Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Предполагая, что величина 8(т)Д(Т) постоянна, можно связать функцию !(т), характеризующую распределение (емпературы, с универсальными функциями О(т) и Ои(т) (см. (8.180))( ' =0(т) + . ~ „0 (т), (8.188) где функции 0(т) и Ов(т) представляют собой решения интегральных уравнений (8.181) и (8.182) соответственно. б) Модель узкой полосы. Если предположить, что все узкие полосы (или линии) имеют одинаковые кон(уры, а также интенсивности и пе перекрываются, а д(т)Д(Т) — постоянная величина, то применение модели узкой полосы приведет к сле- боотношенин длл теалоодмена излучением в неарозраинык средах 227 Глава 8 326 (8.189) Рассмотрим теперь уравнение переноса излучения в виде Р д' +хч!ч(У( Р)=хч7ч(Г(У)1~ О~У(~Т (8.193) д!ч Ь, р) с соответствующими граничными условиями прн у = 0 и у = Т,.
Интегрируя (8,193) в пределах полосы частот Лчс н учитывая при этом, что коэффициент поглощения постоянен в этих пределах, получим дТ! (у, и) дТ'(у) р ' +хе!с(у, р)=х(~с, с 1, 2, ..., Л), (8.194) где (8. 190 в) а х; — средний коэффициент поглощения для полосы Лч!. Преобразуем уравнение (8.194) с помощью оператора ! 2п ~ с(р — ! (8, 191а) (8.196) где с) (у)= ~ () (у)с( ч о ! ()т(у) = 2п ~ Тч(у, р) р(1р. ! (8. 191б) (8.191в) 4пх)1! У, с = 1, 2, . „У. (8.197) дующему уравнению для распределения температуры У()- — '+ — ~У,К,()+У,К,(,— )+ 1 Г чатй 2 ~ -~ 1 к(т)к,()~.— "))к"1. ) =О где хч = аД, с(т = ч(1у, а другие функции были определены выражениями (8.166) и (8.167).
Заметим, что при отсутствии внутренних ' источников энергии уравнение (8.189) сводится к (8.165). Функцию Р(т), характернзу)ощу)о распределение температуры, можно связать с новымн безразмерными функциями 0*(т) и 0 (т) соотношением „' =0'(т)+ „(„„) Ое(т), (8,190а) где функции 0" (т) н Оа(т) представляют собой решения следующих интегральных уравнений: тт 8 !)= —,'(к,() ч(е (,')к ().—.'))к"1. (8)тст) о т( 0 (')= 4+,' ~0',(")К С! — "1')а.'. о а функции К)(т) и Кз(т) определяются выражениями (8.167). в) Модель «частокола».
Сформулируем теперь задачу переноса излучения в селективно поглощающей и излучающей среде с внутренними источникамн энергии, используя обобщенную модель «частокола», Предположим, что энергетический спектр разделен на полосы шириной Ыч! (! = 1, 2, ..., ))(), причем в пределах каждой полосы коэффициент поглощения постоянен.
Тогда уравнение сохраиення энергии примет вид «ч' Ь) ду Последние соотношения можно записать в виде и'(У) = Х у! (у), ! ()", Ь) = 2п ~ 7,. (у, р) р(1р — ! е)(У Р) = ~ Тч(У, Р)с(т). Ты (Т (у)1 аТ'(у)/х ' Ты(т(У)) = ~ 7з,(Т(у)) ~.. Ьч! 7 (у р) = — ~ 7,(у, р) Ф и получим с использованием (8,192б) ду', Ь) +х)2п ) !')(у, р)с)р = -! (8. 192 а) (8. 192б) (8.192в) (8. 195а) (8.1955) (8.195в) Соотношения для теплообмена излучением в непрозрачных средах 329 Глава д зов Производя суммирование уравнений (8.197), при 1 = 1, 2..., 1!1 и используя (8.192а), найдем и ! и а„(У) +2п~ к! ~1г(У, )4)44)4 =4к „" ~к)10 (8.198) /=! †! !=! Исключая г(дт(у)1г(у из уравнения (8.198) с помощью уравнения сохранения энергии (8.191а), получим и ! 4 + ~', н ~ 1! (у )4) г()4.
