Оцисик М.Н. - Сложный теплообмен (1074339), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В результате получим о" — д (г'( — т) ° ( -' )'=~ где безразмерная плотность теплового потока Я равна О=2[К ()Л [2 (,)Е (.—,)К,— о - ! 2 (,)Е (, —,)К,]. с (8.! 73) Интегральное уравнение (8.169) можно решить, зная характеристические функции К)(г) н Кг(г), определяемые уравнениями (8,167). Математические свойства функций К((г) н Кг(в) были рассмотрены Кросби н Внскантой [17], Интегрируя уравнение (8.146) по всем частотам н используя приближение узкой полосы (8.138), можно получить соотношение для плотности потбка результирующего излучения д", Если предположить, что границы черные, коэффициенты поглощения во всех областях одинаковы по форме н величине, а сами профили не перекрываются, то уравнение (8.146) примет внд д' = о (,Т( — Тг) + 27(у [Т(Кг(т) ТгКз(со 'с)1+ После определения функции 0*(т) путем решения интегрального уравнения (8.169) можно рассчитать Я с помощью (8.173), а затем из соотношения (8,172) определить плотность потока результирующего излучения д".
Чтобы найти распределение температуры в среде, необходимо решить трансцендентное уравнение (8.168), которое содержит функцию Т(т), зависящую от температуры. 8.11. ПЛОСКИЙ СЛОЙ С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ В настоящем разделе рассматривается задача переноса излучения в плоском слое толщиной 1., содержащем распределенные источники энергии с плогностыо потока объемного излучения д(у).
Предположим, что среда поглощает и испускает излучение н что непрозрачные границы у = 0 и у = с. диффузно испускают н днффузно отражают излучение н поддерживаются прн температурах Т, н Тг соотвегственно. Нужно получить выражения для распределения температуры и плогностн потока Результирующего излучения в среде. В настоящем разделе дается математическая постановка этой задачи в случаях серого и несерого газа. СЕРАЯ СРЕДА Если перенос энергии осуществляется только излучением (т, е, вклад кондуктнвиого и конвективного теплообмена пренебрежимо мал), уравнение сохранения энергии в одномерном случае для среды, содержащей источники энергии с плотностью потока объемного излучения у(у), имеет внд [см.
(8.!86)] о (У) =с((у) нли о ( ) = У( ), (8,!74) (7'У (7'Х Н где с(т — и((у — оптическая толщина, а плотность потока результирующего излучения (17(т) связана с интенсивностью излучения 1(т, р) соотношением ! (1'(т) = 2и ~ 1 (т, )2) р с()л, (8.! 75) — 1 причем интенсивность излучения 1(т, р) находится путем решения уравнения переноса излучения, Для плоского слоя поглощающей н излучающей среды с днффузно излучающими н днффузпо отражающими границами уравнение переноса излучения и граничные условия [см, (8,1256) и (8.125в)] записываются Ы З 7ЕВ Глава д 322 в виде и ог (т) — птт (т,) 1 а)н хт о 0 (т) = 2п ~ 7 (т, 14) с(14.
-1 (8.177в) (8.178) 11" дг(т Р) ] 7(,, „) 7 [Т(т)], 0(т(т„— 1(14(1, (8.176а) дт ! 7+(О) 7 (Т) ] 2,л ~ 7 — (О 14') 14'с(14', 14 ) О, (8.1765) о 1 7-( ~ в 7 (Т ) [ 2рв ~ 7+(т„)х') 14'с(14', 14 (О, (8.176в) о где то=яŠ— полная оптическая толщина слоя. Соотношение, характеризующее распределение температуры в среде, получается, если преобразовать уравнение (8.176а) 1 с помощью оператора 2п ~ с(Н -1 "в (т) -]- 0 (т) = 4447е [7 (т)] — = 4п'дТ'(т). (8.177а) (тт Подставляя в (8.177а) выражение для с(д'(т)/с(т нз (8.174), получим и'оТ4 (т) = — + — 0 (т), (8,1775) где 0(т) — пространственная плотность падающего излучения 1 Следовательно, если известно угловое распределение интенсивности излучения 1(т, 14), с помощью соотношений (8,175) н (8.1775) можно найти плотность потока результирующего излучения и распределение температуры в среде.
Математическая формулировка рассматриваемой здесь задачи теплообмена излучением [уравнения (8.176)] в точности совпадает с формулировкой рассмотренной ранее задачи для случяя радиационного равновесия [уравнения (8,1255), (8,125в) н (8.126)]. Поэтому подстановка выражения (8.127) для 0(т) в (8.1775) дает пзбТ4 (т) = — и-( — 1- + — [п7 (0) Е, (т) + п( ( то) Е, (то — т) + то 4-], Гт (,)з((,—, ()4 '].
