«й Модели «частокола». а — рллломерлый «члстокол»; б †общ случай. малой, так что функция Планка (,ь(Т) не меняется существенно в пределах полосы н ее можно вынестн из-под знака интеграла, Например, для спектральной линии нлн узкой полосы шириной Лтт с центром»ч справедливо следующее приближение: ~ ху(,й(Т) г(чжТд, (Т) ~ х,Йт, (8.138) Ьт где !ь,(Т) — значение функции Планка при частоте тт, соответствующей центру линии или полосы. Если полоса широкая, то ее можно разделить на несколько достаточно узких полос и каждую рассматривать с помощью модели узкой полосы.
Кросби и Висканта [16,17] использовали модель узкой полосы для решения задачи теплообмена излучением в плоском слое несерого газа, на которьш извне падает коллимированный поток излучения, а также в плоском слое с внутреннимн источниками энергии. На фиг. 8.9 представлены так называемые модели «частокола», которые могут быть использованы для описания зависимости коэффициента поглощения от частоты, Модель равномерного «частокола» состоит из спектральных линий одинаковой высоты и ширины, равноотстоящих друг от друга и наложенных на серый фон В большинстве звездных спектров, например, спектральные линии видны на фоне континуума, Модель «частокола» в общем случае состоит из линий (нлн узких полос), имеющих различну!о высоту, ширину и расположенных на разных расстояниях друг от друга.
Эта модель первоначально была предложена Чандрасекаром [18], а затем была использована авторамн работ [19 — 22] для решения задач теплообмена излуче- "12 Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 313 Глава 8 — =О, дат Ыу (8.139 а) где ') 0 у'= ~ у;(УМ, 1 с),(У) = 2и ~ 1,(у, р) )зс()з.
-1 (8. 139 6) (8.139в) Для плоского слоя селектнвно поглощающей и излучающей среды уравнение переноса излучения можно представить в виде !х д + х»1»(у~ !х) = х»1»ь[Т (у)], 0 ~(у ~(С, — 1 ~(!х ~ (1. (8.140) Предполагая, что границы у = 0 н у = Л являются диффузными излучателями н диффузными отражателямн н находятся соответственно при температурах Т~ н Тз, можно представить граничные условия в виде [см. (8.99)] 1 1, (0) =е„1, (Т,)+ 2р",,~ 1» (О, — р') р'с)р', р > О, (8.141а) о 1, (С) =е,1, (Т,)+ 2ра, ~1~ (С, р') р'с)р', р < О, (8.1416) о где 1,о (Т) — функция Планка. Предположим, что зависимость спектрального коэффициента поглощения от температуры имеет внд [15], х, — = х, ( Т) = а»в (Т), (8.142а) причем а»~ (1, (8.
14261 пнем, а также Грифом [23] применительно к задачам переноса тепла излучением н теплопроводностью. В настоящем разделе будет проиллюстрировано применение модели полосы н модели узкой полосы в задаче теплообмена излучением в слое селектнвно поглощающей и излучающей среды в состоянии радиационного равновесия, а также будут записаны соотношения для расчета распределения температуры н плотности потока результирующего излучения в среде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