(8.199) и)1! )=! 2 ~ «,1, ° 1=! 5=! Затем, исключая ОТ4(у)(л из уравнения (8.194) с помощью (8.199), получим д! (Гн )5) кА г (у) !1 +кт 1(у !1) Я 411 + «11! ~1)(у, )4)44)4, 1=1, 2, ..., )Ч. (8.200) 1=! 2 ~ к515 5 ! Уравнения (8.200) представляют собой систему 141 интегродифференциальных уравнений с 141 нензвестнымч функциями 11(у, )4), ! = 1, 2, ..., 141. После того как они определены с помощью (8.199), можно рассчитать распределение температуры в среде, а с помощью (8 192) — плотность потока результирующего излучения. г) двухгрупповая модель «частокола». В качестве частного случая обобщенной модели «частокола» рассмотрим двухгрупповую модель, когда коэффициент поглощения имеет только двз значения во всем энергетическом спектре: к! и к», В этом случае система 141 ннтегродифференциальных уравнений (8.200) упрощается и становится системой двух интегральных уравнений относительно интенсивностей 1! (У, )4) н 1»(у, )4) ! д),.
(У, )4) к,11 гЩ + ~ ' ' ! ~14(у, )4)г()4, 1'=1 илн 2. (8.201) После того как эти интенсивности найдены путем решения данной системы уравнений с соответствующими граничными усло- виями, распределение температуры находится с помощью (8.199), а плотность потока результирующего излучения — с по. мощью (8.192) при 141 = 2. Если дальше предположить, что одно из к! равно О, скажем к» = О, а к! — конечная величина, то двухгрупповая модель «частокола» сводится к модели двух полос, рассмо!ренной ранее, и уравнения (8.201) становятся независимыми, т. е. )4 д +к,1,(у, )4) 4к + 2 к' ~ 1'(У' )4) 41)4, (8.202а) д!! (Гн И) аЬ) -1 (8.202б) Если ввести переменную г(т=к1е(у, то уравнение (8.202) сводится к виду )4 + 1! ('т )4) = 4 + ~ 1! (т, )4) 44)4 (8.203а) д1, (т, )4) 'д (г) 1 -1 д1, (т, )4) дт (8.2036) Уравнение (8.203а), решаемое относительно 1!(т, )4), соответствует случаю серой среды, а решение (8.203б) относительно 1,(т, )4) не представляет никаких трудностей.
8.12. ОТСУТСТВИЕ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ В предыдущих разделах было рассмотрено формальное решение уравнения переноса излучения в плоском слое при наличии осевой симметрии. В случае изотропного рассеяния задача переноса излучения в плоском слое прн отсутствии осевой симметрии легко преобразуется к задаче с осевой симметрией. Для анизогропно рассенва!ошей среды, если постулируется, что ипдикатриса рассеяния разлагается в ряд по полиномам Лежандра, как в (8.37), неосесимметричиая задача может быть сведена к последовательности осеснмметричных задач путем разложения интенсивности 1(т, )4, 4)5) в ряд Фурье по 4)5.
Например, в работах (26, 27] использовано разложение интенсивности в ряд типа 1(т, )4, тр) = Х 1„,(т, )4) созлг(тр — !ро), (8.204) т=в предложенное Чандрасекаром (2] для решения задачи теплообмена излучением в аиизотропном полупространстве н слое конечной толщины, на которые под некоторым углом падает внешнее излучение, Глава д 330 Величину гя 10(т, 12', ф') Ф'81ф' ИЗОТРОННОЕ РАСГЕЯНИР 0) Ои' е'=о и о (8.207а) й — 1 с граничными условиями: 1, (т, р)[, , = О, р > О, 1,(т, м)[, , = О, Н < О, (8.2076) (8.2106) (8.210в) Рассмотрим теперь преобразование неосесимметричной задачи переноса излучения к осесимметричной задаче, Рассмотрим плоский слой изотропно рассеивающей среды, имеющий прозрачные границы т 0 и т = то, на которые извив под некоторым углом падает излучение.