о Соотношения для теплооомена излучением в непрозрачных средак 323 Это интегральное уравнение определяет распределение температуры внутри слоя; прн отсутствии внутренних источников энергии оно упрощается н сводится к (8.130а), Решение уравне. ння (8,178) прн постоянном значении 8 было рассмотрено Хислетом н Уормннгом [24, 25], которые свели это уравнение к двум более простым интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.
ВНУТРЕННИЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ПОТОКА ОБЪЕМНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Для упрощения анализа сделаем предположение о постоянной плотности потока объемного излучения внутренних источников энергии (д = сопз(). Тогда уравнение (8.178) можно записать в виде птт (0) — пу (то) 4 прн (О) — птт (то) н использовать преобразование, связывающее распределение температуры с функциями 0(т) и ее(т): — 0(т)+ 0 (т). (8.180) 4)! (О) п7 ('то) т(14 (0) т(1 (чо) Если функция 0(т) удовлетворяет следующему интегральному уравнению [см.
(8,132)]: е()= [е ().,-]е(е)е))~ —;)~)4 '], (з1з() о то преобразование (8.180) будет удовлетворять интегральному уравнению (8.179), если функция ее(т) представляет собой решение следу)ощего интегрального уравнения: Е, (.) = 4 + —, ~ Е, (") Е, ([. — ']) (т'. (8082) 1 о В справедливости уравнения (8.182) легко убедиться, подставляя преобразование (8.180) в уравнение (8.179) и используя уравнение (8,181). Таким образом, интегральное уравнение (8.178) [или (8.179)], определяющее распределение температуры в среде, преобразовано в два более простых интегральных уравнения относительно Глава 8 324 и его можно представить в виде (8.185) хи — = к, (Т) = ачй (Т), т— = ~ в(Т) с(у. о (8.187в) (8.
187г) НЕСЕРАЯ СРЕДА универсальных функций 0(т) и Ов(т). ПРи этом фУнкциа 0(т) в точности соответствует функции, определяемой уравнением (8.132) . Соотношение для плотности потока результирующего излучения в среде (1" (т) в точности такое же, как и (8.128), и его можно преобразовать к виду (8.133), т. е. =Л,~,~~~ ","")--'-",(,,) . ~1+ (О) — ! (то) Е ! ~!+ (О) — ~1 (то) и дТ (т') — п! (тю) Е (т, т) с(,г) (8 183) п!+ (О) — и1 (то) Теперь, если подставить преобразование (8.180) в (8.183), то плотность потока результирующего излучения можно записать в виде Ч' (т) ц (т) + 81и 1„! (т), (8,184) п (! (О) - 1- (то)1 .
!!' (О) - 1 (то)) где ) [в () Л (е(,')е ( — ')в '- о ') 0(, )е,(,,) е, ]. г х ха (,)е( )е (е ( )е ( ' — )и '].(8.)86) о Заметим, что функция 1,/(т) в точности соответствует функции, определяемой уравнением (8.134а). В случае черных границ интенсивности излучения на границах 1ч(0) и 1 (то) известны. После нахождения функций 0(т) н 0„(т) путем решения интегральных уравнений (8.181) и (8.182) с помощью (8.180) рассчитывается распределение температуры. Функции 1/(т) и (,"/в(т) находятся с помощью (8.185) и (8.186) соответственно, а плотность потока результирующего излучения (1)(т) определяется по (8.184). Проиллюстрируем теперь применение моделей полосы, узкой полосы и «частокола» для решения задач теплообмена излучением в несерой среде.
Для простоты предположим, что границы черные, следовательно, интенсивности излучения на границах Соо/но/пении длх геплообмена излучением в непрозрачных средах 82о 1ч (0), 1и > 0 и 1 — (то), 1и < 0 известны. При использовании моделей полосы и узкой полосы уравнения, определяющие распределение температуры и плотность потока результирующего излучения могут быть выведены, как это делалось в равд. 8.10. Поэтому для этих моделей мы нс будем повторять соответствующих выводов, а приведем лишь окончательные выражения.
Для модели (счастокола» будет представлен подробный вывод. а) Модель двух полос. Для модели двух полос, уравнение, определяющее распределение температуры в среде, имеет вид (см. (8.155а)] )(т)= 4 о(Г) + 2 [/(Е (т)+1оЕ (то т)+ ха ч- ) /(')е().— "()и.'] (в)в/) ъ'=о — Е т !!) )— )л 4пй (Т) (/) — !и) 2 ха + ~ -~! — — — '- Е, ((т — т'() с(т'], (8.187б) х'=о где функции 1(т), )/ и 1о описываются выражениями (8,154), а Заметим, что при отсутствии внутренних источников уравнение (8.1876) преобразуется в (8.155б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