Уравнение переноса из- лучения имеет вид дс + 2Я 1 + — ~ ~ 1(т, Р', ф')с(18'с(ф', 0(т((то, — 1~(12(1 (8,205а) е'=о ш= — ! при следующих граничных условиях: 1(т 18 'р) )с=о Р! Ь' ф)' 1(т, р, ф) ~,, = Р,(р, ф), 12 < О, где свободный член д(т) и граничные условия Р, (18, ф) Н Рг(18, ф) — заранее заданные функции, Расомотрим теперь вспомогательную задачу, описываемую уравнением д +1 (т, 18, ф) — а(т), 0(т(т, — 1(18(1 (8.206а) с граничными условиями 10(т, Р ф) [с )- — -Р,(Р, сР), 12 ) О, (8.2066) 1о(т) р ф) ).
с.= Рг(18, ф), 12 <О. (8.206в) Здесь интенсивность 1о(т, 18, ф) характеризует нерассеяниую составляющую интенсивности в задаче, описываемой уравнениями (8.205) . Уравнение (8.206а) легко решить, разделив интенсивность 1,(т, р, ср) на прямую 10 (т, р, )р), р ) 0 и обратную 1о (т, р, ср), 18 < 0 составляющие. Тогда получим [(см. уравнения (8.65) и (8.66а)[ + -сиа г, е !' ')о' 10 (т, Н, ф) Р)(Н, ф)е +) д(т') Дт', 12>0, Р о 10 (т, 188 )Р) Рг(18 ф)е ' '88 е)с — ~ д(т') с(т', 12 < 0 Р Соотношения для геалаадмена излучением в нелразрачнмх средах 33! можно вычислить следующим образом [см (8 68)) га бо(т)— = 1 1 1,(, 12', ф')с(И'81ф' о'-ои' 2и 1 [1о (т, 12, )р') + 10 (т, — )с', ф')~81 ',1 8 р'=о и о 2и [Рс(12', ф')е слм+Рг( 12', )р')е гсс-ти '])~ Х с(12'с(ф'+ 2я ~ ~ д(т')Е,(т — т')812'-[ ьс' ) Е! ')Е,! ' — )Е '~ )8 208) Предположим что интенсивность 1(т р, ф) в задаче, опи сываемой уравнением (8.205), можно представить в виде суммы интенсивности нерассеянного излучения 1о(т, р, ф), полученной путем решения уравнения (8.206а), н интенсивности рассеянного излучения 1! (т, 18) 1(т 12 'р) =1о(т 12 ср) +1)(т, 18).
(8 209) Подставляя (8.209) в (8.205) и используя (8.206) и (8.208), можно показать, что интенсивность 1)(т, р) представляет собой решение следующей осесимметричной задачи; дс + '( ' 1 ) Ов о( ) + д1! (с, 18) о! ! + 3 ~ 1,(т, 12')8212', при О ~т~(то — 1~(128,1 (8.210а) Соотношения для тесслообмена излучением в непрозрачно!я средах ЗЗЗ Глава 8 зз2 где 6,(т) — известная функция, описываемая выражением (8.208) Таким образом, мы свели задачу, решение которой зависит от азимутальпого угла [уравнения (8.205)], к осесимметричной задаче, описываемой уравнением (8.210). АНИЗОТРОПНОЕ РАССЕЯНИЕ Рассмотрим плоский слой анизотропно рассеивающей среды с прозрачными границами, на одну нз которых (т = 0) под некоторым углом падает внешнее излучение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
